数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第2节综合法与分析法

§2 综合法与分析法

2.1 综合法

学习目标核心素养

1．了解综合法的思考过程、特点．(重点) 2．会用综合法证明数学命题．(难点) 1．通过对综合法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养．

2．通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.

1．综合法的定义

从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．

2．综合法证明的思维过程

用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：

P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q

思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？

[提示]综合法是由因导果的顺推思维．

1．综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的( )

A．充分条件B．必要条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

[答案] B

2．在△ABC中，若sin Asin B

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．等边三角形

C[由条件可知cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝－cos C>0，即cos C<0，∴C为钝角，故△ABC 一定是钝角三角形．]

3．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”，应用了________的证明方法．

综合法[证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法．]

用综合法证明三角问题

【例1】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C.

(1)求证：A 的大小为60°；

(2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．

思路探究：(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A. (2)结合(1)中A 的大小利用三角恒等变形证明A ＝B ＝C ＝60°. [证明] (1)由2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ， 得2a 2

＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ， 即bc ＝b 2

＋c 2

－a 2

， 所以cos A ＝b 2

＋c 2

－a 2

2bc ＝12，

所以A ＝60°.

(2)由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＋C ＝120°，

由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B)＝3， sin B ＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝3， 32sin B ＋3

2cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1． 因为0°

证明三角等式的主要依据

1．三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． 2．和、差、倍角的三角函数公式．

3．三角形中的三角函数及三角形内角和定理． 4．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．

1．若sin θ，sin α，cos θ成等差数列，sin θ，sin β，cos θ成等比数列，求证：2cos 2α＝cos 2β.

[证明] ∵sin θ，sin α，cos θ成等差数列， ∴sin θ＋cos θ＝2sin α

①

又∵sin θ，sin β，cos θ成等比数列， ∴sin 2

β＝sin θcos θ

②

将②代入①2

，得1＋2sin 2

β＝4sin 2

α， 又sin 2 β＝1－cos 2β2，sin 2

α＝1－cos 2α2，

∴1＋1－cos 2β＝2－2cos 2α， 即2cos 2α＝cos 2β.

用综合法证明几何问题

【例2】 如图，在四面体B­ACD 中，CB ＝CD ，AD⊥BD，E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD ； (2)平面EFC⊥平面BCD.

思路探究：(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD ，只需在平面ACD 内找出一条直线和直线EF 平行即可；

(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD ，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．

[证明] (1)因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点，所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF∥AD，又EF 平面

ACD ，AD

平面ACD ，所以直线EF∥平面ACD.

(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.

因为CB ＝CD ，F 是BD 的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F ，所以BD⊥平面EFC. 因为BD

平面BCD ，所以平面EFC⊥平面BCD.

证明空间位置关系的一般模式

本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言．这也是证明空间位置关系问题的一般模式．

2．如图，在长方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝a ，AB ＝2a ，E ，F 分别为C 1D 1，A 1D 1的中点．

(1)求证：DE⊥平面BCE ； (2)求证：AF∥平面BDE. [证明]

(1)∵BC⊥侧面CDD 1C 1，DE

侧面CDD 1C 1，∴DE⊥BC.

在△CDE 中，CD ＝2a ，CE ＝DE ＝2a ，则有CD 2

＝DE 2

＋CE 2

，

∴∠D EC ＝90°，∴DE⊥EC. 又∵BC∩EC＝C ，∴DE⊥平面BCE.

(2)连接EF ，A 1C 1，设AC 交BD 于点O ，连接EO ， ∵EF 1

2A 1C 1，AO 1

2

A 1C 1， ∴EF

AO ，

∴四边形AOEF 是平行四边形， ∴AF∥OE. 又∵OE

平面BDE ，AF

平面BDE ，

∴AF∥平面BDE.

用综合法证明不等式

[探究问题]

1．综合法证明不等式的主要依据有哪些？ [提示] (1)a 2

≥0(a∈R)．

(2)a 2＋b 2≥2ab，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab，a 2＋b 2

≥(a ＋b )2

2.

(3)a ，b∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别地，b a ＋a

b ≥2．

(4)a －b≥0⇔a≥b；a －b≤0⇔a≤b. (5)a 2

＋b 2

＋c 2≥ab＋bc ＋ca. (6)b a ＋a

b

≥2(a，b 同号，即ab>0)．

(7)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a ，b∈R)．

左边等号成立的条件是ab≤0，右边等号成立的条件是ab≥0. 2．使用基本不等式证明不等式时，应该注意什么？请举例说明．

[提示] 使用基本不等式时，要注意①“一正、二定、三相等”；②不等式的方向性；③不等式的适度，如下例．

[题] 已知，a ，b∈(0，＋∞)，求证：

a b ＋b a

≥a ＋ b.若直接使用基本不等式，

a b ＋b a

≥2

a

b ·b a

＝24ab ，而a ＋b ≥24

ab.从而达不到证明的目的，没掌握好“度”，正确的证法应该是这样的：

[证明] ∵a>0，b>0， ∴a

b ＋b ≥2a ，b

a ＋a ≥2

b ， ∴a b ＋b ＋b

a ＋a ≥2a ＋2

b ， 即

a

b ＋b

a

≥a ＋ b. 【例3】 已知x>0，y>0，x ＋y ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋1y ≥9.

