2016-2017学年福建省师范大学附属中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
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2016-2017学年福建省师范大学附属中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1．已知复数12z i =+, 2z a i =- (a R ∈)， 12z z ⋅是实数，则a = ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A【解析】()()()122212z z i a i a a i ⋅=+⋅-=++- ，由题12z z ⋅是实数，则20,2a a -=∴=，选A2．函数()ln f x a x x =+在1x =处取到极值，则a 的值为( ) A. 1 B. 12- C. 1- D. 12【答案】C【解析】()'1'10101af x f a a x+∴=⇒+=∴=- ＝，（），． 故选C ．3．如图，在空间四边形OABC 中， OA a = ， OB b = ， OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =， N 是BC 的中点，则MN=( )A. 121232a b c -+B. 211322a b c -++C. 112223a b c +-D. 221332a b c +-【答案】B【解析】由题，在空间四边形OAB ， OA a = ， OB b = ， OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =， N 是BC 的中点，则1122ON c b =+． 所以211322MN ON MO a b c =+=-++故选B ．4．有一段“三段论”推理：对于可导函数()f x ，若()f x 在区间(),a b 上是增函数，则()'0f x >对(),x a b ∈恒成立，因为函数()3f x x=在R 上是增函数，所以()2'30f x x =>对x R ∈恒成立．以上推理中( )A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 推理正确【答案】A【解析】∵大前提是：“对于可导函数f x f x （），（）在区间a b （，） 上是增函数，如果0'0f x =（），那么0x x = 是函数f x （）的极值点”，不是真命题， 因为对于可导函数f x （）， f x （）在区间a b （，）上是增函数， '0f x （）＞ 对x a b ∈（，） 恒成立，应该是'0f x ≥（） 对x a b ∈（，）恒成立， ∴大前提错误，故选A ．5．设()f x 为可导函数，且满足()()11lim12x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是( )A. 2B. 1-C. 12D. 2- 【答案】D 【解析】由题，()f x 为可导函数，()()()()()()0001111111lim1lim 1lim 222x x x f f x f f x f x f x x x→→→------=-⇒=-⇒=--()2f x ∴'=- ，即曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是2- ，选D【点睛】本题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，本题解题的关键是对所给的极限式进行整理，得到符合导数定义的形式．6．用数学归纳法证明()()()()122?1?3?·21nn n n n n +++=- ，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（） A. 21k + B. ()221k + C.211k k ++ D. 231k k ++ 【答案】B【解析】试题分析：当n=k 时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k ）=（k+1）（k+2）…（2k ），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k ）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是()()()21221k k k +++=2（2k+1），故答案为B ．【考点】数学归纳法．7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则直线1AB 与侧面11ACC A所成角的正弦值等于（ ）A.4B. 4C. 2D. 2【答案】A【解析】试题分析：如下图所示，取11AC 中点D ，连结AD ， 1B D ，则可知1B D ⊥面11ACC A ，∴1DAB ∠即为直线1AB 与平面11ACC A 所成的角，不妨设正三棱柱的棱长为2，∴在1Rt AB D ∆中，111sin B D DAB AB ∠===，故选A ．【考点】直线与平面所成的角．8．把一个周长为12cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A. 1:2B. 1:πC. 2:1D. 2:π 【答案】C【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则2212r h π⋅+=（）， 362000h r h r r ππ∴=-∴ ．＞，＞，＜＜．∴圆柱的体积222236262V r r h r r r r πππππ==-=-（）（）．22'126V r r r ππ∴=-（）， 令'0V r =（） ，解得2r π= 或0r = （舍）．当20r π＜＜ 时， '0V r （）＞ ，当23r ππ＜＜时，V′（r ）＜0，∴当2r π=时，圆柱体积最大，此时622h r π=-=． 底面周长224l ππ=⋅= ，则该圆柱底面周长与高的比为2:1，选C9．当0a >时，函数()()22xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】由f (x )=0,解得x 2−2ax =0，即x =0或x =2a ， ∵a >0,∴函数f (x )有两个零点，∴A ，C 不正确。
