2016年浙江省宁波市慈溪中学高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2015-2016学年浙江省宁波市慈溪中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=Z，集合A={1，2}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x∈Z|x≥3} C．{3，4}D．{1，2}2．（5分）给出下列3个命题，其中正确的个数是（）①若“命题p∧q为真”，则“命题p∨q为真”；②命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0”；③“tanx＞0”是“sin2x＞0“的充要条件．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个3．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于54．（5分）若函数f（x）=sin2ωπx（ω＞0）的图象在区间[0，]上至少有两个最高点，两个最低点，则ω的取值范围为（）A．ω＞2 B．ω≥2 C．ω＞3 D．ω≥35．（5分）已知正实数a，b满足+=3，则（a+1）（b+2）的最小值是（）A．B．C．7 D．66．（5分）定义max{a，b}=，设实数x，y满足约束条件，则z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（）A．[﹣8，10]B．[﹣7，10]C．[﹣6，8]D．[﹣7，8]7．（5分）已知异面直线a，b成60°角，A为空间中一点，则过A与a，b都成45°角的平面（）A．有且只有一个B．有且只有两个C．有且只有三个D．有且只有四个8．（5分）已知函数f（x）=，当x∈[0，100]时，关于x的方程f（x）=x﹣的所有解的和为（）A．9801 B．9950 C．10000 D．10201二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题6分，共36分.9．（6分）已知双曲线C的离心率为2，它的一个焦点是（0，2），则双曲线C 的标准方程为，渐近线的方程是．10．（6分）已知f（x）=，则f（f（e））=；不等式f（x）＞﹣1的解集为．11．（6分）某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每一条线段的末端再生成两条长度均为原来的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，则（Ⅰ）四级分形图中共有条线段；（Ⅱ）n级分形图中所有线段的长度之和为．12．（6分）已知非零向量，，满足||≥1，|+|=|﹣|=2，（﹣）•（﹣）=3，则||的最小值是，最大值是．13．（4分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体表面积是cm2．14．（4分）设F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，当|AB|=6时，以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是．15．（4分）已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA ﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，点P在底面ABCD上的射影为△ACD的重心，点M 为线段PB上的点．（1）当点M为PB的中点时，求证：PD∥平面ACM；（2）当平面CDM与平面CBM所成锐二面角的余弦值为时，求的值．18．（15分）设椭圆C1：+=1，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C1交于M，N两点．（I）是否存在直线l，使得•=﹣2，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；（Ⅱ）若AB是椭圆C1经过原点O的弦，且MN∥AB，求证：为定值．19．（15分）设函数f（x）=x2﹣2x﹣|x﹣1﹣a|﹣|x﹣2|+4．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值（Ⅱ）对∀x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．20．（14分）设n∈N*，圆C n：x2+y2=（R n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线的交点为N（），直线MN与x轴的交点为A（a n，0）．（1）用n表示R n和a n；＞2；（2）求证：a n＞a n+1（3）设S n=a1+a2+a3+…+a n，T n=，求证：．2015-2016学年浙江省宁波市慈溪中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=Z，集合A={1，2}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x∈Z|x≥3} C．{3，4}D．{1，2}【解答】解：全集U=Z，集合A={1，2}，A∪B={1，2，3，4}，∴集合B⊆A∪B，并且一定有3，4，∴∁U A也一定有3，4，∴（∁U A）∩B={3，4}．故选：C．2．（5分）给出下列3个命题，其中正确的个数是（）①若“命题p∧q为真”，则“命题p∨q为真”；②命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0”；③“tanx＞0”是“sin2x＞0“的充要条件．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【解答】解：对于①，若“命题p∧q为真”，则两个命题都是真命题，所以“命题p∨q为真”；正确；对于②，命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0”；满足命题的否定形式，正确；对于③，“tanx＞0”可得x∈（kπ，kπ+），k∈Z；“sin2x＞0“可得2x∈（2kπ，2kπ+π），即x∈（kπ，kπ+），k∈Z；所以“tanx＞0”是“sin2x＞0“的充要条件．正确；故选：C．3．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，但显然球的半径不等于棱长，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．4．