思路探究：解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明． [证明] 法一：因为x>0，y>0,1＝x ＋y≥2xy ， 所以xy≤1

4

.

所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2

xy ≥1＋8＝9.

法二：因为1＝x ＋y ，

所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝5＋2⎝ ⎛⎭

⎪⎫x y ＋y x . 又因为x>0，y>0，所以x y ＋y

x ≥2，

当且仅当x ＝y 时，取“＝”． 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋1y ≥5＋2×2＝9.

1．本例条件不变，求证：1x ＋1

y

≥4.

[证明] 法一：因为x ，y∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝1， 所以x ＋y≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 所以xy ≤12，即xy≤1

4，

所以1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1

xy ≥4.

法二：因为x ，y∈(0，＋∞)，

所以x ＋y≥2xy>0，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 1x ＋1y

≥21

xy

>0， 当且仅当1x ＝1

y

时，取“＝”，

所以(x ＋y)⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ＋1y ≥4. 又x ＋y ＝1，所以1x ＋1

y

≥4.

法三：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋y

y

＝1＋y x ＋x

y

＋1≥2＋2

x y ·y

x

＝4， 当且仅当x ＝y 时，取“＝”．

2．把本例条件改为“a>0，b>0，c>0”且a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ac≤1

3.

[证明] ∵a>0，b>0，c>0， ∴a 2

＋b 2

≥2ab， b 2

＋c 2≥2bc， a 2

＋c 2

≥2ac.

∴a 2

＋b 2

＋c 2

≥ab＋bc ＋ca.

∴(a＋b ＋c)2

＝a 2

＋b 2

＋c 2

＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥3(ab＋bc ＋ac)． 又∵a＋b ＋c ＝1， ∴ab＋bc ＋ac≤1

3

.

综合法的证明步骤

1．分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．

2．转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．

特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．

1．综合法的基本思路

综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从数学命题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．

2．综合法的特点

(1)从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理，寻找它的必要条件．

(2)证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，易于表达推理的思维轨迹．

(3)由综合法证明命题“若A，则D”的思考过程如图所示：

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)综合法是由因导果的顺推证法．( )

(2)综合法证明的依据是三段论．( )

(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( )

(1)√(2)√(3)√[(1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．

(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．

(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．]

2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.

其中正确的命题的个数是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

B[若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又mβ，所以l⊥m，①正确；

若l⊥α，m β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确； 若l⊥α，m

β，α⊥β，l 与m 可能平行，③不正确；

若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又m β，所以α⊥β，④正确．]

3．已知p ＝a ＋

1a －2

(a>2)，q ＝2－a 2

＋4a －2(a>2)，则p 与q 的大小关系是________． p>q [p ＝a －2＋1

a －2

＋2≥2

(a －2)·1

a －2

＋2＝4，

－a 2

＋4a －2＝2－(a －2)2

<2，∴q<22

＝4≤p.]

4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2

n

S n (n ＝1,2,3，…)．求证：

(1)数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

S n n 为等比数列；

(2)S n ＋1＝4a n .

[证明] (1)∵a n ＋1＝n ＋2

n S n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n ，

∴

n ＋2

n

S n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2(n ＋1)

n S n ，

∴S n ＋1n ＋1S n n ＝2，

又∵a 1＝1， ∴S 1＝1，∴S 1

1

＝1，

∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫

S n n 是首项为1，公比为2的等比数列．

(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 的公比为2，而a n ＝n ＋1

n －1S n －1(n≥2)，

∴

S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n (n －1)

n ＋1

， ∴S n ＋1＝4a n .

2.2 分析法

学 习 目 标

核 心 素 养

1．了解分析法的思考过程、特点．(重点) 2．会用分析法证明数学命题．(难点)

1．通过对分析法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑

推理的核心素养． 2．通过对分析法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.

