黑龙江省数学高三理数第二次(4月)模拟考试试卷C卷

2022届黑龙江省哈尔滨第三中学高三第四模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合()22,1,,42x y A x y x Z y Z ⎧⎫=+≤∈∈⎨⎬⎩⎭，则A 中元素的个数为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．122．已知数列{}n a 是公比为实数的等比数列，11a =，525a =，则3a =（ ） A ．13B ．5-C ．5±D ．53．已知不重合的两条直线m ，n 和两个不重合的平面α，β，则下列选项正确的是（ ） A ．若m n ∥，m α∥且αβ∥，则n β∥ B ．若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥ C ．若m n ⊥，m α⊥且n β∥，则αβ∥ D ．若m α∥，n β⊥且αβ⊥，则m n ∥4．《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测.推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸，地支分别为子､丑､寅､卯､辰､已､午､未､申､酉､戌､亥.该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2023年是“癸卯”年，正值哈尔滨市第三中学建校100周年，那么据此推算，哈三中建校的年份是（ ）A ．癸卯年B ．癸亥年C ．辛丑年D ．辛卯年5．若()45P A =，()25P B =，()13P AB =，则()P B A =（ ） A ．512B ．56C ．12D ．8256．某几何体的三视图如图所示，其中正视图为直角梯形，侧视图为等腰三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．47．设π2π2cos a xdx -=⎰，则二项式51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第三项的系数为（ ） A ．80-B ．40C ．10D ．10-8．已知向量()sin ,cos a x x =，(),1b m =，函数()f x a b =⋅的图象关于直线π12x =对称，则实数m 的值为（ ） A ．31B ．31C ．23D ．23+9．已知()f x 为定义在R 上的周期为4的奇函数，当()0,1x ∈时，()5e xf x a =+，若()3202320222e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则20195f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．3e e + B ．3e e -- C ．3e e - D ．3e e -+10．已知抛物线C ：24y x =，A 为C 上的动点，直线l 为C 在点A 处的切线，则点()4,0B 到l 距离的最小值为（ ） A 3B ．23C ．3D ．411．已知命题p ：若a b >，则a a b b ；命题q ：若方程()()11x a x +-=只有一个实根，则13a -<<.下列命题中是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ∧⌝12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos 3sin cos a B b A b A =-，则()2a b ab+的取值范围是（ ） A ．[]3,5 B ．[]4,6C ．4,213⎡+⎣D ．4,215⎡⎤⎣⎦二、填空题13．在利用秦九韶算法求()43254321f x x x x x =-+-+当3x =的值时，把多项式函数改写成如下形式：()()()()54321f x x x x x =-+-+，从内到外逐层计算一次多项式的值，其中记05v=，154v x =-，以此类推，则计算得2v 的数值为___________.14．设直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2212x y -=相交于不同的两点A ，B ，则k 的取值范围为___________.15．正四棱锥P ABCD -中，M 为棱AB 上的点，且3PA AB AM ==，设平面P AD 与平面PMC 的交线为l ，则异面直线l 与BC 所成角的正切值为___________. 三、双空题16．曲线ln y m x =+过点()2,0-的切线也是曲线e x y =的切线，则m =___________；若此公切线恒在函数()212e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象上方，则a 的取值范围是___________.四、解答题17．哈尔滨红肠已有近百年历史，是哈尔滨特产，也是黑龙江特产的代表，深受广大民众的喜爱，哈尔滨红肠是用大兴安岭的老果木熏制而成的，因此它除了肉香还会散发着浓郁的果木香.某调查机构从年龄在[)20,70岁的游客中随机抽取100人，对是否有意向购买哈尔滨红肠进行调查，结果如下表：(1)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关？(2)用样本估计总体，用频率估计概率，从年龄在[)60,70的所有游客中随机抽取3人，设这3人中打算购买哈尔滨红肠的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82818．如图，在多面体ABCDEF 中，平面EAD ⊥平面ABCD ，EAD 为正三角形，四边形ABCD 为菱形，且π3DAB ∠=，DE CF ∥，2DE CF =.(1)求证：AE ∥平面BCF ； (2)求二面角E -AF -C 的余弦值.19．已知数列{}n a ，13a =，点()1,n n a a +在曲线5823x y x -=-上，且12nn b a =-. (1)求证：数列{}n b 是等差数列； (2)已知数列{}n c 满足122n b n n c b +=⋅，记n S 为数列{}n c 的前n 项和，求n S ，并证明：当2n ≥时，6n S >.20．