关于数学跨学科内容与教学的已有研究兼及!"!!年全国高考数学试卷跨学科试题分析刘祖希!华东师范大学出版社"!"""#!#摘!要$加强跨学科内容与教学是课程改革的新趋势"已经进入数学课标%教材与高考&关于数学跨学科内容与教学的已有研究中"学理研究包括相关概念的界定%教学价值的明确等'教学研究涉及教师跨学科素养培养%跨学科教学方法构建%跨学科教学案例开发%学生跨学科意识培养等'教材研究聚焦于不同国家或地区以及国内不同版本教材之间的比较研究'试题研究集中在中考数学试题层面&!"!!年全国高考六套数学试卷中的跨学科试题的位置分布比较均衡"学科来源广泛"呈现方式以图文并茂为主"使用目的多种多样"知识领域比较广泛但不够均衡"素养目标相对清晰%聚焦(三会)&关键词$数学教学'跨学科'文献综述'高考数学'试题分析!!!当前"我国高中教学及评价主要采用分科模式&这样有利于各学科基础知识%基本技能等的掌握"但也在一定程度上妨碍了学生综合能力%创新素养的发展&对此"*普通高中数学课程标准!!"$%年版!"!"年修订#+!以下简称(课标)#在(课程理念)中指出高中数学课程(强调数学与生活以及其他学科的联系)"'在(教学建议)#和(学业水平考试与高考命题建议)$中把教学情境与问题情境都分为现实情境%数学情境%科学情境三种形式'在(学业质量)的水平三!最高水平#中要求学生能够借助直观想象建!"本文系中国教育学会!"!$年度教育科研中小学德育专项课题(中小学数学学科德育教学$方法与路径)!编号$!$&'"("#$)*+#的阶段性研究成果&#$!中华人民共和国教育部,普通高中数学课程标准!!"$%年版!"!"年修订#,--,北京$人民教育出版社"!"!"$!")$")(&立数学与其他学科的联系"能够合理地运用数学语言和思维进行跨学科的表达与交流!&与此呼应"当下的高中数学教材加大了跨学科内容的设置"近几年的高考数学试卷也加强了跨学科试题的设计&本文拟综述数学跨学科内容与教学的已有研究"进而分析!"!!年全国高考六套数学试卷中的跨学科试题"以期为教师的日常教学以及备考复习指导提供参考和借鉴&一%文献综述从中国知网上查阅到的文献来看"当前关于数学跨学科内容与教学的研究"集中在学理研究%教学研究%教材研究%试题研究等四个方面&!一#学理研究学理研究包括相关概念的界定%教学价值的明确等&相关概念有跨学科%跨学科思维%跨学科教学等&(跨学科)概念起源于!"世纪!"年代"由美国学者泰勒%伍德沃斯等提出"并倡导在高等教育中实施&"跨学科思维是指在课程与教学中"不囿于学科边界"重视学科内部%外部的知识交叉和融合"通过跨界去整合知识"从而解决问题的思维方式"它的突出特征是思维上的融会贯通&#跨学科教学通常是指以一个学科为中心"选择一个题目"运用不同学科的知识"对所指向的中心题目进行加工和设计教学&$为何要开展数学跨学科教学.黄翔等给出的理由是$重视学科的交叉%融合不仅是教育发展的必然趋势"也是数学发展的现代特点"通过数学学科的跨界%融合可以更好地促进学生数学素养的提高"所以"在当前数学课程设计上要更加注重学科的跨界%交融&%华志远认为"跨学科教学的目标首先是使学生有效地习得学以致用的知识"其次是提高学生的能力和素养"再次是引导学生形成正确的世界观%人生观和价值观&&这些观点与当前我国基础教育阶段的数学课程性质%指向核心素养的数学课程目标是一致的&数学跨学科教学不仅能引导学生使用数学知识解决其他学科的问题"还可以利用其他学科的知识%方法%思维促进数学知识的理解"拓展数学解题的方法&比如"唐素锋通过一道行程问题的物理解法与化学解释"启发读者运用具象思维%合情推理%直观想象"优化数学解题方法&'杨丽辉等甚至还提出了高中数学跨学科教学的(共生理念)$通过其他学科在知识与方法等方面对数学教学的促进"达到学生数学学科素养与其他学科素养共同生长的境界&(!二#教学研究教学研究涉及教师跨学科素养培养%跨学科教学策略!方法#构建%跨学科教学课程!案例#开发%学生跨学科意识培养等&胡晓霞构建了基于跨学科视角的中学数学教师教学能力结构!包括!个一级指标%#个二级指标%$(个三级指标#"实质是在一般教学能力与数学教学能力的基础上增加了科学探究教学能力与跨学科教学能力"其中跨学科教学能力包括创设跨学科教学情境的能力%跨学科理解与实践能力&)为培养具有跨学科教学意识和能力的数学教师"李哲丽提出了三点建!"#'()中华人民共和国教育部,普通高中数学课程标准!!"$%年版!"!"年修订#,--,北京$人民教育出版社" !"!"$%)&$&!华志远,以数学为中心的高中跨学科教学路径初探,.-,教育研究与评论!中学教育教学#"!"!"!/#$!#" !%"!%&%!黄翔"童莉"史宁中,谈数学课程与教学中的跨学科思维,.-,课程/教材/教法"!"!$!%#$$"#"$"%&唐素锋,例谈数学知识的跨学科理解,.-,中学生百科"!"")!!#$!)!(&杨丽辉"黄兴仲,共生理念下高中数学跨学科教学的探索,.-,课程教材教学研究!中教研究#"!"!!!$0!#$/) 0"&胡晓霞,基于跨学科视角的中学数学教师教学能力结构研究,&-,重庆$西南大学"!"!$&议$!$#合理制定课程标准"重视教材建设'!!