1．分析法的定义

从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．

2．分析法证明的思维过程

用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件

1．用分析法证明：要使①A>B，只需使②C

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

B [根据分析法的特点，寻找的是充分条件，∴②是①的充分条件，①是②的必要条件．] 2．欲证2－3<6－7，只需证( ) A ．(2＋7)2

<(3＋6)2

B ．(2－6)2

<(3－7)2

C ．(2－3)2

<(6－7)2

D ．(2－3－6)2

<(－7)2

A [欲证2－3<6－7，只需证2＋7<3＋6，只需证(2＋7)2

<(3＋6)2．

]

3．将下面用分析法证明a 2

＋b 2

2≥ab 的步骤补充完整：要证a 2

＋b 2

2≥ab，只需证a 2＋b 2

≥2ab，也就是证

________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．

[答案] a 2

＋b 2

－2ab≥0 (a －b)2

≥0 (a －b)2

≥0

应用分析法证明不等式

【例1】 已知a>b>0，求证：(a －b )2

8a

2

8b

.

思路探究：本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．

[证明] 要证(a －b )2

8a

2

8b ，

只需证(a －b )2

8a <(a －b )2

2<(a －b )

2

8b .

∵a>b >0，

∴同时除以(a －b )2

2，得(a ＋b )2

4a <1<(a ＋b )

2

4b ，

同时开方，得

a ＋

b 2a

<1<

a ＋

b 2b

，

只需证a ＋b<2a ，且a ＋b>2b ， 即证bb>0，∴原不等式成立， 即(a －b )2

8a

2

8b

.

分析法证题思维过程

1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．

2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．

1．已知a>0，求证：a 2

＋1a 2－2≥a＋1a

－2．

[证明] 要证a 2

＋1a 2－2≥a＋1a

－2，

只需证a 2

＋1a 2＋2≥a＋1a ＋2，

即证⎝

⎛

⎭⎪⎫a 2

＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a

＋22，

即a 2

＋1a 2＋4

a 2＋1a 2＋4≥a 2

＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋1a ＋4，

只需证2

a 2

＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋1a ，

只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2

＋2＋1a 2，

即a 2

＋1a

2≥2．

上述不等式显然成立，故原不等式成立．

用分析法证明其他问题

【例2】 设函数f(x)＝ax 2

＋bx ＋c(a≠0)，若函数y ＝f(x ＋1)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称，

求证：f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋12为偶函数． 思路探究：由于已知条件较为复杂，且不易与要证明的结论联系，故可从要证明的结论出发，利用分析法，从函数图象的对称轴找到证明的突破口．

[证明] 要证函数f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2

＋(a ＋b)x ＋14a ＋12b ＋c ，其对称轴为x ＝－a ＋b 2a ，

因此只需证－a ＋b

2a ＝0，

即只需证a ＝－b ，

又f(x ＋1)＝ax 2

＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＋c ，其对称轴为x ＝－2a ＋b 2a ，f(x)的对称轴为x ＝－b 2a ，

由已知得x ＝－2a ＋b 2a 与x ＝－b

2a 关于y 轴对称，

所以－2a ＋b 2a ＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫－b 2a ，得a ＝－b 成立，

故f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋12为偶函数．

分析法证题思路

1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．

2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．

2．已知1－tan α

2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．

[证明] 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，

只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12.

∵

1－tan α

2＋tan α

＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1．

∴tan α＝－1

2

显然成立，∴结论得证．

综合法与分析法的综合应用

1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

[提示] 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．

2．综合法与分析法有什么区别？

[提示] 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．

【例3】 在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2

≥(b ＋1)(c ＋1)．

思路探究：可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来． [证明] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧

2a ＝x ＋y ，b 2

＝cx ，

c 2＝by ，

消去x ，y 得2a ＝b 2

c ＋c

2

b ，

且a>0，b>0，c>0.

要证(a ＋1)2

≥(b＋1)(c ＋1)， 只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)， 因(b ＋1)(c ＋1)≤(b ＋1)＋(c ＋1)

2，

只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋1

2，

即证2a≥b＋c.

由于2a ＝b 2c ＋c

2

b ，

故只需证b 2

c ＋c

2

b

≥b＋c ，

只需证b 3

＋c 3

＝(b ＋c)(b 2

＋c 2

－bc)≥(b＋c)bc ， 即证b 2

＋c 2

－bc≥bc，即证(b －c)2

≥0.

因为上式显然成立，所以(a ＋1)2

≥(b＋1)(c ＋1)．

分析综合法特点

综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．

3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 构成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c

.

