教学过程
一、复习预习
（1）回顾上节课极坐标以及参数的概念，让学生回答上节课所讲相关知识点，考查学生对上次课的掌握程度，找出遗漏部分并做相应的总结； （2）借助上节课和本节课联系，举实例情景引入新课程
二、知识讲解
1、曲线的参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x 、都是某个变数t 的函数，即 ??
?==)()
(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点()y x M ,都在这条曲线上，那
么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系y x 、之间关系的变数叫做参变数，简称参数。 2、常见曲线的参数方程如下：
（1）过定点()00,y x ，倾角为α
的直线：??
?+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）
其中参数t 是以定点
()00,y x P 为起点，对应于t 点()y x M ,为终点的有向线段PM 的数量，
又称为点P 与点M 间的有向距离。 根据t 的几何意义，有以下结论：
①设B A ,是直线上任意两点，它们对应的参数分别为B A t t ,，则
AB
＝
A
B t t -＝
B A A B t t t t ?--4)(2。
②线段AB 的中点所对应的参数值等于2B
A t t +。
（2）中心在()00,y x ，半径等于r 的圆：)(sin cos 0
0为参数θθθ
??
?+=+=r y y r x x 。
（3）中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆： )(s i n c o s 为参数θθθ
??
?==b y a x （或 ???==θθsin cos a y b x ）。
中心在点
),(00y x 焦点在平行于
x
轴的直线上的椭圆的参数方程
为参数）ααα(.sin ,
cos 00??
?+=+=b y y a x x 。
（4）中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：
)(tan sec 为参数θθθ
??
?==b y a x （或 ???==θθec a y b x s tan ）。
（5）顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：
)0(222
>?
?
?==p t pt y pt x 为参数， 。
考点/易错点1
参数方程与普通方程的互相转化；
考点/易错点2
参数方程与直角坐标的相互转化；
考点/易错点3
利用参数方程求值域；参数方程的几何意义；
三、例题精析
【例题1】
【题干】已知方程122
22=++m y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是
( )
A. 12-<>m m 或
B. 2->m
C. 21<<-m
D. 12-2-<<>m m 或
【答案】D
【解析】由题意知???>++>0
222m m
m 解得：12-2-<<>m m 或
【例题2】
【题干】在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标)
3
,
2(π
C ，半径5=R ，求圆C 的极坐标方
程。 【答案】
1)3
cos(42=--
-π
θρρ
【解析】将圆
)
3,
2(π
C 化为直角坐标为)3,
1(，半径5=R ，
故圆C 的方程为
5)3()1(2
2=-+-y x 。 再将C 化成极坐标方程，得
5)3cos ()1cos (2
2=-+-θρθρ 化简，得
1)3
cos(42=--
-π
θρρ此即为所求的圆C 的方程。
【例题3】
【题干】已知圆锥曲线)(sin 22cos 3为参数θθθ
???==y x 和定点
)33,0(A ，21,F F 是圆锥曲线的左右焦点。
（1）求经过点2F 且垂直于直线1AF 的直线l 的参数方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程。 【答案】)(23211为参数t t y t x ????
??
?
=-=；1cos sin 3=+θρθρ
【解析】（1）圆锥曲线)(sin 22cos 3为参数θθθ???==y x 化为普通方程1
892
2=+y x ，所以)0,1(1-F ，
)0,1(2F ，则直线1AF 的斜率
33
=
k
于是经过点2F 且垂直于直线1AF 的直线l 的斜率3/
-=k ，直线l 的倾斜角为?120，所以
直线l 的参数方程为，即)(23211为参数t t y t x ????
??
?
=-=
（2）直线2AF 的斜率
33
1-
=k ，倾斜角为?150，
设),(θρP 是直线2AF 上任一点，则)150sin(1
30cos θρ
-?=
?