设a =1,则f (x )=(x 2−2x )e x ， ∴f ′(x )=(x 2−2)e x ， 由f ′(x ) >0,解得x >或x <由f ′(x ) <0,解得x <，即x =是函数的一个极大值点，∴D 不成立，排除D . 本题选择B 选项.10．已知11ln 1nn i i a n =⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ (*n N ∈)， 21ln b xdx =⎰，则,a b 的大小关系为( )A. a b >B. a b =C. a b <D. ,a b 的大小与n 的取值有关 【答案】A【解析】11112ln 1ln 1ln 1...ln 1nn i i n a n n n n n =⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑()()()112...1ln ln nnn n n n nn n ⎡⎤++++=≥⎢⎥⎣⎦当1n = 时， min ln2a =，()()212ln ln | 2ln2212ln211b xdx x x x ==-=---=-⎰ ，()ln22ln211ln20,a b a b -=--=->∴> ，选A11．已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为()'f x ，当0x <时， ()f x 满足()()()2'f x xf x xf x +<，则()f x 在R 上的零点个数为( )A. 5B. 3C. 13或D. 1【答案】D 【解析】构造函数()2xx f x F xxe =（）（＜）所以()()()()()()()2222'2''x x xxxx f x xf x xf x xf x e x f x e x f x e F x ee ⎡⎤+-+-⎣⎦==（）因为2'0f x xf x xf x x +（）（）＜（），＜，所以'0F x （）＞， 所以函数F x （） 在0x ＜ 时是增函数，又00F=（） 所以当x 000F x F =＜，（）＜（） 成立， 因为对任意200x x x e＜，＞，所以0f x （）＜ ，由于f x （） 是奇函数，所以x ＞0时0f x （）＞， 即0f x =（） 只有一个根就是0．故选D ．【点睛】本题主要考查利用构造函数法判断函数零点的知识，合理的构造函数是解决问题的关键．12．已知函数()1xf x e ax =--， ()g ln x x ax a =-+，若存在()01,2x ∈，使得()()000f x g x <，则实数a 的取值范围为( )A. ()ln2,1e -B. 21ln2,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. [)1,1e -D.211,2e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】由题意可知()()101ln { { 01ln 1x x e a f x e x x a g x x x xa x +>>+⇒⇒<<<-<- ，令()ln 1x F x x =-，则()()21ln 01x x F x x ⎛'⎫-+ ⎪⎝⎭=<-对()1,2x ∈成立， ()F x ∴ 在()1,2递减， ()()min2ln2F x F ∴== ；令()1x e G x x +=，则()()2110x e x G x x-+'=>对()1,2x ∈成立， ()G x ∴ 在()1,2递增， ()()2max122e G x G -∴== ；故21l n 22e a -<<时满足题意，故选B二、填空题 13．(222sin x x dx -⎰=______．【答案】2π；【解析】(2222222sin x sinx dx x xdx ---+=+⎰⎰ ，而函数2sin y x x =是奇函数，它在()2,0-和()0,2的积分值大小相等，符号相反，故222sin 0x xdx -=⎰，而2-表示圆224x y += 与x 轴围成的半圆的面积，2221222ππ-∴=⨯⨯=，即(2222x sinx dx π-==⎰ 14．函数()321233y x bx b x =++++在R 上不是单调递增函数，则b 的范围是 【答案】2b >或1b <-【解析】试题分析： ()()322123223y x bx b x y x bx b =++++=+'∴++ ，函数在R 上不是单调递增函数，所以0∆> ()24420b b ∴-+>∴ 2b >或1b <-【考点】函数导数与单调性点评：函数不是单调增函数即函数导数存在小于零的情况，转化为二次函数与x 轴有两个交点15．