[证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3

a ＋

b ＋

c ，

即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，

即证c a ＋b ＋a b ＋c

＝1，

只需证c(b ＋c)＋a(a ＋b)＝(a ＋b)(b ＋c)， 只需证c 2

＋a 2

＝ac ＋b 2

. ∵A，B ，C 成等差数列， ∴2B＝A ＋C ，

又A ＋B ＋C ＝180°，∴B＝60°. ∵c 2

＋a 2

－b 2＝2accos B ， ∴c 2

＋a 2

－b 2

＝ac ， ∴c 2

＋a 2

＝ac ＋b 2

， ∴

1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c

成立．

1．综合法与分析法的区别与联系

区别：

综合法 分析法 推理方向 顺推，由因导果 逆推，执果索因 解题思路 探路较难，易生枝节 容易探路， 利于思考(优点) 表述形式 形式简洁，条理清晰(优点)

叙述烦琐，易出错 思考的 侧重点

侧重于已知条 件提供的信息

侧重于结论 提供的信息

联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用

2．分析综合法常采用同时从已知和结论出发，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点，从而构建出证明的有效路径．上面的思维模式可概括为下图：

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分析法就是从结论推向已知．

( )

(2)分析法的推理过程要比综合法优越． ( ) (3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．

( )

(1)× (2)× (3)√ [(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．

(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．

(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．] 2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P>Q B ．P ＝Q

C ．P

D ．由a 的取值决定

C [当a ＝1时，P ＝1＋22，Q ＝2＋5，P

要证P

，只需证2a ＋7＋2a (a ＋7)<2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)，即证a 2

＋7a

＋7a ＋12，只需证0<12．∵0<12成立，∴P

3．设a>0，b>0，c>0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1

c 的最小值为________．

9 [因为a ＋b ＋c ＝1，且a>0，b>0，c>0，

所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c

＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c

a ≥3＋2

b a ·a b

＋2c a ·a c

＋2c b ·b c

＝3＋6＝9.

当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．]

4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan A cos B ＋tan B

cos A .

证明：a ＋b ＝2c. [证明] 由题意知2⎝ ⎛⎭⎪

⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos Acos B ＋sin B cos Acos B

，化简得2(sin Acos B ＋sin Bcos A)

＝sin A ＋sin B ，

即2sin(A ＋B)＝sin A ＋sin B ， 因为A ＋B ＋C ＝π，

所以sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C. 从而sin A ＋sin B ＝2sin C. 由正弦定理得a ＋b ＝2c. 命题得证．

数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第1节归纳与类比

§1归纳与类比 1.1 归纳推理 学习目标核心素养 1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点) 2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养． 2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养. 1．归纳推理的定义 根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理． 2．归纳推理的特征 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理． 思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？ [提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性． 1．下列关于归纳推理的说法错误的是( ) ①归纳推理是由一般到一般的推理过程； ②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理； ③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确； ④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能． A．①②B．②③ C．①③ D．③④ A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.] 2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( ) A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5

B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．] 3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________． 2n [集合{a 1}有两个子集 和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集 合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n 个．] 数式中的归纳推理 ＋b 10 ＝( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 (2)已知f(x)＝x 1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为 ________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________． 思路探究：(1)记a n ＋b n ＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果． (1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4； f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N ＋ ，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8) ＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123. 所以a 10 ＋b 10 ＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x 1－x ， f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x 1－2x ， f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2· x 1－2x ＝x 1－4x ， 由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x 1－2n －1x .]

2020高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理讲义 2-2

2.1。1 合情推理 1．归纳推理 （1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类 错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)． (2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般 的推理． （3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性 质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命 题（猜想)． 2．类比推理 （1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象 的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类 比推理(简称类比)． (2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理． (3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致 性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出

一个明确的命题(猜想）． 3．合情推理 （1)含义 归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、 错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． (2)合情推理的过程 错误!→错误!→错误!→错误! 归纳推理与类比推理的区别与联系 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理． 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假． 1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”） （1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( ) (2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）

2020高中数学 第二章 推理与证明 2. 数学归纳法讲义 2-2

2.3 数学归纳法 1．数学归纳法的内容如下:一个错误!与正整数有关的命题，如果(1） 错误!当n取第一个值n0（例如n0＝1或n0＝2等）时结论正确,(2）错误!假设当n＝k（k∈N*，且k≥n0)时结论正确,能够证明当n＝k＋1时 结论也正确,那么可以断定错误!这个命题对n∈N＊且n≥n0的所有正 整数都成立． 2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是错误!递推的基础，第二 步的作用是错误!递推的依据． 3．数学归纳法实质上是错误!演绎推理法的一种，它是一种错误!严 格的证明方法，它只能错误!证明结论,不能发现结论，并且只能证明 错误!与正整数相关的命题． 4．常把归纳法和数学归纳法结合起来,形成错误!归纳—猜想-证明 的思想方法，既可以错误!发现结论，又能错误!给出严格的证明，组成 一套完整的数学研究的思想方法． 5．用数学归纳法证明命题时，两步错误!缺一不可，并且在第二步 的推理证明中必须用错误!归纳假设，否则不是数学归纳法．