所以?=-?30sin )150sin(θρ
所以直线2AF 的极坐标方程为1cos sin 3=+θρθρ
四、课堂运用
【基础】
1.【题干】极坐标方程
5
2
sin 42
=θ
ρ表示的曲线是（ ）
圆 B 、椭圆 C 、双曲线的一支 D 抛物线 【答案】D
【解析】由
5cos 222cos 142
sin 42
=-=-=θρρθ
ρ
θ
ρ，化为直角坐标系方程为
5
222
2=-+x y x ，化简得
425
52+
=x y ，即该方程表示抛物线，故选D 。
2.【题干】极坐标方程02cos =θρ表示的曲线为（ ）
A ．极点
B ．极轴
C ．一条直线
D ．两条相交直线 【答案】D
【解析】02cos =θρ ，
y
x y x y x -==∴=-∴=-∴=-∴或0
s i n c o s 0)s i n (c o s 2222222
22θρθρθθρ
3.【题干】已知曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=。将曲线2C 的极坐标方程转化
为直角坐标方程。
【答案】
()()10312
2=-+-y x 【解析】 θθρsin 6cos 2+=
θρθ
ρρs i n 6c o s 22
+=∴ θρθ
ρρs i n ,c o s ,2
22==+=y x y x y x y x 622
2+=+∴，即()()10312
2=-+-y x
∴曲线2C 的普通方程为
()()10312
2=-+-y x 4.【题干】在极坐标系下，已知圆θθρsin cos :+=O 和直线:l 22
)4
sin(=
-πθρ。
（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
（2）当),0(πθ∈时，求直线l 于圆O 公共点的极坐标。
【答案】02
2=--+y x y x ，01=+-y x ；
)2,1(π
【解析】（1）圆θθρsin cos :+=O ，即θρθρρsin cos 2
+=
圆O 的直角坐标方程为：y x y x +=+22，即
02
2=--+y x y x 直线:
l 22
)4
sin(=
-
π
θρ，即1cos sin =-θρθ
ρ则直线的直角坐标方程为：1=-x y ，
即01=+-y x 。
（2）由???=+-=--+01022y x y x y x 得?
?
?==10y x 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为
)
2,1(π
。 【巩固】
1. 【题干】1
O Θ和2
O Θ的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=．
(I)把1
O Θ和2
O Θ的极坐标方程化为直角坐标方程；
(II)求经过1
O Θ、2
O Θ交点的直线的直角坐标方程．
【答案】0422=-+x y x ，
0422=++y y x ；x y -=。 【解析】以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(I)θρcos =x ，θρsin =y ，由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 42
2=+． 即
042
2=-+x y x 为1
O Θ的直角坐标方程． 同理
0422=++y y x 为2
O Θ的直角坐标方程． (II)由???=++=-+040
42
222y y x x y x 解得???==0011y x ，???-==2222y x
即1
O Θ，2
O Θ交于点)0,0(和)2,2(-．过交点的直线的直角坐标方程为x y -=。
2. 【题干】在直角坐标系xoy 中，以o 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极
坐标方程为
1
)3cos(=-
π
θρ，N M ,分别为C 与x 轴，y 轴的交点。
（1）写出C 的直角坐标方程，并求N M ,的极坐标；
（2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程。
【答案】)0,2(M ，
)332,
0(；),(,+∞-∞∈=ρρπ
θ
【解析】（1）由
得1)3cos(=-
π
θρ 1)sin 23cos 21(=+θθρ
从而C 的直角坐标方程为
)2
,332(3322)0,2(202
3123
21π
ρπ
θρθN M y x y x ，所以时，，所以时，即=
=
===+=+
（2）M 点的直角坐标为)0,2(M
N 点的直角坐标为
)33
2,
0(
所以P 点的直角坐标为),6
,332(),33.
1(π点的极坐标为则P 所以直线OP 的极坐标方程为).,(,+∞-∞∈=ρρ
πθ
3. 【题干】在极坐标系中，O 为极点，半径为2的圆C 的圆心的极坐标为)3,2(π
.在以极
点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l 的参数方程为
)(232,211为参数t t y t x ????
??
?
+-=+=，直线l 与圆C 相交于B A 、两点，已知定点)2,1(-M ， 则
=
?MB MA 。
【答案】
3
4321+==t t MB MA
【解析】圆C 的圆心的极坐标为?
??
??3,2π，从而圆C 的圆心直角坐标为()
3,1，
∴圆C 的圆心直角坐标方程为4)3()1(2
2=-+-y x ，
把直线l 的参数方程??????
?
+-=+=t y t x 232,211代入圆的直角坐标
4)3()1(22=-+-y x
可得：()
03433322
=+++-t t ，由直线l 的参数方程中的参数t 的几何属性有
3
4321+==t t MB MA 。
【拔高】
1. 【题干】已知圆锥曲线)(sin 22cos 3为参数θθθ
???==y x 和定点)33,0(A ，21,F F 是圆锥曲线
的左右焦点。 （1）求经过点
2F 且垂直于直线1AF 的直线l 的参数方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程。 【答案】)(23211为参数t t y t x ????
