用“均值不等式”求最值忽视条件致错举例
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用“均值不等式”求最值忽视条件致错举例
杨春显
用“均值不等式”求最值是求最值问题中的一个重要方
法，也是高考考查的一项重要内容，运用这种方法有三个条
件：（1）正；（2）定；（3）相等。在此运用过程中，往往需
要对相关对象进行适当的放大，缩小，或不等式之间进行传
递等变形，在此过程中，学生常常因为忽视条件成立而导致
错误。而且错误不易察觉，下面介绍几例，以引起重视。
1、忽视均值不等式中和各项为“正”致错
例1：求y=x+11x(x≠1)的值域
错解 ∵y=x+11x=x－1+11x+1≥112(1)xx+1=3
∴y∈[3,+∞)
评注：虽然x－1与11x的积是常数，但x－1不一定是
正数，因此解法是错误的。
正解 当x＞1时，y=x+11x=x－1+11x+≥112(1)xx+1=3
当且仅当x－1=11x，即x=2时等号成立。
当x＜1时，－y=－x+11x=1－x+11x－1≥112(1)xx－
1=1
∴y≤－1时，当且仅当1－x=11x，即x=0时取“＝”
号
2
∴原函数的值域为（－∞，－1]∪[3,+∞)
2、忽视均值不等式中的等号成立致错
例2：求y = 的最小值
错解 y = = =24x+
≥2 =2，∴y的最小值是2，
评注：在y≥2中，当且仅当24x= ，
即x2=－3，这是不可能的，所以等号不成立。
故y的最小值不是2。
正解：∵y=24x+
令t=24x≥2，则y=t+ (t≥2)，易证y= t+ 在[2，
+∞）上递增，∴y最小值=2+ =
当且仅当t=2，即24x=2，∴x=0时，取“=”号。
例3：若正数x、y满足2x+y=1，求 + 的最小值。
错解：∵1=2x+y≥22xy ∴1xy≥22
于是 + ≥21xy≥42，故 + 的最小值是42
评注：这里1xy≥22中，当且仅当2x=y时，取“=”
号。
而 + ≥22xy中，当且仅当一 = ，即x=y时，取
“=”号。
2
2
54xx
2
2
54xx
2
2
414xx
2
1
4x
2
2
1
44xx
2
1
4x
2
1
4x
1
t
1
t
1
2
5
2
1
x
1
y
1
x
1
y
1
x
1
y
1
x
1
y
1
x
1
y
3
这两个式子不可能同时成立。因此42不是 + 的
最小值。
正解： + =1·（ + ）=（2x+y）（ + ）
=3+2232322yyxxyxyx
当且仅当2yxyx即y=2x时（此时x=222，y=2－1）
取“=”号，故 + 的最小值是3+22
例4：实数x、y、m、n满足m2+n2=a,x2+y2=b，且a≠b，
求mx+ny的最大值。
错解：∵mx≤12（m2+x2），ny≤12（n 2+y2）
∴mx+ny≤12（m2+x2+n2+y2）=12（a+b）
故mx+ny的最大值是12（a+b）
评注：这里两次用到了均值不等式，当且仅当m=x且
n=y时取“=”号，于是m2+n2=x2+y2即a=b，与已知矛盾，
因此等号不成立，故mx+ny的最大值不是12（a+b）
正解：ab=（m2+n2）（x2+y2）=(mx)2+(my) 2+(nx) 2+(ny) 2
≥(mx)2+2my·nx+(ny)2= (mx+ny)2
∴mx+ny≤ab，当且仅当my= nx时，取“=”号。
故mx+ny的最大值是ab
本题也可用三角代换解。
3、忽视均值不等式中的定值致错。
1
x
1
y
1
x
1
y
1
x
1
y
1
x
1
y
1
x
1
y
4
例5：若正数x，y满足x+2y=6，求xy的最大值。
错解：∵xy≤（2xy）2，当且仅当x=y且x+2y=6（已
知），即x=y=2时，取“=”号，将x=y=2代入上式，可得
xy的最大值为4。
评注：初看起来，很有道理，其实在用均值不等式求最
值时，在各项为正的前提下，应先考虑定值，再考虑等号是
否成立。但在xy≤（2xy）2中，x+y不是定值，所以xy
的最大值不是4。
正解：∵xy=12x·2y≤12·（22xy）2=92，当且仅当
x=2y时（此时x=3，y=32）取“=”号，所以xy最大值是92。