对数学归纳法本质的理解 数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然,知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质． (1）有n个骨牌排成如图所示的一排,现推倒第一张骨牌，会有什么现象? （2）要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度） （3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果?(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下） （4）如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？ (5）能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和

高中数学 第二章推理与证明全章归纳总结 新人教A版选修1-2

第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理与演绎推理(1) 归纳推理 【要点梳理】 1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。 是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。 2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是 3、归纳推理有如下特点 （1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。 （2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。（填“能”或“不能”） （3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 【指点迷津】 1、运用归纳推理的一般步骤是什么？ 首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。 2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。 3、归纳推理的一般模式是什么？ S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P 【典型例题】 例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈' ='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则 )()(2005=x f A 、x sin B 、x sin - C 、x cos D 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='= ) ()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+ 故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有 x x f x f x f n n sin )(, cos )1()(2414-===++ x f x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++ 故选C 【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

北师大版高中数学选修2-2《导数的概念及其几何意义》第一课时教案-新版

2 导数的概念及其几何意义 第一课时 导数的概念 一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。 2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。 教学难点：理解导数概念的本质内涵 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：设函数)(x f y =，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从)(0x f 变到)(1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为 x x f x x f x x x f x f x y ?-?+=--=??)()()()(000101 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x 1趋于x 0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。 （二）、探究新课 在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作 x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='→?→)()()()()(000 01010lim lim 01。 例1、一条水管中流过的水量y （单位：3m ）是时间x （单位：s ）的函数x x f y 3)(==。 求函数)(x f y =在x =2处的导数)2(f '，并解释它的实际意义。

北师大版高中数学选修2-2第一章章末总结

章末总结

知识点一合情推理 归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理． 例

1在平面上有n条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面分成多少部分？ 例

2 已知点O 是△ABC 内任意一点，连接AO 、 BO 、CO 并延长交边于A ′、B ′、C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′ CC ′ ＝1，这是一道平面几何题，其证 明常采用“面积法”：OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC ＝1，那么在空间四面体A —BCD 中存在怎样的结论？并证明． 知识点二 演绎推理 合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．

例 3 已知函数f (x )＝a x ＋bx ，其中a >0，b >0， x ∈(0，＋∞)，确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性． 知识点三 综合法与分析法 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，

高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理教学案2数学教学案

2．1.2 演绎推理 预习课本P78～81，思考并完成下列问题 (1)什么是演绎推理？它有什么特点？ (2)什么是三段论？一般模式是什么？ (3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系？ [新知初探] 1．演绎推理 (1)概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是从一般到特殊的推理． (3)模式：三段论． 2．三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P. [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“三段论”就是演绎推理．( ) (2)演绎推理的结论是一定正确的．( ) (3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( ) 答案：(1)×(2)×(3)× 2．平行于同一直线的两直线平行，因为a∥b，b∥c，所以a∥c，这个推理称为( ) A．合情推理B．归纳推理

C ．类比推理 D ．演绎推理 答案：D 3．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2 ＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的． 答案：小前提 把演绎推理写成三段论的形式 [典例] (1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； (2)0.332·是有理数； (3)y ＝sin x (x ∈R)是周期函数． [解] (1)大前提：向量是既有大小又有方向的量． 小前提：零向量是向量． 结论：零向量也有大小和方向． (2)大前提：所有的循环小数都是有理数． 小前提：0.332· 是循环小数． 结论：0.332· 是有理数． (3)大前提：三角函数是周期函数． 小前提：y ＝sin x (x ∈R)是三角函数． 结论：y ＝sin x (x ∈R)是周期函数． 用三段论写推理过程的技巧 (1)关键：用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系． (2)何时省略：有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提、小前提都省略． (3)如何寻找：在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提． [活学活用] 下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数

数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第2节综合法与分析法

§2 综合法与分析法 2.1 综合法 学习目标核心素养 1．了解综合法的思考过程、特点．(重点) 2．会用综合法证明数学命题．(难点) 1．通过对综合法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养. 1．综合法的定义 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法． 2．综合法证明的思维过程 用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为： P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q 思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？ [提示]综合法是由因导果的顺推思维． 1．综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的( ) A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件 [答案] B 2．在△ABC中，若sin Asin B0，即cos C<0，∴C为钝角，故△ABC 一定是钝角三角形．] 3．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”，应用了________的证明方法． 综合法[证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法．]

高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2(2021年整理)

广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.2.1 直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.2.1 直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.2.1 直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2的全部内容。

综合法和分析法 一、教学目标： （一）知识与技能： 结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 （二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力； （三)情感、态度与价值观： 通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点： 了解分析法和综合法的思考过程、特点 三、教学难点: 分析法和综合法的思考过程、特点 四、教学过程： (一）导入新课: 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法:直接证明与间接证明。（二）推进新课： 1。综合法 在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,通过推理推导出所要的结论。例如： 已知a，b>0,求证2222 +++≥ ()()4 a b c b c a abc 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明,引导学生应用不等式证明。教师最