已知圆1C ：(2271x y +=，圆2C ：(22749x y +=，动圆E 与圆1C 外切并且与圆2C 内切.(1)求动圆圆心E 的轨迹方程；(2)过点()0,2M 的直线与动圆圆心E 的轨迹相交于A ，B 两点，在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与M 不同的定点N ，使得NA MB NB MA ⋅=⋅恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.21．在高等数学中，我们将()y f x =在0x x =处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ''=+'-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅（其中()()n f x 表示()f x 的n 次导数），以上公式我们称为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式. (1)分别求e x ，sin x ，cos x 在0x =处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x 可以推广至复数域，试证明：i e 10π+=.（其中i 为虚数单位）；(3)若30,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin e 1a x x >+恒成立，求a 的范围.（参考数据5ln 0.92≈）22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨⎪⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，直线2C ：2sin 16πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 上的点与直线2C 上的点距离的最小值；(2)将曲线1C 向左平移13C ，再将3C 经过伸缩变换12x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩后得到曲线4C ，求曲线4C 上的点到直线2C 距离的最大值.23．已知函数()2f x x mx n =+-.(1)若()11f ≤，()22f ≤，求证：75117m n -+≤；(2)若函数()f x 的最小值为12-，且实数a ，b ，c 满足22341ab bc ac m n ++=+-，求222435a b c ++的最小值.参考答案：1．C 【解析】 【分析】由椭圆的性质得22,x y -≤≤≤. 【详解】解：由椭圆的性质得22,x y -≤≤≤≤ 又,x Z y Z ∈∈,所以集合()()()()()()()()()()(){}=2,0,2,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1A ------- 共有11个元素. 故选：C 2．D 【解析】 【分析】由条件结合等比数列通项公式求出公比，由此可求3a . 【详解】设数列{}n a 的公比为q ， 因为11a =，525a =， 所以425q =，即25q =， 所以2315a a q ==， 故选：D. 3．B 【解析】 【分析】对于A ，当m n ∥，m α∥且αβ∥，则n 可能在β 内，判断A; 对于B ，根据平面的法向量可进行判断；对于C ，考虑 ,αβ可能相交，也可能平行，即可判断；对于D ，考虑到,m n 可能平行或异面或相交，即可判断， 【详解】对于A ，当m n ∥，m α∥且αβ∥，则n 可能在β 内，故A 错误；对于B ，因为m α⊥，故在m 上可取m 作为α 的法向量，同理在n 上可取n 作为β 的法向量，因为αβ⊥，故0m n ⋅=，即得m n ⊥，故B 正确；对于C ，当m n ⊥，m α⊥且n β∥时，,αβ可能相交，也可能平行，故C 错误； 对于D ，当m α∥，n β⊥且αβ⊥时，,m n 可能平行或异面或相交，故D 错误， 故选：B 4．B 【解析】 【分析】根据天干和地支的周期计算可得结果. 【详解】依题意可知，天干的周期为10，地支的周期为12， 因为1001010=，所以哈三中建校的年份的天干也是癸； 因为1008124=⨯+，所以哈三中建校的年份的地支为亥， 哈三中建校的年份是“癸亥年”. 故选：B. 5．A 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】 因为()45P A =，()25P B =，()13P AB =， 所以()()()1534125P AB P B A P A ===， 故选：A 6．B 【解析】 【分析】想象并复原几何体的直观图，利用三视图的数据，求得原几何体的体积，即得答案. 【详解】由几何题的三视图，复原几何体为如图正方体中的三棱锥P ABC - ,由三视图可知正方体的棱长为2，故三棱锥顶点P 位于正方体相应的棱的中点，底面为ABC ,高为正方体棱长2， 则几何体的体积为114222323V =⨯⨯⨯⨯= ， 故选：B 7．B 【解析】 【分析】 根据π2π2cos a xdx -=⎰求得a ，再根据55112ax x x x =⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭直接求得第三项的系数，可得答案. 【详解】π2π2ππcos sin sin()222a xdx -==--=⎰，故55112ax x x x =⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式中的第三项的系数为225C (2)40-= , 故选：B 8．C 【解析】 【分析】先根据平面向量数量积的坐标表示得到函数()f x 的表达式，再根据()π6f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，赋值0x =，即可求出m 的值． 