??
?
=-=
【解析】（1）圆锥曲线)(sin 22cos 3为参数θθθ
???==y x 化为普通方程1
8922=+y x ，所以)0,1(1-F ，
)0,1(2F ，则直线1AF 的斜率
33
=
k
于是经过点
2F 且垂直于直线1AF 的直线l 的斜率3/-=k ，直线l 的倾斜角为?120，所以
直线l 的参数方程为，即)(23211为参数t t y t x ????
??
?
=-=
直线2AF 的斜率
33
1-
=k ，倾斜角为?150，
设),(θρP 是直线2AF 上任一点，则)150sin(1
30cos θρ
-?=
?
所以?=-?30sin )150sin(θρ
所以直线2AF 的极坐标方程为1cos sin 3=+θρθρ
2. 【题干】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为)(sin cos 为参数???
??
?==y x ，曲线
2C 的参数方程为),0(sin cos 为参数???
>>??
?==b a b y a x ，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴
的极坐标系中，射线αθ=:l 与1C ，2C 各有一个交点．当0=α时，这两个交点间的距离
为2，当
2π
α=
时，这两个交点重合．
（1）分别说明
1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值；
（2）设当4π
α=
时，l 与1C ，2C 的交点分别为11,B A ，当
4π
α-
=时，l 与1C ，2C 的交点
分别为
2A ，2B ，求四边形1221B B A A 的面积．
【答案】1C 是圆，2C 是椭圆，3=a ，1=b ；
52
2))(22(//=
-+x x x x 【解析】（1）
1C 是圆，2C 是椭圆.
当0=α时，射线l 与1C ，2C 的交点的直角坐标分别为)0,(),0,1(a ，因为这两点间的距
离为2，所以3=a
当
2π
α=
时，射线l 与1C ，2C 的交点的直角坐标分别为),0(),1,0(b ，因为这两点重合，
所以1=b
（2）1C ，2C 的普通方程分别为12
2=+y x 和1922
=+y x
当
4π
α=
时，射线l 与1C 交点1A 的横坐标为
22
=
x ，与2C 交点1B 的横坐标为
10103/=
x
当
4π
α-
=时，射线l 与1C ，2C 的交点22,B A 分别与11,B A 关于x 轴对称，因此，
四边形1221B B A A 为梯形.
故四边形1221B B A A 的面积为
52
2))(22(//=
-+x x x x 3. 【题干】已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，
曲线C1：与曲线C2：（t ∈R ）交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB ．
【答案】
【解析】证：曲线1C 的直角坐标方程4=-y x ，曲线2C 的直角坐标方程是抛物线x y 42=， 设()11,y x A ，()22,y x B ，将这两个方程联立，消去x ， 得4,16016421212=+-=?=--y y y y y y
()()()0164244212121212121=+++=+++=+∴y y y y y y y y y y x x
OB OA OB OA ⊥∴=*∴,0．
课程小结
1、 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。
2、化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选择合适的参数t 。
课后作业
【基础】
1. 【题干】椭圆???+-=+=?
?
sin 51cos 33y x 的两个焦点坐标是( )。
【答案】()3,3,()5,3-
【解析】先将椭圆方程化为普通方程，得：
()()125
1932
2=++-y x 。
然后由平移公式??
?-'=+'=1
3
y y x x 。 及在新系中焦点()4,0±可得答案()3,3,()5,3-
2.【题干】极坐标方程12cos 2=θρ所表示的曲线是( )
A 、两条相交直线
B 、圆
C 、椭圆
D 、双曲线 【答案】D
【解析】将极坐标方程12cos 2=θρ化为普通方程为122=-y x 它表示双曲线。
3. 【题干】在极坐标系中，圆心在
(
)
π,2且过极点的圆的方程为( )
A 、θρcos 22=
B 、θρcos 22-=
C 、θρsin 22=
D 、θρsin 22-= 【答案】B
【解析】先求出普通方程，再转化为极坐标方程。
4. 【题干】已知曲线1C 的参数方程为)(sin 10cos 102为参数θθ
θ
????
?=+-=y x ，将曲线1C 的参数
方程转化为普通方程。
【答案】
10)2(2
2=++y x 【解析】解析：由?????=+-=θθ
sin 10cos 102y x 得
10)2(22=++y x ∴曲线1C 的普通方程为
10)2(22=++y x 【巩固】
1. 【题干】方程)(2
22
2为参数t y x t
t t t ??