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(有答案解析)(4)

一、选择题 1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则 A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种 B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种 C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种 D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种 2．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ） A ．2450 B ．2451 C ．2452 D ．2453 3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 4．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1 c a +（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个大于2 5．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）． A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人 B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质 C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分 D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩

(必考题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(包含答案解析)(3)

一、选择题 1．数学归纳法证明 *1111 (1,)n 1n 2 n 2 n n N n +++ >>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ） A ． 1 22 k + B ．1 21 k + C ． 11+2122++k k D ．11 2k 12k 2 ++－ 2．正四面体ABCD 的棱AD 与平面α所成角为θ，其中02 π θ<<，点D 在平面α内， 则当四面体ABCD 转动时（ ） A ．存在某个位置使得BC α，也存在某个位置使得BC α⊥ B ．存在某个位置使得B C α，但不存在某个位置使得BC α⊥ C ．不存在某个位置使得BC α，但存在某个位置使得BC α⊥ D ．既不存在某个位置使得BC α，也不存在某个位置使得BC α⊥ 3．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（ ） A ．a ，b 都是负实数 B ．a ，b 都不是正实数 C ．a ，b 中至少有一个不是正实数 D ．a ，b 中至多有一个不是正实数 4．给出下面四个推理： ①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则 1212z z z z +≤+”； ②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”； ③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”； ④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212 (,)22 x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212 (, )2 2 ρρθθ++”． 其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为

高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法(第一课时)教案理新人教A版选修2-2(2021年整理)

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§2。3 数学归纳法（第一课时） 一、教学目标 1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力． 2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤． 3．抽象思维和概括能力进一步得到提高． 二、教学重点与难点 重点:借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤,运用它证明一些与正整数 n （n 取无限多个值）有关的数学命题。 难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根 据归纳假设作出证明； 2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。 教学过程： 学生探究过程： 我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列{}n a 的通项公式1(1)n a a n d =+-， 自然数平方和公式2222(1)(21)1236 n n n n +++++⋅⋅⋅+=．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证． 怎样证明一个与自然数有关的命题呢？ 讨论以下两个问题的解决方案: (1）在本章引言的例子中，因为袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完,这样总可以得到一个肯定的结论．因此,要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事．但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？ （2）我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖(每块砖都竖起)，假定这排砖有无

数学北师大版高中选修2-2第一章 推理与证明练习题

第一章 推理与证明练习题 1．“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的．”此推理方法是： ； 2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为： ； 3．证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋1 2n 1)，当n ＝2时，中间式等于： ； 4．否定结论“至多有两个解”的说法是： ； 5．三角形的面积为S ＝1 2 (a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的 半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为： ； 6．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法……则他从平地上到第n 级(n ≥3)台阶时的走法f (n )等于： ； 7．已知f (x )＝x 3 ＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值一定： ； 8．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1 a n ，则a 2 013等于： ； 9．一个数列{a n }的前n 项为35，12，511，37，7 17 ，….则猜想它的一个通项公式为a n ＝ ________. 10．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形． 图1 11．用反证法证明命题“若x 2 －(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为________． 12．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 30 30 ，则在等比数列{b n }中， 会有类似的结论：________________. 13．已知a ＋b ＋c ＝0，比较ab ＋bc ＋ca 的大值与0的大小； 14．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102 ，….根据上述规律，第五个等式为________________________． 15．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n 1＋a n (n ＝1,2，…)． (1)求证：a n ＋1≠a n ； (2)令a 1＝1 2 ，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n . 16．(2014·银川模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N ＋) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N ＋) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N ＋) D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋)

数学北师大版选修2-2教材基础第一章§3反证法含答案

§3 反证法 反证法是一种间接证明的方法，它是通过证明原命题的否定的真实性来确立原论题的真实性的证明方法，在应用反证法证明问题的过程中以找它的逆否命题然后推出矛盾为根本.本节内容就开始学习反证法. 高手支招1细品教材 1.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法。 反证法就是一种常用的间接证明方法。 2.反证法 （1)概念:假定命题结论的反面成立。在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾,从而断定命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这样的证明方法叫做反证法(有时也叫归谬法). （2）形式:由证明p⇒q转向证明:⌝q⇒r⇒…⇒t，t与假设或与某个真命题矛盾,⌝q为假,推出q为真. 状元笔记 反证法的证明过程可以概括为“否定-—推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理，导致逻辑矛盾,从而达到新的否定（即肯定原命题)的过程。用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图表示为:

