北京市2020年高考数学模拟试卷(附答案解析)

2020北京高考模拟试卷数 学一．选择题（共10小题）1．若复数z 满足(12)z i i =-，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合2{|540}A x x x =-+<，{|24}x B x =<，则)(B C A R ⋃( ) A ．(1，2]B ．[2，4)C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞3．下列函数中，在(0,)+∞内单调递增，并且是偶函数的是( ) A ．2(1)y x =-- B ．cos 1y x =+ C ．||2y lg x =+ D ．2x y =4．函数1y =+的值域为( )A ．[0，)+∞B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．)+∞5．在圆22:4410M x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．6B ．12C ．24D ．366．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为( ) A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin 4y x =D ．cos4y x =7．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( )A ．B ．4C ．D ．8．已知函数⎩⎨⎧≥=1ln 1,0)(x x x x f ，＜，若不等式k x x f -≤)(对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(-∞，1]B ．[1，)+∞C ．[0，1)D ．(1-，0]9．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”． 老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班 D ．15班、14班、7班二．填空题（共5小题）11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点(2,)P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为 ．12．已知向量(1,1)a =，(3,)b m =-，若向量2a b -与向量b 共线，则实数m = ． 13．如果抛物线22y px =上一点(4,)A m 到准线的距离是6，那么m = ．14．在四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4AD =，且120ABC ∠=︒，则AC = ，cos BCD ∠= ． 15．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，恒有1212()()()f x f x f x x =+，则使不等式21[)](2)02f f m +->成立的m 取值范围是 ．三．解答题（共6小题）16．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD ∆为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =． （1）求证：DE ⊥平面PAD ． （2）求二面角A PC D --的余弦值．17．已知函数()log (k f x x k =为常数，0k >且1)k ≠．（1）在下列条件中选择一个 使数列{}n a 是等比数列，说明理由；①数列{()}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列{()}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{()}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241n n n a b n +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与． （1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．19．已知函数22()f x a x alnx x=++，实数0a >． （1）讨论函数()f x 在区间(0,10)上的单调性；（2）若存在(0,)x ∈+∞，使得关于x 的不等式2()2f x a x <+成立，求实数a 的取值范围．20．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，它的四个顶点构成的四边形面积为()I 求椭圆C 的方程：()II 设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：直线MN恒过一个定点．21．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1-，1构成且其中1-有m 个，1有p 个(3)m p +，则称{}n a 为“(,)m p -数列”．（1）i a ，j a ，()k a i j k <<为“(3,4)-数列” {}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a =的取法有多少种？ （2）i a ，j a ，()k a i j k <<为“(,)m p -数列” {}n a 中的任意三项，则存在多少正整数对(,)m p 使得101≤≤≤p m ，且1i j k a a a =的概率为12．2020北京高考模拟试卷数学参考答案一．选择题（共10小题）1．若复数z 满足(12)z i i =-，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：(12)2z i i i =-=+，2z i =-在复平面内所对应的点(2,1)-位于第四象限．故选：D ．2．已知集合2{|540}A x x x =-+<，{|24}x B x =<，则()(R A B =⋃ ) A ．(1，2]B ．[2，4)C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞【解答】解：根据题意，集合2{|540}(1,4)A x x x =-+<=，{|24}(,2)x B x =<=-∞， 则[2RB =，)+∞，则()(1R A B =⋃，)+∞； 故选：D ．3．下列函数中，在(0,)+∞内单调递增，并且是偶函数的是( ) A ．2(1)y x =--B ．cos 1y x =+C ．