已知()xf x xe =， ()()21g x x a =-++，若12,x x R ∃∈，使得()()21f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析： 12,x x R ∃∈，使得()()21f x g x ≤成立，等价于f （x ）min≤g （x ）max ， ()()1xf x x e ='+，当x ＜-1时，f′（x ）＜0，f （x ）递减，当x ＞-1时，f′（x ）＞0，f （x ）递增， 所以当x=-1时，f （x ）取得最小值f （x ）min=f （-1）=1e-； 当x=-1时g （x ）取得最大值为g （x ）max=g （-1）=a ， 所以1e -≤a ，即实数a 的取值范围是a≥1e- 【考点】函数单调性与最值16．已知z C ∈， 1z =，则221z z ++的最大值为______．【答案】4【解析】由已知z C ∈， 1z =，设()22,,1,1z a bi a b R a b a =+∈∴+=≤ 则()222222|211|121224z z z a b a a b a ++=+=++=+++=+≤17．观察下列等式：211122ni i n n ==+∑； 2321111326ni i n n n ==++∑； 34321111424ni i n n n ==++∑； 45431111152330ni i n n n n ==++-∑； 5654211151621212ni i n n n n ==++-∑； 67653111111722642ni i n n n n n ==++-+∑，112112101nkk k k k k k k k i ia n a n a n a n a n a +--+--==++++++∑ ．可以推测，当2k ≥ (*k N ∈)时， 111k a k +=+， 12k a =， -1k a =______， 2k a -=______．【答案】 12k0 【解析】观察推理可知111k a k +=+，12k a =1232131412,;3,,4,126124123k a k a k a ========= 故12,12k k k a -≥= 观察可知20k a -=三、解答题18．已知直线l 过点()1,2P -，且方向向量为(-，圆的极坐标方程为=2cos(+)3πρθ．(1)求直线l 的参数方程；(2)若直线l 与圆相交于M N 、两点，求PM PN ⋅的值．【答案】(1) 11,2{2x t y =--= (t 为参数)；(2)【解析】试题分析：(1) 设直线l 的倾斜角为α，由方向向量为(- ，可求出其倾斜角，由直线过点()1,2P - ，则直线l 的参数方程可求；(2)将直线的参数方程代入圆的方程，得(2360t t ++++= ： ，由t 的几何意义此可求出•PM PN 的值．试题解析：(1)设直线l 的倾斜角为α，因为(n =-，所以tan α=因为[)0,απ∈，所以直线l 的倾斜角为23π． 所以直线l 的参数方程为21,3{223x tcos y tsin ππ=-+=+ (t 为参数)，即11,2{ 2x t y =--= (t 为参数)(2)因为=2cos(+)=cos 3πρθθθ-，所以2=cos sin ρρθθ所以圆的普通方程为220x y x +-=． 将直线的参数方程代入，整理得：(2360t t ++++=． 设方程的两根为12,t t，则12t t12=|PM PN t t ⋅ 19．已知函数()()2ln 11xf x a x b x =+-++的图象与直线20x y +-=相切于点()0,c ．(1)求a 的值；(2)求函数()f x 的单调区间和极小值.【答案】(1) 1a = ；(2)答案见解析. 【解析】试题分析： 由()()22'11a f x x x =-++和f x （） 在0x =处的切线方程为2y x =-+， 能求出a ． 由点0c （，） 在直线20x y +-= 上，推导出2c = ， 由点02（，） 在()()2ln 11xf x a x b x =+-++的图象上，推导出2b =， 由此能求出函数f x （）的单调区间和极小值． 试题解析;(1) ∵()()2ln 11x f x a x b x =+-++，∴()()22'11a f x x x =-++， ∵函数()f x 在0x =处的切线方程为2y x =-+，∴()'021f a =-=-，∴1a = (2) ∵点()0c ，在直线20x y +-=上， ∴20c -=，∴2c = ∵()02，在()()2ln 11xf x x b x =+-++的图象上，∴()02f b ==， ∴()()2ln 12(1)1xf x x x x =+-+>-+ 由(1) 得： ()()()22121'(1)111x f x x x x x -=-=>-+++， 令()'0f x >，则1x >，因此函数()f x 的单调递增区间为（1，+∞） 令()'0f x <，则11x -<<，因此函数()f x 的单调递减区间为（– 1，1） ∴当1x =时，函数()f x 取得极小值1ln2+．20．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是边长为2的菱形， 0=60ABC ∠， E 为AB 的中点， PA ABCD ⊥平面，PC 与平面PAD (1)在棱PD 上求一点F ，使//AF 平面PEC ； (2)求二面角D PE A --的余弦值.【答案】(1) F 为PD 中点；(2). 【解析】试题分析 : (1) 以BD 为x 轴， CA 为y 轴，建立空间直角坐标系.其中： ()0,1,0A ， ()B ， ()0,1,0C -， )D， ()0,1,P m ，1,02E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ()=0,2,PC m -- .求出平面PAD 的法向量)=n 由已知可得cos,PC n，因此2m=，故()0,1,2P设=PF PDλ，()=0,0,2AP，)=PD，则：)==,,22AF AP PFλλ+--.