多元线性回归模型及其参数估计多元线性回归的显著性

3. 图像
1 =1
=-1 <-1
0< < 1
-1< <0
非线性模型及其线性化方法
双曲线函数
1. 基本形式： 2. 线性化方法
令：y' = 1/y，x'= 1/x, 则有y' = + x'
3. 图像
<0
>0
非线性模型及其线性化方法
对数函数
1. 基本形式： 2. 线性化方法
一、多元线性回归模型
（概念要点）
1. 一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归。
2. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1，x2，… xp 和 误差项 的方程称为多元线性回归模型。
3. 涉及 p 个自变量的多元线性回归模型可表示为
y 0 1x1i 2 x2i p x pi i
yˆ0 ，就是个别值的点估计。
2. 比如，如果我们只是想知道1990年人均国民收
入为1250.7元时的人均消费金额是多少，则属 于个别值的点估计。根据估计的回归方程得
yˆ0 54.22286 0.526381250.7 712.57(元)
利用回归方程进行估计和预测
（区间估计）
1. 点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际 值之间是有误差的，因此需要进行区间估计。
2、 E(y0) 在1-置信水平下的置信区间为
yˆ0 t 2 (n 2)S y
1 x0 x2
n
n
xi
x
2
式 中 ： Sy 为 估 计标准误差
i 1
利用回归方程进行估计和预测
（置信区间估计:算例） 【例】根据前例，求出人均国民收入1250.7元 时，人均消费金额95%的置信区间。 解：根据前面的计算结果

i = 1,2, L , n
回归剩余（残差）： 回归剩余（残差）：
ˆ ei = Yi - Yi
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二、多元线性回归模型的矩阵表示
k 1个解释变量的多元线性回归模型的 n (通常大
于k)个观测 样本， 样本，可表示为
Y1 = β1 + β2 X21 + β3 X31 + ... + βk Xk1 + u1
如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等） （如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）
各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负） 各种因素对汽车销量影响的性质怎样？ 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？ 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？ 所得到的数量结论是否可靠？ 所得到的数量结论是否可靠？ 中国汽车行业今后的发展前景怎样？ 中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的 产业政策？ 产业政策？ 很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。下面 多元线性回归模型。 介绍——多元线性回归模型。 介绍
11
怎样分析多种因素的影响？ 怎样分析多种因素的影响？
分析中国汽车行业未来的趋势,应具体分析这样一些问题： 分析中国汽车行业未来的趋势 应具体分析这样一些问题： 应具体分析这样一些问题 中国汽车市场发展的状况如何？ 用销售量观测） 中国汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测） 影响中国汽车销量的主要因素是什么？ 影响中国汽车销量的主要因素是什么？
假定4：随机扰动项与解释变量不相关 假定4
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计量经济学

ˆ ˆ对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如Y = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + L L + β k X k + u（1）的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设 H 0 ： β j = a j ，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中 a j 为某个给 定的已知数。

特别是，当 a j =0 时，称为参数的（狭义 意义上的）显著性检验。

如果拒绝 H 0 ，说明解释变量X j 对被解释变量 Y 具有显著的线性影响，估计值 β j 才敢使用；反之，说明解释变量 X j 对被解释变量 Y 不具有显著的线性影响，估计值 β j 对我们就没有意义。

具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 H 0 ： β j = a j ；ˆˆˆˆˆˆˆ ˆ (（2） 计算统计量t =β j - E ( β j )Se ( β j )=β j - a jSe ( βj ) 的数值；Se ( β j ) = σC jj ，其中C jj = (X T X) -1 j +1j +1（3） 在给定的显著水平 α 下（ α 不能大于 0.1 即10%，也即我们不能在置信度小于 90%以下的前提下做结论），查出双尾 t （ n - k - 1 ）分布的临界值 t α / 2 ；（4） 如果出现t > t α / 2 的情况，检验结论为拒绝H 0 ；反之，无法拒绝 H 0 。

t 检验方法的关键是统计量t =β j - β j Se (βj ) 必须服从已 知的 t 分布函数。

什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。

我们有一个含 n 次观测的随机样 { X i 1 , X i 2 ,L , X ik , Y i ): i = 1,2,L , n }。

t=
βj βj Sβ
j
=
βj βj e′e cjj n k 1
~ t(nk 1)
2、t检验 、 检验
设计原假设与备择假设： 设计原假设与备择假设： H0：βi=0 H1：βi≠0 给定显著性水平α，可得到临界值tα/2(n-k-1)， 给定显著性水平α 可得到临界值 ) 由样本求出统计量t的数值 的数值， 由样本求出统计量 的数值，通过 |t|> |t|> tα/2(n-k-1) ) 或 |t|≤ |t|≤tα/2(n-k-1) )
RSS = ∑ ei
2
2 总体平方和
Y )2 ESS = ∑(Y
回归平方和 残差平方和
则
TSS = Σ(Yi Y ) 2 = Σ((Yi Yi ) + (Yi Y )) 2 = Σ(Yi Yi ) 2 + 2Σ(Yi Yi )(Yi Y ) + Σ(Yi Y ) 2
由于
n 1 R = 1 (1 R ) n k 1
2 2
*2、赤池信息准则和施瓦茨准则 、
赤池信息准则（ 赤池信息准则（AIC） ）
AIC=-2L/n + 2(k + 1) / n
施瓦茨准则（SC） 施瓦茨准则（ ）
SC=-2L/n + (k + 1) ln n / n
L为对数似然值，n为样本容量，k为解释变量个数。 这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少 这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少 AIC值或AC值时才在原模型中增加该解释变量 值或AC值时才在原模型中增加该解释变量。 AIC值或AC值时才在原模型中增加该解释变量
β 0 = 120.70 β 1 = 0.2213 β 2 = 0.4515 s β = 36.51