【详解】()sin cos f x a b m x x =⋅=+，因为函数()f x a b =⋅的图象关于直线π12x =对称，所以()π6f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令0x =，()π06f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭即1312m =，解得：23m =故选：C ．9．B 【解析】 【分析】根据函数的周期和奇偶性推得(2)0f =，继而化简()3202320222e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可求得3e a =，化简20195f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于1()5f -，即可求得答案.【详解】由题意可得，()f x 为定义在R 上的周期为4的奇函数， 故(4)()()f x f x f x +==-- ， 故(2)(24)(2),(2)0f f f f =-+=-= ， 又2023340455=+，故()3202320222e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭即()3322e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即332e 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而当()0,1x ∈时，()5e xf x a =+，故333e 2e ,e 35f a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，则当()0,1x ∈时，()53e e xf x =+，故3201919191(400)(4)()e e 5555f f f f ⎛⎫=+=-=-=-- ⎪⎝⎭， 故选：B 10．B 【解析】 【分析】设2(,2)A t t ，根据条件求出抛物线在点A 处的切线方程，再求点B 到直线l 的距离及其最小值. 【详解】因为点A 在抛物线C ：24y x =上，故可设2(,2)A t t ， 因为抛物线C 在点A 处的切线不为0，故可设抛物线C 在点A 处的切线方程为()22x t m y t -=-，所以224(2)y x x t m y t ⎧=⎨-=-⎩有且只有一组解， 所以方程224480y my t mt --+=只有一个根， 所以221632160m mt t -+=，故m t =，所以抛物线C 在点A 处的切线l 的方程为：20x ty t -+=，所以()4,0B 到直线l 的距离222222|4|431111t t d t ttt ++===+++++所以23d ≥，当且仅当2t =±时等号成立， 所以点()4,0B 到l 距离的最小值为23. 故选：B. 11．A 【解析】 【分析】判断命题,p q 的真假，根据复合命题的真假判断方法判断即可. 【详解】当0a b >≥时，22,a a a b bb ，又22a b >，所以a a b b ， 当0a b 时，22,a a a b b b ，又22a b <，所以a ab b ，当0a b >>时，0a ab b ，所以当a b >时，a ab b ，故命题p 为真命题，由方程()()11x a x +-=只有一个实根等价于方程11x a x +=-只有一个实根， 所以函数y x a =+与函数1||1y x =-的图象有且只有一个交点， 1(0,1)(1,)11=11(,1)(0,1)1x x y x x x ∞∞⎧∈⋃+⎪⎪-=⎨-⎪∈--⋃⎪--⎩，作函数1||1y x =-的图象，观察图象可得当直线y x a =+位于12,l l 之间时，函数y x a =+与函数1||1y x =-的图象有且只有一个交点， 其中1l 与1(10)1y x x =-<<--有且只有一个交点，设11:l y x a =+ 即111(0)1x a a x +=<--只有一个解， 所以211(1)10x a x a ++++=只有一个解，所以211(1)4(1)0a a +-+=，所以11a =-2l 与1(1)1y x x =<---有且只有一个交点， 即221(0)1x a a x +=>--只有一个解， 所以222(1)10x a x a ++++=只有一个解，所以222(1)4(1)0a a +-+=，所以23a =，所以方程()()11x a x +-=只有一个实根，则13a -<<，命题q 为真命题， 所以p q ∧为真命题，命题p q ⌝∧，p q ⌝∧⌝，p q ∧⌝为假命题. 故选：A. 12．C 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，sin 3sin sin C A B =，由基本不等式可求出()2a b ab+的最小值，再根据余弦定理以及正弦定理可将()2a b ab+化成关于角C 的函数，利用三角函数的性质即可求出最大值，从而得到取值范围．【详解】因为cos 3sin cos a B b A b A =-，由正弦定理得sin cos 3sin sin sin cos A B B A B A =-，即sin 3sin sin C A B =．()222244a b a b ab ababab ab+++=≥=，当且仅当a b =时取等号．因为2222cos c a bab C =+-，所以()2222222cos 222cos a b a b ab c ab C c C abab ab ab++++==+=++()2sin22cos 3sin 2cos 22sin sin CC C C C φA B=++=++++，其中2πtan ,0,32ϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，而0πC <<，所以当π2C ϕ+=时，()2a b ab +取最大值2()2a b ab+的取值范围是4,2⎡⎣． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查正余弦定理的应用，以及利用三角函数的性质求范围，解题关键是通过消元思想将所求式子转化成关于角C 的函数，再结合辅助角公式求出其最大值． 13．