江西省吉安一中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题(WORD和答案)

江西省吉安一中2014-2015学年下学期高一年级期中考试

数学试卷

一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分）

1. 不等式0)2(xx的解集为（ ）

A. }20|{xxx或 B. }02|{xx

C. }20|{xx D. }20|{xxx或

2. 设等差数列}{na的前n项和为nS，若2a、4a是方程012xx的两个根，则5S的值为（ ）

A. 25 B. 5 C. 25 D. 5

3. 在△ABC中，如果))((acbcbabc3，那么角A等于（ ）

A. 30 B. 60 C. 120 D. 150

4. 下列不等式一定成立的是（ ）

A. )0(lg)41lg(2xxx B. 2sin1sinxx

C. )(212Rxxx D. )(1112Rxx

5. 在△ABC中，若0cossin2sinCBA，则其形状为（ ）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

6. 若某公司从四位大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，这四人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为（ ）

A. 61 B. 31 C. 21 D. 32

7. 对于任意实数x，不等式04)2(2)2(2xaxa恒成立，则实数a的取值范围为（ ）

A. )2(， B. ]2,（ C. )2,2( D. ]2,2(

8. R是△ABC三角形的外接圆半径，若BARabcoscos42，则∠C为（ ）

A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 无法判断

9. 已知数列}{na的前n项和为nS满足：mnmnSSS，且11a，那么10a的值为（ ） A. 1 B. 9 C. 10 D. 55

10. 若关于x的方程043·)4(9xxa有解，则实数a的取值范围是（ ）

A. ),0[]8,( B. ]4,( C. ]4,( D. ]8,(

11. 设1x、2x是关于x的二次方程01222kkxx的两个实根，k为实数，则2221xx的最小值为

A. 2 B. 1 C. 1 D. 2

12. 已知cba、、均为正数，若cba，acb，bac，cba依次成等比数列，且公比为q，则qqq23的值为（ ）

A. 0 B. 1 C. 3 D. 不能确定

二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）

13. 在Rt△ABC中，∠A=30°，动点D在斜边AB上运动，则∠BCD＜=60°的概率为

。

14. 设Ryx、，且122yx，则yx的最小值是 。

15. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为 km。

16. 设函数1)(2xxf，对任意]43,23[x，)(4)1()(4)(2mfxfxfmmxf恒成立，则实数m的取值范围是

。

三、解答题（本大题共6道小题，共70分）

17. （本小题满分10分）

某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5则中二等奖，等于4或3则中三等奖。

（1）求中三等奖的概率；

（2）求中奖的概率。

18. （本小题满分12分） 已知1a，解关于x的不等式2xax1。

19. （本小题满分12分）

在△ABC中，cba、、分别是A、B、C的对边，且0coscos)2(CbBca。

（1）求角B的值；

（2）若4ca，求△ABC面积S的最大值。

20. （本小题满分12分）

已知各项均不相等的等差数列}{na的前四项和为14，且1a、3a、7a恰为等比数列}{nb的前三项。

（1）分别求数列}{na、}{nb的前n项和为nS、nT；

（2）记为数列}{nnba的前n项和为nK，设nnnnKTSc，求证：nncc（*Nn）。

21. （本小题满分12分）

已知二次函数)0,(1)(2aRbabxaxxf、，设方程xxf)(的两个实根为1x和2x。

（1）如果4221xx，若函数)(xf的对称轴为0xx，求证：10x；

（2）如果221x且212xx，求b得取值范围。

22. （本小题满分12分）

已知数列}{na的前n项和为nS，且nnSn211212。数列}{nb满足122nnbb

0nb*)(Nn，且113b，153921bbb。

（1）求数列}{na、}{nb的通项公式；

（2）设)12)(12(3nnnbac，数列}{nc的前n项和为nT，求使不等式57kTn对一切*)(Nn都成立的最大正整数k的值；

（3）设*),2(*),12()(NNllnbllnanfnn，是否存在*)(Nm，使得)(5)15(mfmf成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

【试题答案】

1. A 2. A 3. B 4. C 5. B 6. C 7.D 8. C 9. A 10.D 11. C 12. B

13. 21 14. 2 15. 302 16. ），－,23[]23(

17. 解析：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B。

从四个小球中有放回地取两球有：)0,0(，)1,0(，)2,0(，)3,0(，)0,1(，)1,1(，)2,1(，)3,1(，)0,2(，)1,2(，)2,2(，)3,2(，)0,3(，)1,3(，)2,3(，)3,3(，共16种不同的结果。

2分

（1）取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：

)3,1(，)2,2(，)1,3(，)3,0(，)2,1(，)1,2(，)0,3(共7种结果，

则中三等奖的概率为167)(AP 5分

（2）由（1）知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；

两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：)3,2(，)2,3(。

两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：)3,3(

则中奖的概率为8516127)(BP 10分

18. 解析：不等式12xax可化为022)1(xxa。

∵1a，∴01a，则原不等式可化为0212xax， 3分

故当10a时，原不等式的解集为}122|{axx； 6分

当0a时，原不等式的解集为； 9分

当0a时，原不等式的解集为}212|{xax。 12分

19. 解析：（1）由正弦定理得0cossincos)sinsin2(CBBCA，

即0sincoscossincossin2BCBCBA

得0)sin(cossin2CBBA，因为CBA，所以ACBsin)sin(， 得0sincossin2ABA，因为0sinA，

所以21cosB，又B为三角形的内角，所以32B 6分

（2）BacSsin21，由32B及4ca得32sin)4(21aaS

])2(4[43)4(4322aaa，又40a，

所以当2a时，S取最大值3。 12分

20. 解析：（1）设公差为d，则)6()2(146411211daadada，

解得1d或0d（舍去），21a，

所以1nan，2)3(nnSn，nnb2，221nnT 4分

（2）因为n212)1(2322nKn， ①

故1n322)1(223222nnnnK。 ②

①－②，得

1n3212)1(22222nnnK，所以12nnnK 8分

则12)12)(3(nnnnnnnKTSc，

02222)12)(3(2)12)(4(211211nnnnnnnnnnncc，

所以)(1Nnccnn。 12分

21. 解析：（1）证明：设1)1()()(2xbaxxxfxg且0a，由4221xx

得0)2(g且0)4(g，即034160124baba，∴aba221443，

由aa221443得81a，∴aaba4112832，

故18141120abx 6分 （2）由01)1()(2xbaxxg可知0121axx，∴1x、2x同号，

①若201x，则212xx，∴2212xx，∴0124)2(bag

又44)1(22212aabxx，得1)1(122ba（由0a，所以负根舍去）代入上式得bb231)1(22，解答41b；

②若021x，则2212xx，∴0)2(g即0324ba。

同理可求得47b，故当201x时41b；当021x时，47b。 12分

22. 解析：（1）当1n时，611Sa；

当2n时，5)]1(211)1(21[)21121(221nnnnnSSannn。

而61a满足上式。∴*)N(5nnan。

又0212nnnbbb即nnnnbbbb112，∴}{nb是等差数列。设公差为d。

又113b，153921bbb ∴15336911211dbdb解得51b，3d。

∴23nbn 4分

（2）)121121(21)12)(12(1)12)(112(3nnnnbacnnn