精品文档
第二十三讲 圆与圆
圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有文档设计者：
设计时间 ： 文档类型：
文库精品文档，欢迎下载使用。Word精品文档，可以编辑修改，放心下载
如下三种方法：
1．通过两圆交点的个数确定；
2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；
3．通过两圆的公切线的条数确定．
为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．
熟悉以下基本图形、基本结论：
【例题求解】
【例1】 如图，⊙Ol与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙Ol经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙Ol于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．
思路点拨 直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2Ol必过A点，先求出∠D O2A的度数．
注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．
(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．
【例2】 如图，⊙Ol与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙Ol 与⊙O2的半径之比为( )
A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3
思路点拨 添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠COlO2 (或∠DO2Ol)的度数，精品文档
为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．
1 人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系
知识点归纳及中考典型例题解析
一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
（6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论
2 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 四、圆周角定理及其推论
1．定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
（2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
- 1 - 数学辅导讲义
学员学校： 年 级：初三 课时数：2
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
学科组长签名
组长备注
课 题 圆与圆、圆与正多边形
授课时间： 备课时间：
教学内容
知识精要
1、用数量关系识别两圆的位置关系：设两圆的半径分别为R，r，圆心距为d
(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1))
即：两圆外离dRr；
(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2))即： 两圆外切dRr；
(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3)) 即：两圆相交RrdRr；
(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一
- 2 - 个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4))即： 两圆内切dRr；
(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例.(图(6)) 即：两圆内含0dRr。
2、按公共点的个数分类可分为三类
①相离 ②相切 ③相交
圆与圆的位置关系
两圆位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
（包括同心）
公共点
d与,Rr的关系
外公切线
内公切线
3、相交、相切两圆的性质定理
相切两圆的性质定理：（1）两圆相切连心线必过切点。（2）两圆外（内）公切线长相等。
相交两圆的性质定理：两圆相交，连心线垂直平分公共弦。
1 / 22
2021版新高考数学：直线与圆、圆与圆的位置关系含答案
编 辑：__________________
时 间：__________________
教学资料范本
2 / 22 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
[考点要求] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
(对应学生用书第148页)
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)两种研究方法：
3 / 22 ①代数法―――――――――――――――――→联立方程组消去x（y）得一元二次方程，Δ＝b2－4acΔ＞0⇔相交Δ＝0⇔相切Δ＜0⇔相离
②几何法―――――――――――――→圆心到直线的距离为d半径为r
d＜r⇔相交，弦长l＝2r2－d2d＝r⇔相切d＞r⇔相离
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)、圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
[常用结论]
1．当两圆相交(切)时、两圆方程(x2、y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
2．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0、y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0、y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0、y0)作圆的两条切线、则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2． 位置关系 几何法：圆心距d与r1、r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|