36 【解析】 【分析】根据表达式由2v 与1v 的关系求解即可. 【详解】因为05v =，154v x =-，3x =， 所以111v =，又213v v x =+， 所以236v =， 故答案为：36. 14．(1,)((2222-⋃-⋃ 【解析】 【分析】直线与双曲线有两个交点即联立方程后判别式要大于0，且直线不与渐近线平行. 【详解】联立22112y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y ：22(12)440---=k x kx ，22Δ1616(12)0k k =+->， 得到11k -<<，又直线1y kx =+不与渐近线y =平行，所以(1,(k ∈-⋃⋃.故答案为：(1,((2222--⋃-⋃. 15【解析】 【分析】连接CM 并延长交DA 的延长线于点N ，则可得l 即为直线PN ，然后可得PND ∠或其补角为异面直线l 与BC 所成角，设3=6PA AB AM ==，然后在PAN △中利用余弦定理求解即可. 【详解】连接CM 并延长交DA 的延长线于点N ，则点N 为平面P AD 与平面PMC 的公共点， 所以l 即为直线PN ，因为//BC AD ，所以PND ∠或其补角为异面直线l 与BC 所成角， 设3=6PA AB AM ==， 由NAMNDC 可得13NA AM ND DC ==，所以3,9NA ND ==， 在PAN △中，由余弦定理可得22212cos 369263632PN PA NA PA NA PAN ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以37PN =所以222cos 223737PN NA PA PNA PN NA +-∠===⋅⨯⨯，所以3sin 7PNA ∠=，3tan PNA ∠=所以异面直线l 与BC 3316．2e2e a <- 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可求出m ；将此公切线恒在函数()212e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象上方，转化为231e x x x a ++<恒成立，再构造函数231()e xx x g x ++=，利用导数求出最小值即可得解.【详解】由ln y m x =+得1y x'=， 设曲线ln y m x =+过点()2,0-的切线的切点为00(,ln )x m x +，则切线的斜率为01x ，切线方程为0001ln ()y m x x x x --=-， 由于该切线过点(2,0)-，所以002ln 1m x x --=--， 设该切线与曲线e x y =切于11(,)x y ，因为e x y =，所以e x y '=，所以该切线的斜率为1e x ，所以切线方程为111e e ()x xy x x -=-，将(2,0)-代入得1110e e (2)x x x -=--，得11x =-，所以1011e e x x ==，所以0e x =，所以ln e=m --21e--，所以2e m =. 由以上可知该公切线方程为11(1)e e y x -=+，即12e e y x =+，若此公切线恒在函数()212e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象上方，则21212e (3)1e e e e x x a x x +>-+-+-，即231e xx x a ++<恒成立， 令231()e x x x g x ++=，则()22(23)e (31)e ()e x x x x x x g x +⋅-++⋅'=22e xx x --+=， 令()0g x '>，得220x x --+>，得21x -<<， 令()0g x '<，得220x x --+>，得2x <-或1x >，所以()g x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,1)-上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 因为0x >时，()0>g x ，所以当2x =-时，()g x 取得最小值2(2)e g -=-. 所以2e a <-. 【点睛】关键点点睛：求解第二个空时，转化为不等式恒成立，利用导数求解是解题关键. 17．(1)列联表见解析，有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关． (2)分布列见解析，()32E X =． 【解析】 【分析】（1）根据调查表即可完成列联表，再通过比较2K 的观测值与5.024的大小关系，即可判断； （2）根据题意可知，13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得到分布列以及数学期望． (1) 由题可知，2K 的观测值()210025101550505.556 5.024*********k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关． (2)由题意可知，从年龄在[)60,70的所有游客中随机抽取1人，打算购买哈尔滨红肠的概率为12p =，所以13,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()333C 1C ,0,1,2,328kk P X k k ⎛⎫==== ⎪⎝⎭． 所以()()()()13310,1,2,3P X P X P X P X ========，X 的分布列为()13322E X np ==⨯=. 18．