||2y lg x =+D ．2x y =【解答】解：A ．2(1)y x =--的对称轴为1x =，为非奇非偶函数，不满足条件．B ．cos 1y x =+是偶函数，但在(0,)+∞内不是单调函数，不满足条件．C ．||2y lg x =+为偶函数，在(0,)+∞内单调递增，满足条件，D ．2x y =，(0,)+∞内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件． 故选：C ．4．函数1y =+的值域为( )A ．[0，)+∞B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．)+∞【解答】解：10，∴1，则12y =+．∴函数1y =+的值域为[2，)+∞．故选：C ．5．在圆22:4410M x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．6B ．12C ．24D ．36【解答】解：根据题意，圆22:4410M x y x y +---=即22(2)(2)9x y -+-=，其圆心为(2,2)，半径3r =，过点(0,1)E 的最长弦AC 为圆M 的直径，则||6AC =，最短的弦为过E 与直径AC 垂直的弦，且||ME则有||24BD =， 又由AC BD ⊥，则四边形ABCD 的面积122()122ABC S S AC BE ∆=⨯=⨯⨯⨯=；故选：B ．6．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为( ) A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin 4y x =D ．cos4y x =【解答】解：将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度后得到曲线1C ，1C 的解析式为sin 2()cos24y x x π=+=，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，2C 的解析式为cos2cos 2xy x ==． 故选：B ．7．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( )A ．B ．4C ．D ．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S ABD -，其中SC ⊥平面ABCD ；四面体S ABD -的四个面中SBD 面的面积最大，三角形SBD 是边长为8=故选：C ．8．已知函数0,1(),1x f x lnx x <⎧=⎨⎩，若不等式()||f x x k -对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(-∞，1]B ．[1，)+∞C ．[0，1)D ．(1-，0]【解答】解：作出函数0,1(),1x f x lnx x <⎧=⎨⎩的图象，由不等式()||f x x k -对任意的x R ∈恒成立，可得()y f x =的图象不在||y x k =-的图象的上方， 且||y x k =-的图象关于直线x k =对称，当0k 时，满足题意；当||y x k =-的图象与()y f x =的图象相切，即有y x k =-为切线，设切点为(,)m n ， 可得切线的斜率为11m=，则1m =，0n lnm ==，1k =， 则01k <时，也满足题意． 综上可得，k 的范围是(-∞，1]． 故选：A ．9．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠， 由3152a a a >+，得241112a q a a q >+，若10a >，则42210q q -+<，即22(1)0q -<，此式不成立； 若10a <，则42210q q -+>，即22(1)0q ->，则1q ≠±，此时21121[1]01n n a q S q---=<-，充分性成立；反之，1n a =-，满足210n S -<，此时3152a a a =+，必要性不成立．∴ “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件．故选：B ．10．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”． 老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【解答】解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误； 假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ．二．填空题（共5小题）11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点(2,)P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为． 【解答】解：由题意可得左右焦点分别为：1(,0)F c -，2(,0)F c ， 因为P 在y 轴的右侧，所以相等的两边为112PF F F =或212PF F F =由题意可得：222(2)4a c b c ++=整理可得：222430c ac a --=，即22430e e -==，1e >，解得e =，或222(2)4a c b c -+=可得：22430e e +-=，1e >，解得1e =<，不符合双曲线的条件；综上所述，离心率e =． 12．已知向量(1,1)a =，(3,)b m =-，若向量2a b -与向量b 共线，则实数m = 3- ． 【解答】解：因为向量(1,1)a =，(3,)b m =-， 所以向量2(5,2)a b m -=-； 2a b -与向量b 共线；5(2)(3)03m m m ∴--⨯-=⇒=-；故答案为：3-．13．如果抛物线22y px =上一点(4,)A m 到准线的距离是6，那么m = ± 【解答】解：抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，由题意得462p+=，解得4p =． 点(4,)A m 在抛物线22y px =上，2244m ∴=⨯⨯，∴m =±故答案为：±．14．在四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4AD =，且120ABC ∠=︒，则AC = ，cos BCD ∠= ．【解答】解：如图所示，四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4AD =，且120ABC ∠=︒， 则22212212cos1207AC =+-⨯⨯⨯︒=，所以AC =又2227916AC CD AD +=+==， 所以90ACD ∠=︒； 由sin sin AB ACACB B=∠∠，sin14ACB ∠===，cos cos(90)sin BCD ACB ACB ∠=∠+︒=-∠=15．