南京市江宁高级中学四模
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南京市江宁高级中学2010届高三第四次模拟考试数学试卷
2010.6
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1、已知i是虚数单位， 复数411izii的共轭复数z在复平面内对应点落在第 象限．
2、已知集合2{|3},{|12}MxyxNxx，且M、都是
全集I的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为 ；
3、设nS为等差数列}{na的前n项和，且20101a，
22008201020082010
SS
，则2a ；
4、已知向量,mn的夹角为6，且||3m，||2n，在ABC中，,3ABmnACmn，
D为BC边的中点，则||AD ；
5、根据《中华人民共和国道路交通安全法》规
定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80
mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血
液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属
醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年3月
15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒
驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾
车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为
____________．
6、函数3()fxxax在(1,2)处的切线方程为 .
7、执行右边的程序框图，若9p，则输出的S= .
8、已知随机变量的分布列如下表，则随机变量的方差D的最大值
为 ；
9、设,为互不重合的平面，,mn是互不重合的直线，给出下列四个
命题：①//,,//mnnm若则
②,,//////mnmn若，，则
③//,,//mnmn若，则
0 1 2
P y 0．4 x
2
④若,,,,mnnmn则； 其中正确命题的序号为 .
10、已知抛物线22(0)ypxp与双曲线22221(,0)xyabab有相同的焦点F，点A是两曲线
的一个交点，且AFx轴，若l为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则l的斜率的取值范围
是 ；
11、从集合1,2,3,0,1,2,3,4中，随机选出4个数组成子集，使得这4个数中的任何两个
数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为 ______．
12、定义：关于x的两个不等式0xf和0xg的解集分别为ba,和ab11，，则称这两
个不等式为对偶不等式.如果不等式022cos342xx与不等式
012sin422xx
为对偶不等式，且,2，则 .
13、已知函数bxaxxxf2331)(（Rba,），若)(xfy在区间2,1上是单调减函数，
则ba的最小值为 .
14、把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到
如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列na，若
2011na
，则n_____________．
二、
解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15、（本小题14分）已知函数()2sin()(0,)22fxx的图像如图所示，
3
直线37,88xx是其两条对称轴。
⑴求函数()fx的解析式并写出函数的单调增区间；
⑵若6()5f，且388，求()8f的值。
16、（本小题满分14分）如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD
为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABC
（1）证明：BD⊥AA1；
（2）证明：平面AB1C//平面DA1C
1
（3）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？
若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
17、（本小题满分15分）设定义在R上的函数
32
()fxaxbxcx
，当x＝－22时，f （x）取得极大
值23，并且函数'()yfx的图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求f （x）的表达式；（Ⅱ）若曲线C对应的解析式为114()()223gxfxx，求曲
线过点(2,4)P的切线方程．
18、（本小题满分15分）为赢得2010年上海世博会的制高点，某公司最近进行了世博特许产品
的市场分析，调查显示，该产品每件成本9元，售价为30元，每天能卖出432件，该公司可以
根据情况可变化价格x（3054x）元出售产品；若降低价格，则销售量增加，且每天多卖
出的产品件数与商品单价的降低值||x的平方成正比，已知商品单价降低2元时，每天多卖出24
件；若提高价格，则销售减少，减少的件数与提高价格x成正比，每提价1元则每天少卖8件，
且仅在提价销售时每件产品被世博管委会加收1元的管理费．
（Ⅰ）试将每天的销售利润y表示为价格变化值x的函数；（Ⅱ）试问如何定价才能使产品销售
利润最大？
19、（本小题满分16分）已知椭圆222210xyabab和圆O：222xyb，过椭圆上一
点P引圆O的两条切线，切点分别为,AB．
（Ⅰ）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得90APB，求椭圆离心率e的取值范围；
4
（Ⅱ）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：2222abONOM为定值．
20、（本小题满分16分）设数列{}na的前n项和为nS，对一切*Nn，点(,)nSnn都在函数
()2nafxxx
的图象上． （Ⅰ）求123,,aaa及数列{}na的通项公式na；
（Ⅱ） 将数列{}na依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a），（2a，3a），（4a，5a，6a），
（7a，8a，9a，10a）；（11a），（12a，13a），（14a，15a，16a），（17a，18a，19a，20a）；（21a），…，
分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}nb，求
5100
bb
的值；（Ⅲ）令2()(1)nngna（*nN），求证：2()3gn≤．
第二部分（加试部分） （总分40分，加试时间30分钟）
21、[选做题]
B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A=3101，求A的特征值1，2及对应的特征向量12,αα．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l的极坐标方程为sin()33，曲线C的参数方程为2cos2sinxy，设P点是曲
线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．
[必做题]
22、某学科的试卷中共有12道单项选择题，（每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确
的，答对得5分，不答或答错得0分）。某考生每道题都给出了答案，已确定有8道题答案是正
确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项
是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜。对于这12道选择题，试求：
（1）该考生得分为60分的概率；
（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．
23、如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，
PA⊥平面ABC，2DCBCPA，E为DB的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥BC；（Ⅱ）若点F是线段BC上的动点，设
平面PFE与平面PBE所成的平面角大小为，当在
[0,]
4
内取值时，求直线PF与平面DBC所成的角的正切的范围．
C
