2014版高中数学复习方略课时提升作业：2.3函数的奇偶性与周期性(北师大版 理 通用)]

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课时提升作业(六)

一、选择题

1.(2013·九江模拟)在下列函数中,图像关于原点对称的是( )

(A)y=xsinx (B)y=

(C)y=xlnx (D)y=x3+sinx

2.(2013·西安模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若对任意给定的不等实数x1,x2,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,则不等式f(1-x)<0的解集为

( )

(A)(1,+∞) (B)(0,+∞)

(C)(-∞,0) (D)(-∞,1)

3.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是

( )

(A)f(x)+|g(x)|是偶函数

(B)f(x)-|g(x)|是奇函数

(C)|f(x)|+g(x)是偶函数

(D)|f(x)|- g(x)是奇函数

4.已知f(x)是周期为2的奇函数,当0

a=f(),b=f(),

c=f(),则( )

(A)c

5.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( )

(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3

6.(2013·吉安模拟)已知函数f(x)=,则该函数是( )

(A)偶函数,且单调递增 (B)偶函数,且单调递减

(C)奇函数,且单调递增 (D)奇函数,且单调递减

7.若偶函数f(x)在(-∞,0)上是递减的,则不等式f(-1)

(A)(0,10) (B)(,10)

(C)(,+∞) (D)(0,)∪(10,+∞)

8.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,已知x∈(0,1)时,f(x)=lo(1-x),则函数f(x)在(1,2)上( )

(A)是递增的,且f(x)<0

(B)是递增的,且f(x)>0

(C)是递减的,且f(x)<0

(D)是递减的,且f(x)>0

9.(2013·咸阳模拟)函数y=f(x)是R上的奇函数,满足f(3+x)=f(3-x),当x∈(0,3)时,f(x)=2x,则当x∈(-6,-3)时,f(x)等于( )

(A)2x+6 (B)-2x-6 (C)2x-6 (D)-2x+6

10.(能力挑战题)设f(x)是连续的偶函数,且f(x)在(0,+∞)上是增加的或减少的,则满足f(x)=f()的所有x之和为( )

(A)-3 (B)3 (C)-8 (D)8

二、填空题

11.函数f(x)=为奇函数,则a= .

12.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f(f(5))

=

.

13.(2012·上海高考)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= .

14.(能力挑战题)函数y=f(x)(x∈R)有下列命题:

①在同一坐标系中,y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图像关于直线x=1对称;

②若f(2-x)=f(x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称;

③若f(x-1)=f(x+1),则函数y=f(x)是周期函数,且2是一个周期;

④若f(2-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图像关于(1,0)对称,其中正确命题的序号是 .

三、解答题

15.已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值.

(1)求实数a的取值范围.

(2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.

答案解析

1.【解析】选D.对于A,B,函数是偶函数,

对于C,函数既不是奇函数,也不是偶函数,

对于D,函数是奇函数,因而图像关于原点对称.

2.【解析】选D.由题意知,函数f(x)在R上是减函数且f(0)=0,从而f(1-x)<0可转化为1-x>0,

≨x<1.

3.【解析】选A.≧g(x)是R上的奇函数,≨|g(x)|是R上的偶函数,从而f(x)+|g(x)|是偶函数.

4.【解析】选A.a=f()=f(-)=-f()=-lg=lg,

b=f()=f(-)=-f()=-lg=lg2,

c=f()=f()=lg,

≧2>>,≨lg2>lg>lg,

≨b>a>c.

5.【解析】选A.因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以

f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故选A.

6.【解析】选C.当x>0时,-x<0,则f(-x)=2-x-1=-(1-2-x)=-f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)=1-2x=-(2x-1)=-f(x);当x=0时,f(x)=0.综上知f(-x)=-f(x),函数f(x)是奇函数,且f(x)是增函数,故选C.

7.【解析】选D.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|).

因为f(x)在(-≦,0)上是减少的,

所以f(x)在(0,+≦)上是增加的.

由f(-1)

故|lgx|>1,即lgx>1或lgx<-1,

解得x>10或0

8.【思路点拨】根据f(x)是周期为2的偶函数,把x∈(1,2)转化到2-x∈(0,1)上,再利用f(2-x)=f(x)求解.

【解析】选D.由题意得当x∈(1,2)时,0<2-x<1,0

lo[1-(2-x)]=lo(x-1)>lo1=0,则可知当f(x)在(1,2)上是递减的.

9.【解析】选D.由函数f(x)是奇函数知

f(3+x)=-f(x-3),

≨f(x+6)=-f(x).

设x∈(-6,-3),则x+6∈(0,3),

≨f(x+6)=-f(x)=2x+6,

≨f(x)=-2x+6.

10.【解析】选C.因为f(x)是连续的偶函数,f(x)在(0,+≦)上是增加

的或减少的,由偶函数的性质可知若f(x)=f(),只有两种情况:①x=;②x+=0,

由①知x2+3x-3=0,故两根之和为x1+x2=-3,

由②知x2+5x+3=0,故其两根之和为x3+x4=-5.

因此满足条件的所有x之和为-8.

11.【解析】由题意知,g(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,

≨a=-1.

答案:-1

12.【解析】≧f(x+2)=,

≨f(x+4)==f(x),

≨f(5)=f(1)=-5,

≨f(f(5))=f(-5)=f(3)==-.

答案:-

13. 【思路点拨】先利用奇函数条件求出f(x)与f(-x)的关系,从而f(1)与f(-1)的关系可求,即f(-1)可求,再求g(-1).

【解析】≧y=f(x)+x2是奇函数,≨f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2],

≨f(x)+f(-x)+2x2=0,≨f(1)+f(-1)+2=0,≧f(1)=1,

≨f(-1)=-3.

≧g(x)=f(x)+2,

≨g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1.

答案:-1

14.【解析】对于①,y=f(x+1)的图像由y=f(x)的图像向左平移1个单

位得到,y=f(-x+1)的图像,由y=f(-x)的图像向右平移1个单位得到,而y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称,从而y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图像关于直线x=0对称,故①错;

对于②,由f(2-x)=f(x)将x换为x+1可得f(1-x)=f(1+x),从而②正确;

对于③,由f(x-1)=f(x+1)将x换为x+1可得,f(x+2)=f(x),从而③正确.

对于④,由f(2-x)=-f(x)同上可得f(1-x)=-f(1+x),从而④正确.

答案:②③④

【误区警示】解答本题时,易误以为①正确,出错的原因是混淆了两个函数y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图像关系与一个函数y=f(x)满足f(x+1)=f(-x+1)时图像的对称关系.

【变式备选】设f(x)是(-≦,+≦)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),下面关于f(x)的判定:其中正确命题的序号为 .

①f(4)=0;

②f(x)是以4为周期的函数;

③f(x)的图像关于x=1对称;

④f(x)的图像关于x=2对称.

【解析】≧f(x+2)=-f(x),

≨f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4),

即f(x)的周期为4,②正确.

≨f(4)=f(0)=0(≧f(x)为奇函数),即①正确.

又≧f(x+2)=-f(x)=f(-x),

≨f(x)的图像关于x=1对称,≨③正确,

又≧f(1)=-f(3),当f(1)≠0时,显然f(x)的图像不关于x=2对称,≨④错误.

答案:①②③

15.【解析】(1)f(x)=

要使函数f(x)有最小值,需≨-2≤a≤2,

即当a∈[-2,2]时,f(x)有最小值.

(2)≧g(x)为定义在R上的奇函数,≨g(0)=0,

设x>0,则-x<0,

≨g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,

≨g(x)=

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