特殊三角形中等难度练习题

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全等三角形难题(含答案)

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

解：延长AD到E,使AD=DE

∵D是BC中点

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3

∴AD=2

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12CDAB

延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP

∵DP=DC,DA=DB

∴ACBP为平行四边形

又∠ACB=90

∴平行四边形ACBP为矩形 A

D B

C

D A

B C .\

∴AB=CP=1/2AB

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF和EF

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF

∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)

∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF

连接BE

在三角形BEF中,BF=EF

∴ ∠EBF=∠BEF。

∵ ∠ABC=∠AED。

∴ ∠ABE=∠AEB。

∴ AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF

∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

过C作CG∥EF交AD的延长线于点G

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（对顶角） A

B

C D E

F 2

1

B A

C

D F 2 1

E .\

∴△EFD≌△CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠EFD

又，EF∥AB

∴，∠EFD＝∠1

∠1=∠2

∴∠CGD＝∠2

∴△AGC为等腰三角形，

中考数学专题训练---直角三角形的边角关系的综合题分类附答案解析

一、直角三角形的边角关系

1．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，，求的值.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形

（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH的长，从而可求tan∠ADP

试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC

∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF

∵AD//BC

∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF

∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF

∴AB=BE AB=AF

∴AF=AB=BE

∵AD//BC

∴ABEF为平行四边形

又AB=BE

∴ABEF为菱形

（2）作PH⊥AD于H

由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5 ∴tan∠ADP=

考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数

2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．

（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；

（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．

①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；

②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）

【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．

【解析】

试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；

1. 如图，已知等边△ ABC，P在 AC延长线上一点， 以 PA为边作等边△ APE,EC延长线交 BP于 M，连接 AM,求证：（ 1）BP=CE； （ 2）试证明： EM-PM=AM.

3.已知，如图①所示，在 △ABC和△ ADE中， AB AC，AD AE， BAC DAE ，且点 B， A，D在一条直 线上，连接

BE，CD，M，N分别为 BE，CD的中点．

（ 1）求证：① BE CD ；② AM AN ；

2）在图①的基础上，将 △ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转 180o，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写

出（ 1）中的两个结论是否仍然成立

4、如图１，以 △ ABC的边 AB 、 AC为边分别向外作正方形 ABDE和正方形 ACFG ，连结EG ，试判断 △ABC与

△AEG 面积之间的关系，并说明理由． 2、点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM, △ CBN 都是等边三角形，线段 AN,MC 交于点 E， BM,CN 交于点 F。求证：

1）AN=MB. （2）将△ ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变， 1）中的结论是否依

然成立？ （ 3） AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化。

B

图①

C B 图１） F

7、已知 Rt△ ABC中， AC BC，∠C 90，D 为AB边的中点， EDF 90°，

EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB （或它们的延长线）于 E 、 F． 1

当 EDF 绕 D 点旋转到 DE AC于

E

时（如图

1），易证 S△DEF S△CEF S△ ABC．

DEF CEF 2 ABC

当 EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时， 在图 2 和图 3 这两种情况下， 上述结论是否成立？若成立， 请给予证明；

8. 已知 AC//BD, ∠CAB 和∠ DBA 的平分线 EA、EB 与 CD 相交于点 E. 求证 :AB=AC+BD. 5、如图所示，已知△ ABC 和△ BDE 都是等边三角形，且 A、

《三角形》专项练习

1、在△ABC中，∠A=∠B，∠A+∠B=120°，那么△ABC是哪种三角形？

∠A和∠B度数：120°÷2=60°

∠C度数：180°-120°=60°

答：△ABC是等边三角形

2、在△ABC中，∠A=∠B，∠A+∠B=∠C，那么△ABC是哪种三角形？

∠C度数：180°÷2=90°

∠A和∠B度数：90°÷2=45°

答：△ABC是等腰直角三角形

3、已知一个等腰三角形的顶角度数是一个底角度数的2倍，求该三角形各个角的度数。

底角：180°÷（2+1+1）=45°

顶角：45°×2=90°

答：三角形各个角的度数是45°、45°、90°。

4、已知一个等腰三角形的一个底角的度数是顶角度数的2倍，求这个三角形各个角的度数。

顶角：180°÷（2+2+1）=36° 底角：36°×2=72°

答：三角形各个角的度数是36°、36°、72°。

《三角形》专项练习

5、算出下面各个未知角的度数。

180°－134°＝46°

180°－46°－65°＝69°

6、三角形ABC是等边三角形，已知∠1＝38°，求∠2的度数。

∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°

∠2＝180°－∠1－∠ACD＝180°－38°－120°＝22°

7、求∠1的度数。

∠2＝180°－130°＝50°

∠1＝180°－50°－59°＝71°