#增设科学课程"加强跨学科教学实践'!/#更新传统教育理念"提高综合学科能力&!如何开展跨学科数学教学.黄翔等认为"跨学科思维将运用于数学教学"需要更新学科观念"增强学科交叉融通意识'加强知识之间的融通和联系"让数学在学科交融中活起来'探索有效展开跨学科教学的教学方式'注意体现数学本质"切忌简单%生造'提升跨学科思维下的教师专业素养&"华志远则给出了实施以数学为中心的高中跨学科教学的路径$抓住课程主线"寻求内容的交汇点'研究课程标准"寻求方法的结合点'发掘真实问题"拓展应用的边界'回顾发展历史"获得成功的经验&#很多研究者都强调更新学科观念%提升专业素养"加强数学与其他学科的联系"找准多学科知识的交汇点"探索跨学科教学方式&黎丽娟从学生的角度提出"在平时教学中采取(树立学科渗透意识)(培养观察思考能力)(提高数学思维水平)等应对策略&$陈莉梅从教师的角度提出了五条实施策略$改变教育理念"树立跨学科教学的观念'梳理数学与其他学科间的知识交融点"提高跨学科教学的能力'加强与其他学科教师间的合作交流"丰富跨学科教学的经验'充分考虑学生学情"进行合理地跨学科教学'实施多样评价"逐步完善跨学科教学模式&%黄荣等以高中数学与人文学科的融合为例"开发了数学与文学融合%数学与史学融合%数学与哲学融合%数学与美学融合等多个跨学科教学的案例"形成了有特色的数学文化校本课程&&梁勇以主题为(奇妙的对称)的小学数学跨学科课程为例"从主题确定%协同开发%实施过程和学习评价等层面"全面展示了其所在学校语文%英语%科学%美术%体育等学科教师的团结协作"以及学生在技术支持下跨学科学习过程中的真实学习状态"从而构建(以学科内容为基点的统整项目课程)&'李雪琴通过跨学科数学课程实施前后的对比研究"发现初中生对跨学科数学课程有积极的学习态度'认识到各学科学习的重要性和应用性"对各学科的学习态度由模糊变得清晰"尤其对数学的认识最深刻'掌握了一些跨学科知识"逐渐形成了跨学科学习的思维'产生或巩固了从事跨学科职业的想法&(!三#教材研究关于跨学科内容的数学教材研究"可分为不同国家或地区教材之间的比较研究%国内不同版本教材之间的比较研究&不同国家或地区教材之间的比较研究"如尚念以我国人教版%沪教版和美国加州版初中数学教材数与代数部分为研究对象)"朱树金选取中美高中数学教材中的指数函数与对数函数%圆锥曲线%随机变量等内容作为研究对象*+,&此外"张维忠等专门分析了澳大利亚七!"#$%&'()*+,参见$李哲丽,中学数学职前教师跨学科教学态度研究111以数学与科学融合为例,&-,长沙$湖南师范大学"!"!"&黄翔"童莉"史宁中,谈数学课程与教学中的跨学科思维,.-,课程/教材/教法"!"!$!%#$$"#$$$&华志远,以数学为中心的高中跨学科教学路径初探,.-,教育研究与评论!中学教育教学#"!"!"!/#$!#/"&黎丽娟,跨学科中考数学试题教学策略初探,.-,考试周刊"!"$!!$!#$!/&参见$陈莉梅,初中数学跨学科教学的现状与对策研究,&-,重庆$重庆师范大学"!"!"&黄荣"周超,高中数学跨学科教学的实践111以数学与人文学科的融合为例,.-,中学数学月刊"!"!!!$#$ #1##&梁勇,以学科内容为基点的跨学科统整111以数学主题(奇妙的对称)统整项目课程为例,.-,广西教育"!"$#!!"#$0%1"&参见$李雪琴,数学跨学科教学对初中生-234态度的影响研究,&-,长沙$湖南师范大学"!"!$&参见$尚念,中美初中数学教材跨学科内容的比较研究111以(数与代数)部分为例,&-,上海$华东师范大学"!"$%&朱树金,中美高中数学教材跨学科内容比较研究,.-,中学数学月刊"!"!"!)#$0%1"&年级数学教科书中跨学科内容的使用情况&!国内不同版本教材之间的比较研究"如包智慧等以改革开放以来四套人教版初中数学教材为研究对象""潘小勤等对人教5版高中数学新旧教材内容进行量化对比分析#"宋燕伶等选取!"$$年和!"$(年出版的两套北师大版高中数学教材作为研究对象$&无论是哪种形式的教材比较研究"研究者不约而同地采用了相对一致的研究框架"即从学科来源%呈现方式%设置目的%知识领域等维度对数学教材中的跨学科内容进行实证研究"并从跨学科内容的深度和广度等方面提出教材编写建议&!四#试题研究关于跨学科内容的数学试题研究较多"而且集中在中考数学试题层面&笔者查询到较早的文献是朱文彦的*跨学科的中考数学题型+%等&此类文章多数以试题列举%归类%赏析为主"比较可贵的是朱广科给出了跨学科试题的解题策略$首先是关注社会热点"注意收集有关信息"扩充知识面"形成较强的综合素质和能力'其次是认真审题"挖掘有用的信息"为正确解题奠定基础'最后则是讲究方法"注重知识与技能的灵活运用"将有关学科知识加以迁移%引申"针对具体问题或现象灵活应用不同的学科知识和技能&&二%试题分析高考数学试题既有数学问题的一般属性"也有高考评价的特殊属性&依据这两个属性"借鉴已有研究"从位置分布%学科来源%呈现方式%使用目的%知识领域%素养目标等六个维度"分析!"!!年全国高考六套数学试卷!甲卷理科%甲卷文科%乙卷理科%乙卷文科%新课程-卷%新课程.卷#中的跨学科试题"探寻数学跨学科试题的特点&!