不等式选讲高考专题复习

1 不等式选讲 [知识点复习] 1、不等式的基本性质

①（对称性）abba ②（传递性）,abbcac ③（可加性）abacbc （同向可加性）dbcadcba, （异向可减性）dbcadcba, ④（可积性）bcaccba0, bcaccba0,

⑤（同向正数可乘性）0,0abcdacbd （异向正数可除性）0,0ababcdcd

⑥（平方法则）0(,1)nnababnNn且 ⑦（开方法则）0(,1)nnababnNn且 ⑧（倒数法则）babababa110;110 2、几个重要不等式

①222abababR，,（当且仅当ab时取""号）. 变形公式：22.2abab ②（基本不等式） 2abab abR，,（当且仅当ab时取到等号）. 变形公式： 2abab 2.2abab 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）

33

abcabc()abcR、、

（当且仅当abc时取到等号）.

④222abcabbccaabR，（当且仅当abc时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)abcabcabc（当且仅当abc时取到等号）. ⑥0,2baabab若则（当仅当a=b时取等号） 0,2baabab若则（当仅当a=b时取等号） ⑦banbnamambab1 其中(000)abmn，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;axaxaxaxa当时，或 22.xaxaaxa

⑨绝对值三角不等式.ababab 3、几个著名不等式

①平均不等式：2211222abababababR，,（当且仅当ab时取""号）. （即调和平均  几何平均  算术平均  平方平均）.

2

变形公式： 222

;22ababab



222().2abab



②幂平均不等式：222212121...(...).nnaaaaaan ③二维形式的三角不等式： 22222211221212()()xyxyxxyy

1122(,,,).xyxyR

④二维形式的柯西不等式： 22222()()()(,,,).abcdacbdabcdR 当且仅当adbc时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：

2222222123123112233()()().aaabbbababab

⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)nnaaabbb

2

1122(...).nnababab

⑦向量形式的柯西不等式： 设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）： 设1212...,...nnaaabbb为两组实数.12,,...,nccc是12,,...,nbbb的任一排列，则

12111122......nnnnnabababacacac1122....nnababab（反序和乱序和顺序和）

当且仅当12...naaa或12...nbbb时，反序和等于顺序和. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：

①舍去或加上一些项，如22131()();242aa ②将分子或分母放大（缩小），如

211,(1)kkk 211,(1)kkk

 2212(),21kkkkkk

*12(,1)1kNkkkk

等.

[高考试题精选] 2011年试题：

一、选择题: 3

1. (2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10xx的解集为 （A）[-5.7] （B）[-4,6] （C）(,5][7,) （D）(,4][6,) 【答案】D 【解析】由不等式的几何意义知，式子|3||5|xx表示数轴的点)(x与点（5）的距离和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D正确 二、填空题 1. (2011年高考天津卷理科13)

已知集合1|349,|4,(0,)AxRxxBxRxttt，则集合AB=________.

【答案】52|xRx 【解析】∵54|9|4||3||xRxxxRxA， 



,0,6142|,0,614|tttxRxtttxRxB2|xRx，

∴52|2|54|xRxxRxxRxBA. 对于实数x，y，若11x，12y，则12yx的最大值为 .【答案】5

3. (2011年高考广东卷理科9)不等式130xx的解集是______. 【解析】}1|{xx。由题得1)3()1(|3||1|22xxxxx 所以不等式的解集为}1|{xx。

4．(2011年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x的不等式12axx存在实数解，则实数a的取值范围是 【答案】(,3][3,) 【解析】：因为12|12|3xxxx所以12axx存在实数解，有3a3a或3a 4

三、解答题: 1．(2011年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|. （I）证明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.

解：（I）3,2,()|2||5|27,25,3,5.xfxxxxxx 当25,3273.xx时 所以3()3.fx （II）由（I）可知， 当22,()815xfxxx时的解集为空集；

当225,()815{|535}xfxxxxx时的解集为； 当25,()815{|56}xfxxxxx时的解集为. 综上，不等式2()815{|536}.fxxxxx的解集为 2. (2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分） 选修4-5不等选讲 设函数0,3)(axaxxf（1）当1a时，求不等式23)(xxf的解集；(2)如果不等式0)(xf

的解集为1xx，求a的值。 分析：解含有绝对值得不等式，一般采用零点分段法，去掉绝对值求解；已知不等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的值； 解：（Ⅰ）当1a时，不等式23)(xxf，可化为，21x 3,1xx，所以不等式23)(xxf的解集为3,1xxx或

（Ⅱ）因为0)(xf，所以，03xax，可化为，

0303xxaaxxaxax

或 即24axaxaxax或

因为，0a所以，该不等式的解集是2axx，再由题设条件得2,12aa 点评：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性。 5

3.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 解不等式：|21|3xx 解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。 原不等式等价于：43213,23xxxx，解集为4(2,)3 4．(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式11-x2＜的解集为M． （I）求集合M；（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小． 解析：本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。 解：（I）由|21|11211,01.xxx得解得所以{|01}.Mxx （II）由（I）和,abM可知0故1.abab

2010年试题： 一、填空题：

1．（2010年高考陕西卷理科15）(不等式选做题)不等式的解集为 .【答案】 【解析】（方法一）当时，∵原不等式即为，这显然不可能， ∴不适合. 当时，∵原不等式即为，又，∴适合. 当时，∵原不等式即为，这显然恒成立，∴适合. 故综上知，不等式的解集为，即.

（方法二）设函数，则∵∴作函数 的图象，如图所示，并作直线与之交于点. 又令，则，即点的横坐标为. 故结合图形知，不等式的解集为.