(1)证明见解析(2) 【解析】 【分析】（1）取AD ，DE ，BC 的中点O ，M ，N ，连接OM ，MF ，FN ，证明OM FN ∥，即可根据线面平行的判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面EAF 和平面ACF 的法向量，根据向量的夹角公式求得答案. (1)证明：如图，取AD ，DE ，BC 的中点O ，M ，N ，连接OM ，MF ，FN ，则1,2MD CF MD ED FC ==∥，故四边形MDCF 为平行四边形， 所以,MF CD MF CD =∥因为,ON CD ON CD =∥ ，故,MF ON MF ON =∥， 故四边形OMFN 为平行四边形， 则OM FN ∥， 因为OM AE ∥， 所以AE FN ∥又FN ⊂平面BCF ，AE ⊄平面BCF ， 故AE ∥平面BCF ； (2)因为平面EAD ⊥平面ABCD ，连接EO ，则⊥EO AD ， 平面EAD 平面ABCD=AD ，故EO ⊥平面ABCD ， 连接OB ，BD ， 因为π3DAB ∠=，四边形ABCD 为菱形， 故三角形ABD 为正三角形，则OB AD ⊥ ，故以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AE =，则33(1,0,0),(003),(230),(32A E C F --,,,,,, ，则53(1,0,3),(,3,),(3,22AE AF AC =-=-=- ，设平面EAF 的法向量为111(,,)m x y z= ，则00mAE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111110502x x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ ， 取1x ，则112,1y z == ，即(3,2,1)m =，设平面ACF 的法向量为222(,,)n x y z =，则00nAF n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222250230x x ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩， 取2x =，则223,1y z ==- ，即3,3(),1n =-， 故226cos ,13m n m n m n⋅==⋅， 由原图可知二面角E AF C --为钝角，故二面角E -AF -C 的余弦值为. 19．(1)证明见解析(2)16(23)2n n S n +=+-⋅；证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得15823n n n a a a +-=-，由1111222n n n n b b a a ++-=-=--，结合等差数列的定义可证结论成立； （2）利用错位相减法求出n S ，根据n S 的解析式可证当2n ≥时，6n S >. (1)因为点()1,n n a a +在曲线5823x y x -=-上，所以15823n n n a a a +-=-，因为13a =，所以11111232b a ===--， 因为11111158222223n n nn n n n b b a a a a a ++-=-=-------231222n n n a a a -=-=--， 所以数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列. (2)由（1）得1(1)221n b b n n =+-⋅=-， 所以1221)22(n n b n n c b n +=⋅=-⋅，所以123123252(212)n n n S =⨯+⨯+⨯++-⋅，3124123252(21)22n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⋅， 所以231222(222)(21)2n n n n S S n +-=++++--⋅，所以114(12)22(21)212n n n S n -+--=+⨯--⋅-16(32)2n n +=-+-⋅，所以16(23)2n n S n +=+-⋅，当2n ≥时，230n ->， 所以6n S >.20．(1)221169x y +=(2)存在定点9(0,)2N ，使得NA MB NB MA ⋅=⋅恒成立.【解析】 【分析】（1）设动圆E 的半径为1r ，得到112117EC r EC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得到128EC EC +=，根据椭圆的定义得到动圆圆心E 的轨迹为以12,C C 为焦点的椭圆，进而求得椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，当0k =时，得到MA MB =，得出点N 在y 轴上，可设点(0,)N k ，联立方程组，设1122(,),(,)A x y B x y ，得到1212,x x x x +，根据题意，只需使得y 轴为ANM ∠的平分线，则0NA NB k k +=，结合斜率公式，列出方程求得k 的值，即可求解. (1)解：由题意，圆1C：(221x y +=，圆2C：(2249x y +=，可得圆心坐标分别为12(C C ，半径分别为1,7r R ==， 设动圆E 的半径为1r ，因为动圆E 与圆1C 外切并且与圆2C 内切，可得11121117EC r r r EC R r r ⎧=+=+⎪⎨=-=-⎪⎩，两式相加12128EC EC C C +=>=根据椭圆的定义可得，动圆圆心E 的轨迹为以12,C C 为焦点的椭圆，且28,227a c ==，即4,7a c ==，则229b a c =-=， 所以动圆圆心E 的轨迹方程为221169x y +=.(2)由题意，设过点()0,2M 的直线l 的方程为2y kx =+，当0k =时，可得直线l 的方程为2y =，可得点,A B 关于y 轴对称，可得MA MB =，要使得NA MB NB MA ⋅=⋅成立，即1NA MA NBMB==成立，此时点N 在y 轴上，可设点(0,)N k 且2k ≠，当0k ≠时，联立方程组2221169y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(916)64800k x kx ++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212226480,916916k x x x x k k --+==++， 要使得NA MB NB MA ⋅=⋅成立，即NA MA NBMB=成立，则只需使得y 轴为ANM ∠的平分线，只需0NA NB k k +=， 即12120y k y kx x --+=，即()()21120x y k x y k -+-=成立， 所以()()2112220x kx k x kx k +-++-=，即12122(2)()0kx x k x x +-+=， 则2280642(2)0916916kk k k k ⋅+-⋅=++，整理得2290k k -=， 解得92=k 或0k =（舍去）， 综上可得，存在与M 不同的定点9(0,)2N ，使得NA MB NB MA ⋅=⋅恒成立.21．