一#位置分布!"!!年全国高考数学试卷中一共出现了$0道跨学科试题!文理科试卷中相同的试题仍单独统计题量#&这$0道试题的位置分布如表$所示!表中题号后括号内的文字为相应试题的情境概述#&表&!跨学科试题的位置分布卷别选择题填空题解答题甲卷理科第!题!公益讲座#%第)题!会圆术#1第$(题!体育比赛#甲卷文科第!题!公益讲座#1第$(题!包装盒#乙卷理科第0题!嫦娥二号#%第$"题!赢棋概率#1第$(题!木材总量#乙卷文科第0题!运动时长#1第$(题!木材总量#新课程-卷第0题!水库水量#1第!"题!疾病风险#新课程.卷第/题!举架结构#1第$(题!患者年龄# !"#$%&张维忠"赵千惠,澳大利亚初中数学教科书中的跨学科内容,.-,浙江师范大学学报!自然科学版#"!"!!!!#$!//!0"&包智慧"杨新荣,初中数学教科书跨学科内容的变迁分析111基于四套人教版教科书的纵向比较研究,.-,中学数学杂志"!"!$!$"#$)$!&潘小勤"张维忠,高中数学教材中跨学科内容的呈现111以新人教5版高中数学必修教材为例,.-,中学数学教学参考"!"!"!$/#$/$/0&宋燕伶"彭刚,北师大版高中数学教材跨学科内容研究,.-,中学数学杂志"!"!!!$#$#$"&朱文彦,跨学科的中考数学题型,.-,数学教学通讯"!""!!!#$!/!0&朱广科,中考数学跨学科试题归类解析,.-,教学与管理"!"$!!0#$#!#0&!!可以发现"跨学科试题在各卷别中的位置分布比较均衡"一般选择题中有$1!道"解答题中有$道"均属于中档难度的题目"这体现了跨学科试题设计的整体性和一致性&之所以没有出现在填空题中"可能与填空题短小精悍%控制难度的命题特点有关&跨学科试题在全卷中的总分值为$%分或!!分"比重超过$$6"应该引起重视&!二#学科来源关于数学跨学科试题的学科来源"可采取*中华人民共和国学科分类与代码国家标准!!""(年版#+"将学科划分为自然科学%农业科学%医药科学%人文与社会科学%工程与技术科学1类"具体如表!所示!&!"!!年全国高考数学试卷中的$0道跨学科试题的学科来源分别是$体育科学!/道#%地球科学!/道#%林学!!道#%医学!!道#%材料工程!!道#%历史学!$道#%航空航天科学技术!$道#&表(!学科划分一览序号学科类别一级学科$自然科学类物理学%化学%生物学%地球科学%天文学等!农业科学类农学%林学等/医药科学类医学%药学等0人文与社会科学类语言学%历史学%考古学%政治学%经济学%艺术学%社会学%文学%体育科学等1工程与技术科学类材料工程%电子通信%计算机科学技术%航空航天科学技术等!!可以看出"跨学科试题的学科来源广泛"五大学科类别均有涉及"这体现了跨学科试题设计的宽度和广度&其中"与体育%地理相关的跨学科试题较多"反映了人们对体育健康%环境保护的重视"体现了以人为本的发展理念'与历史!主要是数学史#相关的跨学科试题数量较往年有所减少&"!三#呈现方式自然语言%图形语言%符号语言是数学常用的三种语言形式"而数学跨学科试题的呈现方式主要包括文字符号%图形表格%图文并茂三种&!"!!年全国高考数学试卷$0道跨学科试题中"使用文字符号表述的有0道"图文并茂呈现的有$"道"没有单独使用图形表格的试题&图文并茂的试题占主体地位"既体现了试题的趣味性%真实性!(有图为证)#以及文化魅力!如精妙绝伦的中国古代建筑图#"也体现了数学的直观性%抽象性以及语言特征&同时"对学生的能力带来了挑战$既要能准确读取图表的数据信息"又要能快速识别图形的位置关系"还要能实现自然语言%图形语言%符号语言的相互转化&!四#使用目的跨学科内容的使用目的主要包括三类$引入数学问题!跨学科内容是可剥离的情境#%补充解释数学问题!跨学科内容是不可剥离的情境#%用数学知识解决问题!跨学科内容是问题"而不是情境#&不同的使用目的决定了跨学科内容的深度差异&!"!!年全国高考数学试卷$0道跨学科试题中"#道题跨学科内容的使用目的是引入数学问题"属于比较浅层的跨学科试题&!道题跨学科内容的使用目的是补充解释数学问题!提出的数学问题依赖于跨学科情境#"属于比较有深度的跨学科试题&这两道题分别!"宋燕伶"彭刚,北师大版高中数学教材跨学科内容研究,.-,中学数学杂志"!"!!!$#$#$"&王婷"李 ,基于数学文化的高考试题特征分析,.-,数学通报"!"!$!##$1$1/&是甲卷理科第)题%新课程.卷第/题&前者以我国古代科技史上的杰作*梦溪笔谈+收录的计算圆弧长度的(会圆术)为背景"后者以我国古代建筑中的举架结构为背景"两题都从跨学科内容中抽象出数学问题"体现数学的科学价值与我国古代人民的智慧&还有#道题!甲卷理科第$(题"乙卷理科第$(题"乙卷文科第$(题"新课程-卷第0%第!"题"新课程.卷第$(题#属于用数学知识解决的跨学科问题&比如新课程-卷第0题"该题要求南水北调工程中某个水库的水量"属于工程问题"不使用数学方法也是可以解决的"但是使用数学方法!棱台体积公式#非常便捷"充分体现了数学的应用价值&跨学科试题的使用目的多种多样"展现了多姿多彩的社会文化生活!如中华优秀传统文化%国家社会经济发展成就等#"体现了数学的重要价值!