求出平面PEC的法向量()=m ，.=0m AF⋅，因此1=2λ，(2)由（1）可知平面PEA的法向量)1=3,0n-，平面PED的法向量)2=3n-，则12cos,n n<≥由二面角D PE A--为锐二面角，因此，二面角D PE A--.试题解析:(1)以BD为x轴，CA为y轴，AC与BD的交点为O，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系.其中：()0,1,0A，()B，()0,1,0C-，)D，()0,1,P m，1,02E⎛⎫⎪⎪⎝⎭()=0,2,PC m--.设平面PAD的法向量()=,,n x y z，()=0,0,AP m，)=1,0AD-.所以0,0,mzy=-=所以)=n所以cos,4PC n，因此2m=，故()0,1,2P设=PF PDλ，()=0,0,2AP，)=PD，则：)==,,22AF AP PFλλ+--.设平面PEC的法向量为()=,,m x y z，1=,22EP⎫⎪⎪⎝⎭，()=0-2-2PC，，所以120,{22220x y zy z++=--=故()=m ，.=0m AF ⋅，所以322=0λλλ-++-，因此1=2λ，所以F 为PD 中点.(2)平面PEA的法向量)1=3,0n - ，平面PED的法向量)2=3n -，12cos ,n n -由二面角D PE A --为锐二面角，因此，二面角D PE A --. 21．已知函数()()ln f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. (1)求a 的值；(2)若对任意的[)0,x ∈+∞，有()2f x kx ≤成立，求实数k 的范围；(3)证明：()12ln 21221ni n i =-+<-∑ ()*n N ∈ 【答案】(1)a=1；(2) 12k ≥；(3)证明见解析. 【解析】试题分析; （1）对()f x 进行求导，已知()f x 最小值为0，可得极小值也为0，得'00f =（） ，从而求出a 的值；（2）由题意任意的[0x ∈+∞，） ，有2f x kx ≤（） 成立，可以令2g x f x x =-（）（）， 求出g x （） 的最大值小于0即可，可以利用导数研究g x （）的最值； (3)由(2)知：令12k =得： ()2112x In x x -+≤ 令()21,2,,21x i n i ==- 得: ()()2212121In i In i i ⎡⎤-+--⎣⎦-＜()2221i - ,累加即可的证试题解析;(1)函数的定义域为(),a -+∞.由()0f x '=得： 1x a =-＞a - 又由()0f x '≥得： 1x a ≥- ∴()f x 在(),1a a --单调递减，在[)1,a -+∞单调递增 ∴()()()min101f x f a a =-=⇒=(2)设()2In()g x kx x x a =-++()0x ≥，则()0g x ≥在[)0,+∞恒成立()()min 00g x g ⇔≥= ()注意到()11In20g k k=-+≥⇒＞0 ……5分 又()()2211x kx k g x x +-'=+①当21k -＜0 (k ＜12)时，由()'0g x ≥得122k x k-≥. ∵()g x 在120,2k k -⎡⎤⎢⎥⎣⎦单减， 12,2k k -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单增，这与()式矛盾； ②当12k ≥时 ∵()0g x '≥在[)0,+∞恒成立 ∴()()00g x g ≥=符合() ∴12k ≥(3)由(2)知：令12k =得： ()2112x In x x -+≤ 令()21,2,,21x i n i ==- 得: ()()2212121In i In i i ⎡⎤-+--⎣⎦-＜()2221i - 当i =1时， 223x In =⇒-＜2； 当2i ≥时，()2221i -＜123i -- 121i - 从而()()212212121i In i In i i =⎡⎤-++-⎢⎥-⎣⎦∑＜123121In n -+--＜2. 【点评】此题考查利用导数求函数的最值问题及函数的恒成立问题，第二问构造新函数，将问题转化为g x （）的最小值大于等于0即可，这种转化的思想在高考中经常会体现，要认真体会，属难题．22．设实数0c >，整数1p >， *n N ∈．(1)证明：当1x >-且0x ≠时， ()11px px +>+；(2)数列{}n a 满足11pa c >， 111p n n n p ca a a p p-+-=+，证明： 11p n n a a c +>>. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析; (1) 用数学归纳法证明即可；(2) 先用数学归纳法证明1pn a c >，从1pn a c >着手，由111p n n n p ca a a p p-+-=+ ，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将1n n a a +＞ 进行转换，设法利用已证结论证明．试题解析；(Ⅰ) 证：用数学归纳法证明（1）当2p =时， ()2211212x x x x +=++>+，原不等式成立（2）假设()2,*p k k k N =≥∈时，不等式()11kx kx +>+成立 当1p k =+时，()()()()()111111k kx x x x kx ++=++>++()()21111k x kx k x =+++>++所以1p k =+时，原不等式成立 综合（1）（2）,知当且时，对一切整数1p >，不等式均成立…（Ⅱ）先用数学归纳法证明1pn a c >。