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，恒有1212()()()f x f x f x x =+，则使不等式21[)](2)02f f m ++->成立的m 取值范围是 [0，9) ．【解答】解：由于定义在R 上的函数()()()f x g x g x =--， 所以()()()()f x g x g x f x -=--=-，所以函数()f x 为奇函数； 对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，恒有1212()()()f x f x f x x =+，则21[)]1)2f f =；不等式21[)](2)02f f m +->⇔不等式1)(2)f f m >-，()f x 在R 单调递增，12m ∴>-；30m ∴-<；解得09m <；故答案为：[0，9)． 三．解答题（共6小题）16．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD ∆为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =． （1）求证：DE ⊥平面PAD ． （2）求二面角A PC D --的余弦值．【解答】（1）证明：等腰梯形ABCD 中，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =，∴点E 为BC 上靠近C 点的四等分点由平面几何知识可得DE AD ⊥．点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，连接PG ，PG ∴⊥平面ABCD ．DE ⊂平面ABCD ，PG DE ∴⊥．又ADPG G =，AD ⊂平面PAD ，PG ⊂平面PAD ．DE ∴⊥平面PAD ；（2）解：取BC 的中点F ，连接GF ，以G 为原点，GA 所在直线为x 轴，GF 所在直线为y 轴，GP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由（1）易知，DE CB ⊥，1CE =． 又60ABC DCB ∠=∠=︒，∴DE GF ==2AD =，PAD ∆为等边三角形，∴PG =．则(0G ，0，0)，(1A ，0，0)，(1D -，0，0)，P，(C -．∴(AC =-，(AP =-，(DC =-，DP =设平面APC 的法向量为1(m x =，1y ，1)z ，则00m AC m AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111300x x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，则13y =，11z =，∴(3,3,1)m =． 设平面DPC 的法向量为2(n x =，2y ，2)z ，则00n DC n DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即222200x x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩．令2x =21y =，21z =-，∴(3,1,1)AP =-． 设平面APC 与平面DPC 的夹角为θ，则|||33cos ||||13m nm n θ+===⨯，∴二面角A PC D --的余弦值为17．已知函数()log (k f x x k =为常数，0k >且1)k ≠．（1）在下列条件中选择一个 ② 使数列{}n a 是等比数列，说明理由；①数列{()}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{()}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{()}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241n n n a b n +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）①③不能使数列{}n a 是等比数列，②可以．由题意()42(1)22n f a n n =+-=+，即log 22k n a n =+，可得22n n a k +=，且410a k =≠，242122n n n n a k k a k+++==，由常数0k >且1k ≠，可得2k 为非零常数， 则{}n a 是4k 为首项、2k 为公比的等比数列；（2）由（1）可得42122()n n n a k k k -+==，当k 时，12n n a +=，12241n n n a b n +=-，可得211111()41(21)(21)22121n b n n n n n ===---+-+， 前n 项和11111111(1)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++． 18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与．（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率．【解答】解：（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”， 故甲参加围棋比赛的概率为12． （2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1，2，3，4，则所有的可能为：(1，2，1，2)，(1，2，1，3)，(1，2，1，4)，(1，2，2，3)，(1，2，2，4)，(1，2，3，4)，(1，3，1，2)，(1，3，1，3)，(1，3，1，4)，(1，3，2，3)，(1，3，2，4)，(1，3，3，4)，其中满足条件的有(1，2，3，4)，(1，3，2，4)两种，故所求概率21126p ==． 19．已知函数22()f x a x alnx x =++，实数0a >． （1）讨论函数()f x 在区间(0,10)上的单调性；（2）若存在(0,)x ∈+∞，使得关于x 的不等式2()2f x a x <+成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）22222222(2)(1)()a a x ax ax ax f x a x x x x +-+-'=-++==．，(0)x >， 令()0f x '=，可得1x a =，2x a =-（舍)． ①当110a >时，110a<． 