如科学价值%应用价值%文化价值%审美价值等#&!五#知识领域课标给出了(三类课程!必修%选择性必修%选修#定位%四条主线!函数%几何与代数%概率与统计%数学建模活动与数学探究活动#贯穿%一条暗线!数学文化#融入)的高中数学课程内容结构!"其中"四条主线就是知识领域&!"!!年全国高考数学试卷$0道跨学科试题中"1道题的知识领域是几何与代数"(道题的知识领域是概率与统计&这说明"几何与代数是数学跨学科试题重要的知识领域'概率与统计是数学跨学科试题!特别是解答题#主要!更重要#的知识领域"这和概率与统计知识主要来源于生活%应用于生活有密切关系&没有出现函数领域的跨学科试题"说明跨学科试题的知识领域还不够均衡&虽然没有出现具备完整环节的数学建模活动与数学探究活动领域的跨学科试题"但是甲卷文科第$(题以学生参加综合实践活动时设计的包装盒为背景"考查几何体中的直线与平面的位置关系以及几何体的体积&这释放了明确的信号$数学建模活动与数学探究活动已进入高考命题人的视野&比如"将包装盒改为由考生设计"先设计后计算"或边设计边计算边优化"就是典型的数学建模活动与数学探究活动&当然"具体命题及评价方式还有待积极探索%稳妥推进&!六#素养目标无论是高中数学课程标准"还是高考评价体系"都以核心素养为导向"因此"素养目标是高考试题的终极指向&高中数学核心素养包括数学抽象%逻辑推理%数学建模%直观想象%数学运算%数据分析等#个方面&考虑到数学抽象%直观想象指向(数学眼光)"逻辑推理%数学运算指向(数学思维)"数学建模%数据分析指向(数学语言)!这三者分别对应数学基本思想的三个要素$抽象%推理%模型"#"因此"!"!!年全国高考数学试卷$0道跨学科试题的素养目标分这三类进行统计&结果表明"指向数学建模%数据分析的数学跨学科试题最多!(道#"均为概率与统计领域的试题&指向数学抽象%直观想象的数学跨学科试题有0道&仍以新课程-卷第0题为例"该题需要考生将水库两个水位之间的部分抽象为棱台!数学抽象#"将两个水位对应的水面想象成棱台的上下底面%水位差想象成棱台的高!直观想象#"再利用棱台体积公式进行计算&指向逻辑推理%数学运算的数学跨学科试题有$道!乙卷理科第0题#&该题以(嫦娥二号)卫星的运行周期为背景"!"刘祖希,*普通高中数学课程标准!!"$%年版#+之新变,.-,中学数学教学参考"!"$)!!1#$$&刘祖希,访史宁中教授$谈数学基本思想%数学核心素养等问题,.-,数学通报"!"$%!1#$$1&提出一个连分数型递推数列问题"需要学生运用演绎推理!取特殊值#%数学运算!连分数的计算与化简%比较大小#%归纳推理解决问题&可见"跨学科试题的素养目标相对清晰"聚焦(三会)数学核心素养"体现了高考试题设计的科学性与导向性&当然需要说明的是"由于高考试题本身具有综合性的特点"其素养目标并非单一的"上述统计仅为了在一定程度上说明问题&三%研究展望在数学课程%教材%考试中设置跨学科内容既是人才培养的需要!如(中国学生发展核心素养)框架的提出!#"也是数学学科特点所决定的$数学是一种工具%语言"是自然科学的重要基础"在社会科学中发挥着越来越重要的作用"数学的应用渗透到现代社会的各个方面"直接为社会创造价值"推动社会生产力的发展&"综合以上文献综述和试题分析"对数学跨学科内容与教学的研究提出以下展望$第一"数学跨学科内容的研究"不能狭义地理解为用数学的知识%方法解决其他学科!或者以其他学科为背景#的问题"还应包括用其他学科的知识%方法解决数学问题"甚至是用多学科的思维解决综合问题&它是一个数学与其他学科双向互动甚至多向转换的研究领域%思维系统&第二"高考数学试卷中的跨学科试题比数学应用题更宽泛"思维层次更丰富'比数学文化题更聚焦"学科特征更突出&它延续了我国高考数学试题创新的传统$自$(%%年恢复高考以来"数学应用题%数学开放题%数学文化题%数学跨学科试题先后进入高考数学试卷"顺应社会需求"响应时代召唤"对考查学生的综合素养%为国家培养和选拔创新型人才起到了重要作用&这种创新的传统不会停歇"将不断推陈出新%与时俱进&第三"加强中小学数学课程%教材中跨学科内容的整体设计"为学生的综合能力与创新素养发展提供一体化的培养机制&令人振奋的是"*义务教育数学课程标准!!"!!年版#+不仅强调数学与其他学科的联系!文本中出现0"余次这样的表述#"更把(跨学科学习)作为义务教育数学课程四个学习领域之一111(综合与实践)的主要学习方式"具体要求是$以跨学科主题学习为主"适当采用主题式学习和项目式学习的方式"设计情境真实%较为复杂的问题"引导学生综合运用数学学科和跨学科的知识与方法解决问题&#期待我国学生的数学核心素养与综合实践能力齐头并进"共生共长&第四"跨学科教育!包括-234教育%-2354教育等#已经成为一种国际发展趋势"成为国家发展战略的必然选择"这给数学教育带来了发展机遇和挑战&对此"应积极做好顶层设计%选择好项目实践%抓好师资培训%开展实施评价"助推我国数学教育改革&$!"#$刘祖希,我国数学核心素养研究进展111从数学素养到数学核心词再到数学核心素养,.-,中小学教材教学"!"$#!%#$/10"&中华人民共和国教育部,普通高中数学课程标准!!"$%年版!"!"年修订#,--,北京$人民教育出版社" !"!"$$&中华人民共和国教育部,义务教育数学课程标准!!"!!年版#,--,北京$北京师范大学出版社"!"!!$$#&胡焱"蒋秋,数学教育与-234!-2354#教育的融合$机遇与挑战111基于数学教育与-234 !-2354#教育国际学术研讨会,.-,数学教育学报"!"$( !##$(!(0&。
