第1节 数列的概念及简单表示法
最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
知 识 梳 理
1．数列的概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
2．数列的分类
分类原则 类型 满足条件
按项数分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
按项与项间
的大小关系
分类 递增数列 an＋1＞an 其中
n∈N* 递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
按其他
标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
4．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝S1 （n＝1），Sn－Sn－1 （n≥2）.
[常用结论与微点提醒]
1．一些常见数列的通项公式
(1)数列1，2，3，4，…的通项公式为an＝n；
(2)数列2，4，6，8，…的通项公式为an＝2n；
(3)数列1，2，4，8，…的通项公式为an＝2n－1；
(4)数列1，4，9，16，…的通项公式为an＝n2；
(5)数列1，12，13，14，…的通项公式为an＝1n.
第08讲 等差、等比数列
【考点梳理】
一、数列的概念及简单表示法
1.数列的定义
按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项
间的大
小关系 递增数列 an＋1＞an
其中n∈N+ 递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
等差数列及其前n项和1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数).
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝x＋y2.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋an）2.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列.
1 1.数列的概念: 按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n位的数称为这个数列的第n项.
注: 从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别.
2.数列的记法: 数列的一般形式可以写成:,,,,21naaa,可简记为}{na.其中na是数列的第n项.
3.数列的通项公式: 如果数列}{na的第n项na与序号n之间的关系可以用一个公式)(nfan来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
注1)一个数列的通项公式有时不唯一. 如,0,1,0,1,0,1,0,1,(2)通项公式的作用:①求数列中的任意一项;②检验某数是不是该数列中的项,并确定是第几项.
4.数列的本质: 从函数的观点看,数列可以看作一个定义域是正整数集*N(或它的子集},,3,2,1{n)的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立点.由于函数有三种表示法,所以数列也有三种表示法:列表法、图象法和通项公式法.通常用通项公式法表示数列.
5.数列的分类: (1)按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列.项数有限的数列叫做有穷数列;项数无限的数列叫做无穷数列.(2)按数列的每一项随序号的变化趋势,分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列. 一个数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列; 一个数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;各项相等的数列叫做常数列; 一个数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.
1 数列的概念与简单表示法
要点一、数列的概念
数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.
要点诠释：
（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列；
（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n位的数称为这个数列的第n项.其中数列的第1项也叫作首项；项在数列中的位置序号称为项数.
要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.
类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：
（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；
（2）可重复性：数列中的数可以重复；
（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.
数列的一般形式可以写成：1a，2a，3a，…，na，…，或简记为na.其中na是数列的第n项.
要点诠释：{}na与na的含义完全不同，{}na表示一个数列，na表示数列的第n项.
要点二、数列的分类
根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.
无穷数列：项数无限的数列.
根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
要点三、数列的通项公式与前n项和
数列的通项公式
：如果数列na的第n项na与n之间的关系可以用一个公式()nafn来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
如数列：0，1，23，…的通项公式为1nan（*nN）；
1，1，1，1，…的通项公式为1na（*nN）；
1，12，13，14，…的通项公式为1nan（*nN）；