3.反证法的证题步骤 包括以下三个步骤: （1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不成立,即假定原命题的反面为真; (2)逐步推理，导出矛盾（归谬)——从假设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果; (3）否定假设，肯定结论（存真）—-由矛盾结果,断定假设不真,从而肯定原结论成立。 【示例】p＞0，q＞0，p3＋q3＝2。试用反证法证明:p＋q≤2。 思路分析：此题直接由条件推证p＋q≤2是较困难的,由此用反证法证之. 证明：假设p＋q＞2，∵p＞0，q＞0, ∴(p＋q)3＝p3＋3p2q＋3pq2＋q3＞8. 又∵p3＋q3＝2，代入上式得：3pq（p＋q）＞6，即pq(p＋q)＞2。①又由p3＋q3＝2，得(p＋q）(p2-pq＋q2)＝2。② 由①②得 pq（p＋q）＞(p＋q)(p2-pq＋q2)， ∵p＋q＞0.∴pq＞p2—pq＋q2⇒p2—2pq＋q2＜0⇒(p-q）2＜0. 但这与（p-q)2≥0相矛盾。∴假设p＋q＞2不成立.故p＋q≤2. 状元笔记

数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章至第5章 章末复习课

归纳推理 【例1】 (1)观察式子：1＋22<2，1＋22＋32<3，1＋22＋32＋42<4，……，由此可归纳出的式子为( ) A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<1 2n －1 B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1 C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n D ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n 2n ＋1 (2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系 为__________． 思路探究：(1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得． (2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论． (1)C (2)sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0 [(1)由各式特点，可得1＋122＋132 ＋…＋1n 2<2n －1 n .故选C. (2)用两点等分单位圆时，关系为sin α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π， 用三点等分单位圆时，关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，此时三个角的正弦值之和

为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－α＝2π3. 依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为2π 4＋ α＝π2＋α，第三个角为π2＋α＋2π4＝π＋α，第四个角为π＋α＋2π4＝3π 2＋α，即其关系为sin α ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0.] 归纳推理的特点及一般步骤 1．已知函数y ＝sin 4x ＋cos 4 x(x∈R)的值域是⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤12，1，则 (1)函数y ＝sin 6 x ＋cos 6 x(x∈R)的值域是__________； (2)类比上述结论，函数y ＝sin 2n x ＋cos 2n x(n∈N ＋)的值域是__________． (1)⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤14，1 (2)[21－n,1] [(1)y ＝sin 6x ＋cos 6x ＝(sin 2x ＋cos 2x)(sin 4x －sin 2 xcos 2 x ＋cos 4 x)＝sin 4x －sin 2xcos 2 x ＋cos 4x ＝(sin 2 x ＋cos 2 x)2－3sin 2xcos 2x ＝1－34sin 2 (2x)＝1－38 (1－cos 4x) ＝58＋38cos 4x∈⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤14，1. (2)由类比可知，y ＝sin 2n x ＋cos 2n x 的值域是[21－n, 1]．] 类比推理 【例2】 类比三角形内角平分线定理：设△ABC 的内角A 的平分线交BC 于点M ，则AC ＝MC .若在四面 体P­ABC 中，二面角B­PA­C 的平分面PAD 交BC 于点D ，你可得到什么结论？并加以证明． 思路探究：此题是平面图形与立体图形作类比，因为平面图形中得出的结论是线段的比，所以立体图

高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法教学案新人教A选修1-2

2．2.1 综合法和分析法 预习课本P85～89，思索并完成以下问题 (1)综合法的定义是什么？有什么特点？ (2)综合法的推证过程是什么？ (3)分析法的定义是什么？有什么特点？ (4)分析法与综合法有什么区分和联系？ [新知初探] 1．综合法 定义推证过程特点 利用确定条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最终推导出所要证明的结论成立，这种证明 方法叫做综合法 P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3 →…→Q n⇒Q(P表示确定条件，已有的 定义、公理、定理等，Q表示所要证明的 结论). 顺推 证法 或由 因导 果法 定义框图表示特点

从要证明的结论启程，逐步寻求使它成立的充分条件，直至 最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(确定条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法 Q⇐P1→P1⇐P2 →P2⇐P3→…→ 得到一个明显成立的条件 逆推 证法 或执 果索 因法 3．综合法、分析法的区分 综合法分析法 推理方向顺推，由因导果倒溯，执果索因 解题思路探路较难，易生枝节简洁探路，利于思索 表述形式形式简洁，条理清晰表达繁琐，易出错 思索的侧 重点 侧重于确定条件供给的信息侧重于结论供给的信息 [点睛] 一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程． [小试身手] 1．判定(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( ) (2)分析法就是从结论推向确定．( ) (3)全部证明的题目均可运用分析法证明．( ) 答案：(1)×(2)×(3)× 2．假设a＞b＞0，那么以下不等式中不正确的选项是( ) A．a2＞ab B．ab＞b2 C.1 a ＞ 1 b D．a2＞b2 答案：C 3．欲证2－3＜6－7成立，只需证( ) A．(2－3)2＜(6－7)2 B．(2－6)2＜(3－7)2 C．(2＋7)2＜(3＋6)2