2017届高考数学模拟仿真试题（二）文（扫描版）文科数学参考答案1．C 解：z ＝3－i 1－i ＝（3－i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝3＋2i －i 21－i 2＝4＋2i 2＝2＋i ，z －＝2－i.故选C. 2．D 解：由题意可知，集合B ＝{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A}＝{0，1，2}，则B 的子集个数为：23＝8个，故选D.3．B 解：cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝cos （60°＋25°）＋sin 25°cos 30°cos 25°＝cos 60°cos 25°－sin 60°sin 25°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝cos 60°cos 25°cos 25°＝cos 60°＝12，故选B.4．B 解：i ＝2，n ＝13，n ＝1(mod 3)；i ＝4，n ＝17，n ＝2(mod 3)，n ＝2(mod 5)；i＝8，n ＝25，n ＝1(mod 3)；i ＝16，n ＝41，n ＝2(mod 3)，n ＝1(mo d 5)，则输出的i ＝16.5．B 解：A 项中α，β还可能相交，C 项中l ∥β或l β，D 项中还可能l ∥β，B 项中由l ∥α，l ⊥β，知存在m ，m α，m ⊥β，所以α⊥β，选B.6．A 解：因为CE →＝－3DE →，所以CE →＝34CD →＝－34AB →，又OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OE →＝OC→＋CE →＝12(AB →＋AD →)－34AB →＝－14AB →＋12AD →，故选A.7．A 解：将函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a ＞0)，可得y ＝2sin[(x －a)－π3]＝2sin(x －a －π3)的图象，根据所得图象关于y 轴对称，可得a ＋π3＝k π＋π2，即a ＝k π＋π6，k ∈Z ，故选A.8．C 解：由三视图可知该几何体为圆锥，设底面圆半径为r ，则高为h ＝3r ，母线长l ＝2r.因为该几何体的表面积S ＝π，所以π＝πr 2＋πrl ＝3πr 2，所以r ＝33. 所以V ＝13³π³(33)2³1＝π9.9．A 解：抛物线的焦点F(2，0)，准线方程为x ＝－2.设P(m ，n)，则|PM|＝m ＋2＝5，解得m ＝3.代入抛物线方程得n 2＝24，故|n|＝26，则S △PFM ＝12|PM|²|n|＝12³5³26＝5 6.10．D 解：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x， x ＜0x ＋m ， x ≥0，当x ＜0时，函数y ＝e x递增，当x ≥0时，y ＝x ＋m 递增，但当e 0＞m ，即m ＜1时，函数f(x)在R 上不单调，故A 错；当m ＝1时，f(x)＝0无解，故B 错；当x ＜0时，函数f(x)∈(0，1)，当x ≥0时，f(x)≥m ， 则f(x)取不到最大值，故C 错；当m ＝1时，当x ＜0时，函数f(x)∈(0，1)，当x ≥0时，f(x)≥1， f(x)的值域为(0，＋∞)，取不到最小值，故D 对．故选D.11．C 解：x －＝14(5＋6＋7＋8)＝6.5，y －＝14(20＋17＋15＋12)＝16，代入线性相关关系y ＝b x ＋a 中，且b ＝－2.6，即16＝－2.6³6.5＋a ，解得a ＝32.9，所以y ＝－2.6x ＋32.9，则日销售利润z ＝y²(x－3.5)＝(－2.6x ＋32.9)(x －3.5)＝－2.6x 2＋42x －32.9³3.5，所以当x ＝－422³（－2.6）≈8.1时，即销售单价定为8.1(元/千克)时，日销售利润最大．故选C.12．D 解：因为方程f(x)－mx －1＝0恰有两个不同实根，所以函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x（x ≤1）f （x －2） （x ＞1）与直线y ＝mx ＋1的图象有且只有两个不同的交点，作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x（x ≤1）f （x －2） （x ＞1）与直线y ＝mx ＋1的图象如右图，易知直线y ＝mx ＋1恒过点C(0，1)，且点A(1，e)，B(3，e)； 故kl 1＝k AC ＝e －11－0＝e －1，kl 3＝k BC ＝e －13－0＝e －13；f ′(x)＝e x(x ≤1)，f ′(0)＝e 0＝1；故kl 2＝1；故结合函数的图象可知，e －13＜m ＜1或1＜m ≤e －1，故选D.13．