数学必修5解三角形,正弦,余弦知识点和练习题(含答案)

解三角形

1．正弦定理:2sinsinsinabcRABC或变形：::sin:sin:sinabcABC.

2．余弦定理： 2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC 或 222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab.

3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

5．解题中利用ABC中ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABC

sincos,cossin,tancot222222ABCABCABC.、

已知条件 定理应用 一般解法

一边和两角

（如a、B、C） 正弦定理 由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时

有一解。

两边和夹角

(如a、b、c) 余弦定理 由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再

由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。

三边

(如a、b、c) 余弦定理 由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C

在有解时只有一解。

1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于 （ ）

A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°

2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）

A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2 ,∠A=30°

C．a=1,b=2,∠A=100° C．b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC中，有 （ ）

A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosA

C．cosA>sinB且cosBsinA

4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 （ ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，那么角B （ ）

A．B>60° B．B≥60° C．B<60° D．B ≤60°

6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为 （ ）

A．4 B．2 C．1 D．不定

7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,α(α<β),则A点离地面的高度AB等于 （ ）

A．)sin(sinsina B．)cos(sinsina

C．)sin(cossina D．)cos(sincosa

8、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC是______三角形.

9、在ΔABC中，若SΔABC=41 (a2+b2－c2),那么角∠C=______.

10、在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=3231,则cosC=_______.

A

B D C   11、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：

①B=60°,b2=ac； ②b2tanA=a2tanB；

③sinC=BABAcoscossinsin④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).

12． 在ABC△中，已知内角A，边23BC．设内角Bx，周长为y．

（1）求函数()yfx的解析式和定义域；（2）求y的最大值．

13． 在ABC中，角,,ABC对应的边分别是,,abc，若1sin,2A3sin2B，求::abc

14． 在ABC中,,abc分别为,,ABC的对边，若2sin(coscos)3(sinsin)ABCBC，

（1）求A的大小；（2）若61,9abc，求b和c的值。

15． 如图，2AO，B是半个单位圆上的动点，ABC是等边三角形，求当AOB等于多少时，四边形OACB的面积最大，并求四边形面积的最大值．

16． 在△OAB中，O为坐标原点，]2,0(),1,(sin),cos,1(BA，则当△OAB的面积达最大值时，( )

A．6 B．4 C．3 D．2

17． 在ABC中，已知CBAsin2tan，给出以下四个论断，其中正确的是

①1cottanBA ②2sinsin0BA

③1cossin22BA ④CBA222sincoscos

18． ．已知,,ABC是三角形ABC三内角，向量1,3,cos,sinmnAA，且1mn.

（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若221sin23cossinBBB，求Ctan.

FEOCBA19． 已知向量baxfxxbxxa)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令.

求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.

20．设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝()aab.

（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；

（Ⅱ）求使不等式f(x)≥23成立的x的取值范围．

21． 已知函数

（1）当函数取得最大值时，求自变量的集合。

（2）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

22． 已知，其中，且，若在时有最大值为7，求、的值。

参考答案（正弦、余弦定理与解三角形）

一、BDBBD AAC 二、（9）钝角 （10）3314 （11）4 （12）81 三、（13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理

acaccaacbcaacbca22222222212260cos 0)(2ca，

ca. 由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形. ②由AAbBaAbcossintantan222

,2sin2sin,cossincossinsinsincossincossincossin22222BABBAAABabBAABBBa∴A=B或A+B=90°，∴△ABC为等腰△或Rt△. ③BABACcoscossinsinsin，由正弦定理：,)cos(cosbaBAc再由余弦定理：baacbcacbccbac22222222

RtABCbacbacba为,,0))((222222. ④由条件变形为2222)sin()sin(babaBABA

90,2sin2sinsinsinsincoscossin,)sin()sin()sin()sin(2222BABABABABABAbaBABABABA或.

∴△ABC是等腰△或Rt△.