高中数学 第二章2.2.1 综合法和分析法讲解与例题 新人教A版选修2-2

2.2.1 综合法和分析法 问题导学 一、综合法 活动与探究1 (1)已知x ∈R ，求证：cos 8x －sin 8 x ＋14 sin 2x sin 4x ＝cos 2x ． (2)如图，S 为△ABC 所在平面外的一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ，求证：AB ⊥BC ． 迁移与应用 1．已知tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)． 2．如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，平面CDE 是等边三角形，棱EF ∥BC 且EF ＝ 1 2 BC ． (1)证明FO ∥平面CDE ； (2)设BC ＝3CD ，证明EO ⊥平面CDF ． (1)综合法是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法(与分析法恰恰相反)，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题结论的真实性．简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法． (2)应用综合法时，应从命题的前提出发，在选定了真实性是无可争辩的出发点以后(它基于题设或已知的真命题)，再依次由它得出一系列的命题(或判断)，其中每一个都是真实的(但它们不一定都是所需求的)，且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论，命题得证．同分析法一样，并非一上来就能找到通往命题结论的思路，只有在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到． 二、分析法 活动与探究2 (1)如图，在四面体P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PH ⊥底面ABC 于点H ．求证：H 是△ABC 的垂心．

2021_2022学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法教案3新人教A版选修1_2

2.2.2 反证法 一，教法分析 ●三维目标 1．知识与技能 结合实例了解间接证明的一种根本方法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会用反证法证明数学问题． 2．过程与方法 使学生经历“总结归纳反证法的操作步骤〞的过程，培养学生归纳、总结、推理论证的能力．增强学生的数学应用意识和创新意识． 3．情感、态度与价值观 注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以与合作意识．通过让学生体验成功，培养学生学习数学的自信心．通过科学家的故事，培养学生的耐心、恒心、自信心和抗挫折能力．从而开展学生的数学思维能力，提高思维品质． ●重点难点 重点：反证法概念的理解以与反证法的解题步骤． 难点：应用反证法解决问题，在推理过程中发现矛盾． 在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合条件或己知的其他的真命题，推导出和条件或的真命题相矛盾的地方；(3)否认所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性．让学生亲身体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决方法，突出重点、化解难点． 二，方案设计 ●教学建议 建议本节课采取探究式教学法，让学生参与证明问题的否认假设，推理归谬，激发学生积极参与的热情，开发其论证推理能力的潜能，培养良好的思维品质．关于反证法的教学需

要注意以下几点：(1)书写格式与解题步骤：假设——归谬——指出矛盾——得出结论．(2)提出反设的方式方法：引导学生弄清反设词语的含义，掌握常见量词的反设词．(3)归谬方法：在归谬过程中要注意假设条件的利用，通过例题分析总结归谬的方法技巧．(4)反证法的适用X围与对象：反证法一般适用于题目条件中含有量词“至多〞“至少〞“全部〞“都〞或否认性命题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明． ●教学流程 创设问题情境，通过“道旁苦李〞的故事，引导学生认识反证法，了解其特点、推理方式与应用X畴．让学生自主完成填一填，使学生进一步了解反证法的证明格式、步骤、思维方式、证明思想等．引导学生分析例题1的条件，师生共同探究证明思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善，并完成变式训练．学生分组探究例题2解法，总结反证法证明唯一性命题的反设方式与证明的方法，完成例题2变式训练． 完成当堂双基达标，巩固所学知识与应用方法．并进展反应矫正．归纳整理，进展课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3互动探究，教师抽查完成情况，对出现问题与时指导．让学生自主分析例题3，教师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．教师组织解法展示，引导学生总结解题规律． 三、自主导学 课标解读1.了解反证法是间接证明的一种根本方 法．(重点) 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数 学问题．(难点) 反证法 【问题导思】 著名的“道旁苦李〞的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了

高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.2.1习题课 Word版含解析

习题课综合法和分析法 明目标、知重点 加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题． 1．综合法 综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法． 综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论) 2．分析法 分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”． 分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇐…⇐P n－2⇐P n－1⇐P n(结论) 分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．

题型一选择恰当的方法证明不等式 例1 设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab ＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S. 证明I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca ＝a2＋b2＋c2＋2S. 欲证3S≤I2<4S， 即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca. 先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2， 只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca， 即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立； 再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca， 只需证a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0， 即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0， 只需证a