(1)答案见解析 (2)证明见解析(3)1a ≥ 【解析】 【分析】（1）根据函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式的公式即可求解；（2）把e x 在0x =处的泰勒展开式中的x 替换为i x ，利用复数的运算法则进行化简整理可得i e co n i s si x x x =+⋅，从而即可证明；（3）根据sin x 在0x =处的泰勒展开式，先证3310,,sin 26x x x x ⎛⎫∀∈>- ⎪⎝⎭恒成立，再证30,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，31ln(1)6x x x ->+恒成立，然后分1a ≥和1a <两种情况讨论即可求解. (1)解：因为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式为()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ''=+'-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅（其中()()n f x 表示()f x 的n 次导数），所以e x ，sin x ，cos x 在0x =处的泰勒展开式分别为： 211e 12!!x nx x x n =+++++，1352111(1)sin 3!5!(21)!n n x x x x x n --+-=-+++-，24211(1)cos 12!4!(2)!n n x x x x n +-=-+++；(2)证明：把e x 在0x =处的泰勒展开式中的x 替换为i x ，可得234i 1111e 1()()()i i i i i ()()2!3!4!!x n x x x x x n =+++++++1242352111(1)11(1)12!4!(2)!3!5!(21)!i n n nn x x x x x x x n n --⎛⎫⎛⎫--=-+++++⋅-++++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭s i cos in x x =+⋅， 所以i 1i e cos sin πππ=+⋅=-，即i e 10π+=； (3)解：由sin x 在0x =处的泰勒展开式，先证3310,,sin 26x x x x ⎛⎫∀∈>- ⎪⎝⎭，令3211()sin ,()cos 1,()sin 62f x x x x f x x x f x x x =-+'=-+''=-， ()1cos f x x '''=-，易知()0f x '''>，所以()f x ''在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0f x f ''>''=，所以()f x '在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0f x f '>'=， 所以()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0f x f >=， 再令31()ln(1)6g x x x x =--+，30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，易得1(1)(2)2()1x x x g x x --+'=+， 所以()g x 在(0,1)上单调递增，在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 而3155(0)0ln 02162,g g ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭， 所以30,,()02x g x ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭恒成立， 当1a ≥时，31sin sin ln(1)6a x x x x x ≥>->+ ，所以sin e 1a x x >+成立， 当1a <时，令()sin ln(1)h x a x x =-+，30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，易求得(0)10h a '=-<， 所以必存在一个区间(0,)m ，使得()h x 在(0,)m 上单调递减，所以(0,)x m ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意.综上所述，1a ≥.【点睛】关键点点睛：本题（3）问解题的关键是根据sin x 在0x =处的泰勒展开式，先证3310,,sin 26x x x x ⎛⎫∀∈>- ⎪⎝⎭恒成立，再证30,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，31ln(1)6x x x ->+恒成立，从而即可求解. 22．(1)12【解析】【分析】（1）将1C 和2C 的方程化为直角坐标方程，根据圆心到直线的距离减去圆的半径可得结果； （2）根据图象变换求出4C ，再根据椭圆的参数方程设点，利用点到直线的距离公式可求出结果.(1)由12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩消去α得22(1)(4x y -+=， 由2sin 16πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin cos 1θρθ+=-，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得10x +=，所以曲线1C 上的点与直线2C 2=12.