???+=-=--表示的曲线是（ ）
双曲线 B 、双曲线上的一支 C 、双曲线的下支 D 、圆 【答案】B
【解析】注意到t
2与t
-2互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平分，再相减，即可
消去含t 的项。故4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，既有
42
2=-x y 。又因为2,222222≥=≥+--y t t t t 即。可见方程为2,422≥=-y x y 。故选B 。 2.
【
题
干
】
在
平
面
直
角
坐
标
系
xOy
中，动圆
)(08cos 7sin 6cos 8222R y x y x ∈=++--+θθθθ的圆心为()y x p ,，求y x -2的取值范围。
【答案】73273≤-≤-y x
【解析】由题意
)(sin 3cos 4R y x ∈?
?
?==θθθθ
为参数，于是
()ψθθθ+=-=-c
o s 73sin 3cos 82y x ，所以
73273≤-≤-y x ；
3. 【题干】.求直线)
(351:1为参数t t
y t
x l ???+-=+=和直线032:2=--y x l 的交点P 的坐标，
及点P 与)5,1(-Q 的距离。 【答案】34
【解析】将??
?+-=+=t
y t
x 351代入032:2=--y x l 得32=t ，
得)1,321(+P ，而)5,1(-Q ，得346)32(22=+=PQ
【拔高】
1. 【题干】在极坐标系中，O 为极点，半径为2的圆C 的圆心的极坐标为)
3,2(π
.在以极
点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l 的参数方程为
)(232,211为参数t t y t x ????
??
?
+-=+= ，直线l 与圆C 相交于B A 、两点，已知定点)2,1(-M ， 则
=
?MB MA .
【答案】
3
4321+==t t MB MA
【解析】解析：圆C 的圆心的极坐标为?
?? ??3,2π，从而圆C 的圆心直角坐标为()
3,1，
∴圆C 的圆心直角坐标方程为
4)3()1(2
2=-+-y x ， 把直线l 的参数方程???
???
?
+-=+=t y t x 232,211代入圆的直角坐标4)3()1(22=-+-y x 可得：()
03433322
=+++-t t ，由直线l 的参数方程中的参数t 的几何属性有
3
4321+==t t MB MA 。
2. 【题干】分别在下列两种情况下，把参数方程??????
?
-=+=--θθsin )(21cos )(21t t t t e e y e e x 化为普通方程：
（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数；
【答案】1
)(4
1)(4
122
2
2
=-+
+--t t
t t
e e y e e x ；1sin cos 2
2
22=-θθy x 。
【解析】（1）当t=0时，θcos ,0==x y ，即
,1=≤y x 且；
当0≠t 时，
)(21cos t t
e e x -+=
θ，
)(21sin t t
e e x --=
θ
而12
2=+y x ，即1
)(4
1)(4
122
22
=-+
+--t t
t t
e e y e e x
当
,1),(2
1,0,=≥+±==∈=-y x e e x y Z k k t t 且即时，πθ
当
0),(21
,0,2=-±==∈+
=-x e e y x Z k k t t 即时，π
πθ
当时，Z k k ∈≠,2πθ得???
????=-=+--θθsin 2cos 2y e e x e e t t t t ，即??????
?-=+=-θθθθsin 2cos 22sin 2cos 22y x e y x e t t
)sin 2cos 2)(sin 2cos 2(22θθθθy x y x e e t
t
-+=?-得1sin cos 2
2
22=-θθy x 。
3. 【题干】过点
)0,210(
P 作倾斜角为α的直线与曲线
1122
2=+y x 交于点,M N ， 求
PN
PM 的值及相应的α的值；
【答案】3
4；
2πα=
【解析】解：设直线为
)(sin cos 2
10
为参数t t y t x ??
???=+=
αα，代入曲线并整理得
023cos 10)sin 1(22=+
++t t αα, 则
α221sin 123+=
=t t PN PM
所以当1sin 2
=α时，即
2π
α=
，PN PM 的最小值为3
4，此时2πα=
。
课后评价（在各自的系统上进行布置，不在教学案中体现）
包含:
1.课后作业学生完成情况
2.本节课主要内容概括
3.本节课学生学习态度
4.学生知识掌握情况和存在的问题（通过课堂反馈题进行分析）
语言真诚、体现学生实际情况，并且语言风格以鼓励为主，语气温和，体现教师的专业性与爱心。