2 解：因为63＝m 4≠14－3，所以m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.14．9 解：不等式组表示的平面区域如图所示，z ＝|2x －y|转化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －z （y ≤2x ）2x ＋z （y ＞2x ）， 由图象可知z 在点A 或B 处有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4＝0x ＋y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2，所以A(－2，2)，所以z ＝|2³(－2)－2|＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ＋y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－3，即B(3，－3)， 所以z ＝9，综上z 的最大值为9.15．9π 解：因为PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB ＝1，PB ＝AC ＝2， 所以可以构造长方体，则长方体的外接球和四面体的外接球是相同的， 则长方体的体对角线等于球的直径2R ，则2R ＝12＋22＋22＝3，所以R ＝32，则球O 的表面积为4πR 2＝4π³(32)2＝9π.16．1 解：因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 又1＋tan A tan B ＝tan B ＋tan A tan B ＝sin B cos B ＋sin Acos A sin B cos B ＝sin C sin Bcos A，由正弦定理得sin C sin Bcos A ＝cbcos A，所以1＋tan A tan B ＝c bcos A ，而1＋tan A tan B ＝2c b ，所以cos A ＝12，又A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝b 2＋c 2－2bc ³12≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c时取“＝”．所以a2bc的最小值为1.17．解：(Ⅰ)因为S n ＝32a n －32(n ∈N *)，①当n ＝1时，a 1＝32a 1－32，所以a 1＝3，当n ≥2时，因为S n －1＝32a n －1－32，②①－②得a n ＝32a n －32a n －1，即a n ＝3a n －1(n ≥2)，又因为a 1＝3，a 2＝9，所以a n ＋1a n ＝3对n ∈N *都成立，故{a n }是等比数列，所以a n ＝3n(n ∈N *)．(4分) 于是a 3＝27，设{}b n 的首项为b 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋3d ＝9b 1＋12d ＝27 d ＝2，b 1＝3，于是b n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(6分) (Ⅱ)由题意得，c n ＝(－1)n (2n ＋1)＋3n，T 2n ＝(3＋32＋ (32))＋[－3＋5－7＋9－…－(4n －1)＋(4n ＋1)](8分) ＝3（1－32n）1－3＋{(5－3)＋(9－7)＋…＋[(4n ＋1)－(4n －1)]}(10分)＝32n ＋1－32＋2n.(12分) 18．解：(Ⅰ)女性平均使用微信的时间为：0.16³1＋0.24³3＋0.28³5＋0.2³7＋0.12³9＝4.76(小时)．(4分)(Ⅱ)2(0.04＋a ＋0.14＋2³0.12)＝1，解得a ＝0.08.(6分)K 2＝100（38³20－30³12）50³50³68³32≈2.941＞2.706.(10分)所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关．(12分) 19．解：(Ⅰ)证明：取BC 的中点E ，连接AE ，C 1E ，B 1E ，因为B 1C 1∥BC ，B 1C 1＝12BC ，所以B 1C 1∥EC ，B 1C 1＝EC ，所以四边形CEB 1C 1为平行四边形，所以B 1E ∥C 1C.因为C 1C 平面A 1C 1C ，B 1E 平面A 1C 1C ， 所以B 1E ∥平面A 1C 1C.因为B 1C 1∥BC ，B 1C 1＝12BC ，所以B 1C 1∥BE ，B 1C 1＝BE.所以四边形BB 1C 1E 为平行四边形， 所以B 1B ∥C 1E ，且B 1B ＝C 1E.