（5分）若函数f（x）=sin2ωπx（ω＞0）的图象在区间[0，]上至少有两个最高点，两个最低点，则ω的取值范围为（）A．ω＞2 B．ω≥2 C．ω＞3 D．ω≥3【解答】解：因为函数f（x）=sin2ωπx==﹣cos2ωπx （ω＞0）的图象在区间[0，]上至少有两个最高点和两个最低点，则区间[0，]上至少包含个周期，故有•≤，求得ω≥3，故选：D．5．（5分）已知正实数a，b满足+=3，则（a+1）（b+2）的最小值是（）A．B．C．7 D．6【解答】解：∵正实数a，b满足+=3，∴3=+≥2，当且仅当a=，b=取等号，∴≥，∴ab≥，∵+=3，∴2a+b=3ab，∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2=4ab+2≥4×+2=，∴（a+1）（b+2）的最小值是，故选：B．6．（5分）定义max{a，b}=，设实数x，y满足约束条件，则z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（）A．[﹣8，10]B．[﹣7，10]C．[﹣6，8]D．[﹣7，8]【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由定义max{a，b}=，得z=max{4x+y，3x﹣y}=，当x+2y≥0时，化z=4x+y为y=﹣4x+z，当直线y=﹣4x+z过B（﹣2，1）时z有最小值为4×（﹣2）+1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过A（2，2）时z有最大值为4×2+1×2=10；当x+2y＜0时，化z=3x﹣y为y=3x﹣z，当直线y=3x﹣z过B（﹣2，1）时z有最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过C（2，﹣2）时z有最大值为4×2﹣1×（﹣2）=10．综上，z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是[﹣7，10]．故选：B．7．（5分）已知异面直线a，b成60°角，A为空间中一点，则过A与a，b都成45°角的平面（）A．有且只有一个B．有且只有两个C．有且只有三个D．有且只有四个【解答】解：已知平面过A，再知道它的方向，就可以确定该平面了∵涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系，∴原题简化为：已知两条相交直线a，b成60°角，求空间与a，b都成45°角的直线．过P作a′∥a，b′∥b，设直线a′、b′确定的平面为α，∵异面直线a、b成60°角，∴直线a′、b′确所成锐角为60°①当直线l在平面α内时，若直线l平分直线a′、b′确所成的钝角，则直线l与a、b都成60°角，不成立；②当直线l与平面α斜交时，若它在平面α内的射影恰好落在直线a′、b′确所成的锐角平分线上时，直线l与a、b所成角相等．此时l与a'、b'所成角的范围为[30°，90°]，适当调整l的位置，可使直线l与a、b也都成45°角，这样的直线l有两条．综上所述，过点P与a′、b′确都成45°角的直线，可以作2条．∴过A与a，b都成45°角的平面有且只有2个．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=，当x∈[0，100]时，关于x的方程f（x）=x﹣的所有解的和为（）A．9801 B．9950 C．10000 D．10201【解答】解：x∈[0，1）时，f（x）=（x﹣1）2+2（x﹣1）+1=x2，令f（x）=x﹣，得：x2﹣x+=0，∴x1+x2=1；x∈[1，2）时，f（x）=（x﹣1）2+1，令f（x）=x﹣，得：x3+x4=3，x∈[3，4）时，f（x）=（x﹣2）2+2，令f（x）=x﹣，得：x5+x6=5，…，x∈[n，n+1）时，f（x）=（x﹣n）2+n，令f（x）=x﹣，得：x2n+1+x2n+2=2n+1，x∈[99，100]时，f（x）=（x﹣99）2+99，令f（x）=x﹣，得：x199+x200=199，∴1+3+5+…+199=10000，故选：C．二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题6分，共36分.9．（6分）已知双曲线C的离心率为2，它的一个焦点是（0，2），则双曲线C 的标准方程为y2﹣=1，渐近线的方程是y=±x．【解答】解：由题意e=2，c=2，由e=，可解得a=1，又b2=c2﹣a2，解得b2=3所以双曲线的方程为y2﹣=1，渐近线方程是y=±x．故答案为：y2﹣=1；y=±x．10．（6分）已知f（x）=，则f（f（e））=﹣1；不等式f（x）＞﹣1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，e）．【解答】解：∵f（x）=，∴f（e）=ln=﹣1，∴f（f（e））=f（﹣1）==﹣1；不等式f（x）＞﹣1等价于或，分别解不等式可得0＜x＜e或x＜﹣1故答案为：﹣1；（﹣∞，﹣1）∪（0，e）11．（6分）某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每一条线段的末端再生成两条长度均为原来的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为120°；…；依此规律得到n级分形图，则（Ⅰ）四级分形图中共有45条线段；（Ⅱ）n级分形图中所有线段的长度之和为．【解答】解：（I）当n=1时，共有3条线段；当n=2时，共有3+3×（3﹣1）=9条线段；当n=3时，共有3+3×（3﹣1）+3×22=21条线段；当n=4时，共有3+3×（3﹣1）+3×22+3×23=45条线段．（II）由（I）可得：n级分形图中所有线段的长度之和=3++×3×22+…+=3==．故答案分别为：45，．12．（6分）已知非零向量，，满足||≥1，|+|=|﹣|=2，（﹣）•（﹣）=3，则||的最小值是1，最大值是3．【解答】解：设，，∵|+|=|﹣|=2，∴．不妨设=（m，0）（m≥1）．=（0，n）（n＞0）.=（x，y）．∵|+|=|﹣|=2，（﹣）•（﹣）=3，∴m2+n2=4，x（x﹣m）+y（y﹣n）=3，即+=4．∴||=∈[2﹣1，2+1]=[1，3]．因此的最小值是1，最大值是3．故答案分别为：1；3．13．（4分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体表面积是124+2cm2．【解答】解：由三视图可得，原几何体为：一个长宽高分别为6cm、3cm、6cm 的长方体砍去一个三棱锥，且三棱锥的底面为直角边分别为3cm、4cm直角三角形，高为4cm，如图：∴该几何体的表面积S=2（6×3×2+6×6）﹣（3×4×2+4×4）+×4×=124+2（cm2）．