配对求和

第三章　配对求和

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用配对方法求和，实质上是变加法（连加）为乘法。要正确、

合理地运用这种方法，首先必须弄清应当怎样把一串数进行合理的

配对。有时，一串数的个数不是双数，就不能刚好配对，还留下一

个数，要弄清这个数是几；有时，一串数虽然个数是双数，但为了

计算简便，往往把其中两个或者几个数放在一旁，将其余数配对，

使每对中两数的和恰好是整十或整百数。

图解思维训练题

例1　计算：32＋34＋36＋38＋40＋42

图解思路

32，34，36，38，40，42共6个数相加，后一个数与前一个数都相

差2，如上图所示，我们可以把它们分为3组，每组的和是74，那么这

几个数的和就是3个74，即74×3＝222。

规范解答

例2　有一垛电线杆叠堆在一起，一共有20层。第1层有12根，第2层有13根……下面每层比上层多一根（如下图）。这一垛电线杆共有多少根？

图解思路

因为这堆电线杆从第2层起，每层比上面一层多一根，共有20层，

所以，这垛电线杆的总数为

规范解答

答：这垛电线杆的总数为430根。例3　计算：1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-

83-18-82-19-81

图解思路

因为11＋89＝100、12＋88＝100、13＋87＝100……这样会有9组

可以进行配对成100的数，如上图所示，所以只要从1000里面减去9个

100就可以了。

规范解答

例4　计算：993＋994＋995＋996＋997＋998＋999图解思路规范解答

小试身手

1．计算：11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29

2．计算：500-（11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29）

3．计算：1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1

拓展提升

4．求203，207，211，215，219这5个数的和

5．有一串数，第1个数是5，以后每个数比前一个数大5，最后一

第四讲 配对求和

（简单整数数列的计算）

知识要点： 配对技巧 项数的确定

小朋友们，你听过德国著名数学家、物理学家和天文学家高斯的故事吗？他从小就聪颖过人，还在他8岁的时候，老师给班上同学出了一道题：1＋2＋3＋4＋……＋99＋100＝？8岁的高斯很快报出了得数：5050。这个答案完全正确！最让老师吃惊的是，小高斯计算的速度如此快捷！那么，小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，根据所给算式的特点，他用了一种巧妙的方法——配对求和。采用这种方法，很多整数数列求和的问题都能迎刃而解了。

典型例题

例【1】 计算：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10

分析1 在这个算式中，共有10个数，将和为11的两个数一一配对，可配成5对。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解法一 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10

＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6）

＝11×5

＝55

分析2 将和为10的两个数一一配对，可配成4对，另加一个10，一个5。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

解法二 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10

＝（1＋9）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋5＋10

＝10×4＋5＋10

＝55

例【2】 计算：11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19

分析 将11与19、12与18、13与17、14与16配成4对，再加15。

11 12 13 14 15 16 17 18 19

解 11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19

＝（11＋19）＋（12＋18）＋（13＋17）＋（14＋16）＋15

＝30×4＋15

＝135

例【3】 计算：101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＋110

三年级奥数全册教材——A4

第⼀讲配对求和（简单整数数列的计算）

知识要点：配对技巧项数的确定

⼩朋友们，你听过德国著名数学家、物理学家和天⽂学家⾼斯的故事吗？他从⼩就聪颖过⼈，还在他8岁的时候，⽼师给班上同学出了⼀道题：1＋2＋3＋4＋……＋99＋100＝？8岁的⾼斯很快报出了得数：5050。这个答案完全正确！最让⽼师吃惊的是，⼩⾼斯计算的速度如此快捷！那么，⼩⾼斯是⽤什么办法算得这么快的呢？原来，根据所给算式的特点，他⽤了⼀种巧妙的⽅法——配对求和。采⽤这种⽅法，很多整数数列求和的问题都能迎刃⽽解了。

典型例题

例【1】计算：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10

分析1在这个算式中，共有10个数，将和为11的两个数⼀⼀配对，可配成5对。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

解法⼀1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10

＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6）

＝11×5

＝55

分析2 将和为10的两个数⼀⼀配对，可配成4对，另加⼀个10，⼀个5。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

解法⼆ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10

＝（1＋9）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋5＋10

＝10×4＋5＋10

＝55

例【2】计算：11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19

分析将11与19、12与18、13与17、14与16配成4对，再加15。111213 14 15 16 1718 19

解 11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19

＝（11＋19）＋（12＋18）＋（13＋17）＋（14＋16）＋15

＝30×4＋15

＝135

例【3】计算：101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＋110

分析此题中每个数⾥都包含了⼀个100，可以把这10个100分离出来，转化为例【1】解 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＋110

1、用3根等长的火柴摆成一个等边三角形用这样的等边三角形铺满一个大的等边三角形如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴那么一共要放多少根火柴

解：画出一个这样的三角形草图，以一边为底边，从最底层开始数，第一层有10个三角形，第二层有9个，第三层有8个，第四层有7个，依次下去、、、、、、最后一层有1个，因此三角形的总个数为

10+9+8+7+、、、、、、+3+2+1 ，根据配对求和公式（等差数列），得共有55个三角形，又因为每个三角形需要有3根火柴，所以共需要火柴：55×3=165（根）

2、1加2加3加4加,,,,,,,,加24加25等于几

解：第一个和倒数第一个配对，第二个和倒数第二个配对.......

1+25,2+24,3+23，.....12+14。25个数，配成12对，每对都是26，最后剩一个13没配，

和为：26×12+13=325

3、10加15加20加25加30加,,,,加95加100等于几

这是高斯求和问题，公式是：和=（首项+末项）×项数÷2

故：（10+100）×19÷2

=55×19

=1045

4、建筑工地有一些砖最上屋2块第2层6块午餐第3层10块,,,,,,,,下面的每层都比上一层多4块已知最下层有58块这堆砖一共有多少块

解：明显是一个等差数列求和

2 ，6，10........58

公差为4

项数= （58-2）÷4+1=15

和=（2+58）X15÷2=450

答：一共有450块砖

5、1加3加5加7加,,,,,,加1995加1997加1999等于几

1+3+5+7+9+...+1999=(1+1999)×1000÷2=1000000

总共是1000项，所以（1+1999）×1000÷2=1000000

是高斯九岁想到的高斯公式

也是等差数列的求和公式

第一项加最后一项的和乘以项数除以二即可

6、下面一列数是按一定规律排列的