又因为ABB 1A 1是正方形，所以A 1A ∥C 1E ，且A 1A ＝C 1E. 所以四边形AEC 1A 1为平行四边形，所以AE ∥A 1C 1，因为A 1C 1 平面A 1C 1C ，AE 平面A 1C 1C ，所以AE ∥平面A 1C 1C. 因为AE ∩B 1E ＝E ，所以平面B 1AE ∥平面A 1C 1C. 因为AB 1 平面B 1AE ，所以AB 1∥平面A 1C 1C.(6分)(Ⅱ)在正方形A BB 1A 1中，A 1B ＝2，又△A 1BC 是等边三角形，所以A 1C ＝BC ＝2，所以AC 2＋AA 21＝A 1C 2，AB 2＋AC 2＝BC 2，于是AA 1⊥AC ，AC ⊥AB ，又AA 1⊥AB ，所以AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥CE ， 又CE ⊥AE ，AE ∩AA 1＝A ，所以CE ⊥平面AEC 1A 1，(8分)于是多面体ABC －A 1B 1C 1是由直三棱柱ABE －A 1B 1C 1和四棱锥C －AEC 1A 1组成的． 又直三棱柱ABE －A 1B 1C 1的体积为12³(12³1³1)³1＝14，(9分)四棱锥C －AEC 1A 1的体积为13³22³1³22＝16，(11分)故多面体ABC －A 1B 1C 1的体积为14＋16＝512.(12分)20．解：(Ⅰ)设点P 的坐标为(x ，y)，由题意知k AP ²k BP ＝yx ＋3²y x －3＝－23(x ≠±3)，化简得P 的轨迹方程为x 23＋y22＝1(x ≠±3)．(4分)(Ⅱ)证明：由题意M ，N 是椭圆C 上非左右顶点的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则直线AP ，BP 斜率必存在且不为0.又由已知k AP ²k BP ＝－23.因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM ²k ON ＝－23.(5分)设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程x 23＋y22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0， ①(6分)设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程①的两根， 则y 1＋y 2＝－4mt 3＋2m ，y 1y 2＝2t 2－63＋2m.(7分)又k OM ²k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt （y 1＋y 2）＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2，(9分)所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，得2t 2＝2m 2＋3.(10分)又S △MON ＝12|t||y 1－y 2|＝12|t|－24t 2＋48m 2＋723＋2m2， 所以S △MON ＝26|t|t 24t 2＝62，即△MON 的面积为定值62.(12分) 21．解：(Ⅰ)f′(x)＝xe x ＋2ax ＝x(e x＋2a)．(1分)①当a>0时，函数f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．因为f(0)＝－1<0，f(2)＝e 2＋4a>0，取实数b 满足b<－2且b<ln a ，则f(b)>a(b －1)＋ab 2＝a(b 2＋b －1)>a(4－2－1)>0， 所以f(x)有两个零点．(3分)②当a ＝0时，f(x)＝(x －1)e x，故f(x)只有一个零点x ＝1，不合题意．(4分) ③当－12≤a ＜0时，f(x)在(0，＋∞)单调递增，又当x ≤0时，f(x)<0，故f(x)不存在两个零点．(5分)④当a ＜－12时，函数f(x)在(ln(－2a)，＋∞)单调递增；在(0，ln(－2a))单调递减．又当x ≤1时，f(x)<0，故不存在两个零点．(6分) 综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．(7分) (Ⅱ)证明：不妨设x 1<x 2.由(Ⅰ)知x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0，＋∞)，－x 2∈(－∞，0)， 则x 1＋x 2<0等价于x 1<－x 2.因为函数f(x)在(－∞，0)单调递减，所以x 1<－x 2等价于f(x 1)>f(－x 2)，即证明f(－x 2)<0.(8分)由f(x 2)＝(x 2－1)ex 2＋ax 22＝0，得ax 22＝(1－x 2)ex 2，f(－x 2)＝(－x 2－1)e －x 2＋ax 22＝(－x 2－1)e －x 2＋(1－x 2)ex 2，(9分)令g(x)＝(－x －1)e －x ＋(1－x)e x，x ∈(0，＋∞)．