(2)依题意可得3:C 224x y +=，4:C 2244x y +=，在4C 上设点(2cos ,sin )θθ，则该点到2:10C x +=的距离d ==，其中cos ϕ=，sin ϕ所以当sin()1θϕ+=时，d所以曲线4C 上的点到直线2C 23．(1)证明见解析；(2)2【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式即可证出；（2）由二次函数的最值可得242m n +=，再根据基本不等式即可求出．(1)因为()1111f m n ≤⇔+-≤，()22422f m n ≤⇔+-≤，所以()()()()7511312231227m n f f f f -+=+≤+≤．(2)因为函数()22224m m f x x mx n x n ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭的最小值为24m n --，所以2142m n --=-，即242m n +=，所以223411ab bc ac m n ++=+-=．因此()()()222222222425324623a b b c a c a a b bc c b c a =+++++≥+++=+，当且仅当a b c ===时等号成立，故222435a b c ++的最小值为2．。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

江苏省南通市数学高三理数第二次（4月）模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝（）A . {0，1，2}B . {－1，0，1，2}C . {－1，0，2，3}D . {0，1，2，3}2. （2分）复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）下列命题中，假命题是（）A .B .C .D .4. （2分）设若是与的等比中项，则的最小值为（）A . 1B .C .D . 45. （2分）实数a的值由右上面程序框图算出，则二项式展开式的常数项为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二上·大连开学考) 在区间[0，π]上随机地取一个x，则事件“ ”发生的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为（）A .B .C . 24D .8. （2分）已知函数的图像为R上的一条连续不断的曲线，当时，，则关于x的函数的零点的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 0或29. （2分）(2018·泉州模拟) 在直角坐标系中，为单位圆上不同的两点，的横坐标为，若，则的横坐标是（）A .B . 或C .D . 或10. （2分） (2018高一下·石家庄期末) 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则与平面所成的角为（）A .B .C .D .11. （2分）设AB为抛物线上的动弦，且, 则弦AB的中点M到y轴的最小距离为（）A . 2B .C . 1D .12. （2分）已知函数，下列命题是真命题的为（）A . 若，则.B . 函数在区间上是增函数.C . 直线是函数的一条对称轴.D . 函数图象可由向右平移个单位得到.二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·瓦房店期末) 已知单位向量，的夹角为，则 ________．14. （1分） (2018高二下·滦南期末) 随机变量ξ的取值为0，1，2，若，则________.15. （1分） (2015高三上·江西期末) 二项式（2 ﹣）6展开式中含x2项的系数是________．16. （1分）(2017高二上·如东月考) 各项均为正数的等比数列中，，若从中抽掉一项后，余下的项之积为，则被抽掉的是第________项．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）(2017·辽宁模拟) 在△ABC中，已知内角，边．设内角B=x，△ABC的面积为y．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（Ⅱ）当角B为何值时，△ABC的面积最大．18. （10分）(2014·广东理) 如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．19. （10分） (2017高二下·乾安期末) 某厂需要确定加工某大型零件所花费的时间，连续4天做了4次统计，得到的数据如下：零件的个数（个）2345加工的时间（小时） 2.534 5.5参考公式：两个具有线性关系的变量的一组数据：，其回归方程为，其中（1）在直角坐标系中画出以上数据的散点图，求出关于的回归方程，并在坐标系中画出回归直线；（2）试预测加工10个零件需要多少时间？20. （15分）(2017·闵行模拟) 已知椭圆（a＞b＞0）长轴的两顶点为A、B，左右焦点分别为F1、F2 ，焦距为2c且a=2c，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在双曲线上取点Q（异于顶点），直线OQ与椭圆C交于点P，若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，试证明：k1+k2+k3+k4为定值；（3）在椭圆C外的抛物线K：y2=4x上取一点E，若EF1、EF2的斜率分别为、，求的取值范围．21. （10分） (2019高三上·烟台期中) 已知函数 .（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围.22. （5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．23. （10分）(2018·河北模拟) 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-2、22-1、23-1、23-2、。

2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。