函数()f x 在区间1(0,)a 上单调递减，在区间1(a ，10)上的单调递增； ②当1010a <时，函数()f x 在区间(0,10)上单调递减． （2）存在(0,)x ∈+∞，使得不等式2()2f x a x <+成立⇔存在(0,)x ∈+∞，使得不等式220alnx x +-<成立， 令2()2g x alnx x=+-，(0)x >， 2222()a ax g x x x x -'=-+=， 0a >，2()0g x x a ∴'>⇒>，2()00g x x a ︒<⇒<<， ()g x ∴在2(0,)a递减，在2(a ，)+∞递增， 2()()(2)2min g x g a a ln lna a∴==+--， 依题意只需220a aln alna +--<即可．令()22h x x xln xlnx =+--，()12120h x ln lnx ln lnx '=+--=-=，可得2x =． ()h x ∴在(0,2)递增，在(2,)+∞递减，且h （2）0=．∴实数a 的取值范围(0，2)(2⋃，)+∞．20．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，它的四个顶点构成的四边形面积为 ()I 求椭圆C 的方程：()II 设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过一个定点．【解答】解：()I由题意可知，22212222a b c e a a b c ⎧⨯⨯=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =1b c ==， 所以椭圆的标准方程2212x y +=； ()II 证明：方法一：设点0(2,)P y ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．其中22112x y +=，22222x y +=，由PM OM ⊥，PN ON ⊥， 1011112y y y x x -=--，2022212y y y x x -=--，即221111020x y x y y +--=，222222020x y x y y +--=， 注意到22112x y +=，22222x y +=，于是，110220x y y --=，220220x y y --=， 所以，M ，N 满足0220x yy --=，由0y 的任意性可知，1x =，0y =，即直线MN 恒过一个定点(1,0)．方法二：设点0(2,)P y ，过点P 且与圆222x y +=相切的直线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，由圆的知识可知，M ，N 是圆以OP 为直径的圆22200(1)()1()22y y x y -+-=+和圆222x y +=的两个交点， 由222222002(1)()1()22x y y y x y ⎧+=⎪⎨-+-=+⎪⎩，消去二次项得直线MN 方程为0220x yy --=， 由0y 的任意性可知，1x =，0y =，即直线MN 恒过一个定点(1,0)．方法三：由圆的极点极线可知，已知0(M x ，0)y 为圆222:()()C x a y b R -+-=外一点，由点M 引圆C 的两条切线MA ，MB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 的方程为200()()()()x a x a y b y b R --+--=， 特殊地，知0(M x ，0)y 为圆222:C x y R +=外一点，由点M 引圆C 的两条切线MA ，MB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 的方程为200xx yy R +=．设点0(2,)P y ，由极点与极线可知，直线MN 的方程022x yy +=，即0220x yy +-=，由0y 的任意性可知，1x =，0y =，即直线MN 恒过一个定点(1,0)．所以直线MN 恒过一个定点(1,0)．21．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1-，1构成且其中1-有m 个，1有p 个(3)m p +，则称{}n a 为“(,)m p -数列”．（1）i a ，j a ，()k a i j k <<为“(3,4)-数列” {}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a =的取法有多少种？（2）i a ，j a ，()k a i j k <<为“(,)m p -数列” {}n a 中的任意三项，则存在多少正整数对(,)m p 使得1100m p ，且1i j k a a a =的概率为12． 【解答】解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“1-，1-，1”，“1，1，1”，其中“1-，1-，1”共有：213412C C =种，“1，1，1”共有：344C =种，利用分类计数原理得：i a ，j a ，()k a i j k <<为“(3,4)-数列” {}n a 中的任意三项， 则使得1i j k a a a =的取法有：12416+=种．（2）与（1）基本同理，“1-，1-，1”共有21m p C C 种，“1，1，1”共有3p C 种，而在“(,)m p -数列”中任取三项共有3m p C +种， 根据古典概型有：213312m p pm p C C C C ++=， 再根据组合数的计算公式能得到： 22()(3232)0p m p p mp m m ---+--=，①p m =时，应满足11003m p m p p m ⎧⎪+⎨⎪=⎩，(m ∴，)(p k =，)k ，{2k ∈，3，4，⋯，100}，共99个， ②2232320p p mp m m --+--=时，应满足221100332320m p m p p p mp m m ⎧⎪+⎨⎪--+--=⎩， 视m为常数，可解得p 1m ，∴15，根据p m可知，p = 1m ，∴15，根据p m可知，p =（否则1)p m -，下设k =p 为正整数知k 必为正整数， 1100m ，549k ∴，化简上式关系式可以知道：21(1)(1)2424k k k m -++==， 1k ∴-，1k +均为偶数，∴设21k t =+，*()t N ∈，则224t ，21(1)246k t t m -+∴==，由于t ，1t +中必存在偶数， ∴只需t ，1t +中存在数为3的倍数即可， 2t ∴=，3，5，6，8，9，11，⋯，23，24， 5k ∴=，11，13，⋯，47，49．检验：(1)(1)48501002424k k p -++===，符合题意，共有16个，综上所述：共有115个数对(,)m p符合题意．。