故答案为：124+2．14．（4分）设F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，当|AB|=6时，以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是2．【解答】解：y2=4x的焦点F（1，0），设直线AB：y=k（x﹣1），代入抛物线的方程可得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=2+，即有中点的横坐标为1+，由抛物线的弦长公式可得，|AB|=x1+x2+p=1++1=6，解得k=，即有r=3，d=1+=2，再由圆的弦长公式可得，与y轴相交所得弦长是2=2=2．故答案为：2．15．（4分）已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则的取值范围是．【解答】解：三角形必须满足两边之和大于第三边，所以b+c＞a，c+a＞b，结合已知得a＜b+c≤2a ①b＜c+a≤2b ②将①变形得﹣2a≤﹣b﹣c＜﹣a ③将②③相加得b﹣2a ＜a﹣b＜2b﹣a 由不等式左边b﹣2a＜a﹣b得3a＞2b，所以＜由不等式右边a﹣b＜2b﹣a得2a＜3b，所以＞所以的取值范围是＜＜故答案为三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA ﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．【解答】解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，即sinAsinB﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，则≤b＜1．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，点P在底面ABCD上的射影为△ACD的重心，点M 为线段PB上的点．（1）当点M为PB的中点时，求证：PD∥平面ACM；（2）当平面CDM与平面CBM所成锐二面角的余弦值为时，求的值．【解答】证明：（1）设AC、BD的交点为I，连结MI，∵底面ABCD是菱形，∴I为BD中点，∵点M为BP的中点，∴PD∥MI，又MI⊂平面ACM，PD⊄平面ACM，∴PD∥平面ACM；…（5分）解：（2）设CD的中点为O，分别以OA、OC为x轴、y轴，过O点垂直平面ABCD 的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（），C（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（，0，），设=λ（0＜λ＜1），…（7分）则==（，1﹣2λ，），=（0，2，0），=（﹣），设平面CDM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，），…（10分）设平面CBM的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣），…（12分）∵平面CDM与平面CBM所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜＞|===，解得或，∴的值为或．…（15分）18．（15分）设椭圆C1：+=1，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C1交于M，N两点．（I）是否存在直线l，使得•=﹣2，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；（Ⅱ）若AB是椭圆C1经过原点O的弦，且MN∥AB，求证：为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，直线l与椭圆必相交．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当直线斜率存在时，设存在直线l为y=k（x﹣1），（k≠0），且M（x1，y1），N （x2，y2）．由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，，，=x1x2+y1y2==+k2（）==﹣2．解得k=，故直线l的方程为y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）．…（8分）证明：（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），由（Ⅰ）得：|MN|=|x1﹣x2|===．由，消去y，并整理得：，|AB|==4，∴==4为定值…（15分）19．（15分）设函数f（x）=x2﹣2x﹣|x﹣1﹣a|﹣|x﹣2|+4．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值（Ⅱ）对∀x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣2x﹣2|x﹣2|+4，当x≥2时，f（x）=（x﹣2）2+4≥4，当x＜2时，f（x）=x2≥0，∴f（x）的最小值为0；（II）由f（0）≥0，f（1）≥0，…（9分）即|1+a|≤2，|a|≤2，得﹣2≤a≤1．…（11分）又当﹣2≤a≤1时，ⅰ）若x≥2，f（x）=（x﹣2）2+3+a≥0，ⅱ）若1+a≤x＜2，f（x）=（x﹣1）2+2+a≥0，ⅲ）若x＜1+a，f（x）=x2﹣a+1≥0，综上可知﹣2≤a≤1时，对∀x∈R，f（x）≥0恒成立，故a∈[﹣2，1]．（15分）20．（14分）设n∈N*，圆C n：x2+y2=（R n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线的交点为N（），直线MN与x轴的交点为A（a n，0）．（1）用n表示R n和a n；（2）求证：a n＞a n＞2；+1（3）设S n=a1+a2+a3+…+a n，T n=，求证：．【解答】（1）解：∵N（）在曲线上，∴N（，）代入圆C n：x2+y2=，可得，∴M（0，）∵直线MN与x轴的交点为A（a n，0）．∴=∴（2）证明：∵，∴＞2∵＞，∴＞+∴a n＞a n＞2；+1（3）证明：先证当0≤x≤1时，事实上，等价于等价于≤1+x≤等价于≤0≤后一个不等式显然成立，前一个不等式等价于x2﹣x≤0，即0≤x≤1∴当0≤x≤1时，∴∴（等号仅在n=1时成立）求和得∴．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=第21页（共21页）③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。