(10分)g ′(x)＝－x(e －x ＋e x)<0，g(x)在(0，＋∞)单调递减，又g(0)＝0，所以g(x)<0， 所以f(－x 2)<0，即原命题成立．(12分)22．解：(Ⅰ)C 1：ρ(cos θ＋sin θ)＝4，C 2的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以ρ＝2cos θ.(4分)(Ⅱ)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，－π4＜α＜π2，则ρ1＝4cos α＋sin α，ρ2＝2cos α，(6分)|OB||OA|＝ρ2ρ1＝14³2cos α(cos α＋sin α)＝14(cos 2α＋sin 2α＋1)＝14[2cos(2α－π4)＋1]，(8分) 当α＝π8时，|OB||OA|取得最大值14(2＋1)．(10分)23．解：(Ⅰ)f(x)＝2|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4 （x ＜1）x （1≤x ≤2）3x －4 （x ＞2）.所以，f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， 又f(0)＝f(83)＝4，故f(x)≤4的解集为{x|0≤x ≤83}．(4分)(Ⅱ)解法1：①若a ＞1，f(x)＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a|≥a －1，当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a ≥2.(6分) ②若a ＝1，f(x)＝2|x －1|，f(1)＝0＜1，不合题意．(7分)③若0＜a ＜1，f(x)＝a|x －1|＋a|x －a|＋(1－a)|x －a|≥a(1－a)，11 当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a ＜1矛盾．(9分) 综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)．(10分)解法2：f(x)≥1f(1)＝|1－a|≥1且a ＞0，解得a≥2.(6分)当a≥2时，f(x)＝a|x －1|＋|x －a|＝⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）x ＋2a （x ＜1），（a －1）x （1≤x≤a），（a ＋1）x －2a （x ＞a ）所以，f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，则f(x)≥f(1)．(8分) f(x)≥1l(10分)。
2013年高考真题——文科数学（辽宁卷）解析版含答案2013高考数学辽宁卷解析大连市红旗高级中学 王金泽一．选择题 1.【答案】B【解析】 由已知{|22}B x x =-<<，所以{0,1}A B ⋂=，选B 。
2. 【答案】B【解析】由已知111,(1)(1)22i Z i i i -+==-----+所以||2Z =3【答案】A【解析】(3,4)AB =-u u u r ，所以||5AB =u u u r ，这样同方向的单位向量是134(,)555AB =-u u u r4【答案】D【解析】设1(1)n a a n d dn m =+-=+，所以1P 正确；如果312n a n =-则满足已知，但2312n na n n =-并非递增所以2P 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但11n a n n=+，是递减数列，所以3P 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4P 正确5【答案】B【解析】第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m ，则150.3m=，50m =。
6【答案】A【解析】边换角后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6B π=。
7【答案】D【解析】()3)1f x x -=++所以()()2f x f x +-=，因为lg 2，1lg 2为相反数，所以所求值为2.8【答案】A【解析】211s s i =+-的意义在于是对211i -求和。
因为21111()2111i i i =--+-，同时注意2i i =+，所以所求和为1111111[()()()]2133579-+-++-L =49【易错点拨】i 的值容易错想成i=2,3,4,5,6,7,8。
9【答案】C【命题意图】本题考察斜率的定义、两条直线相互垂直的条件的利用，意在考察考生恰当利用分类讨论思想的解题能力。
2024江苏高考数学试卷及解析2024年江苏高考数学试卷及解析一、确定文章类型本文是一篇说明文，旨在为读者解析2024年江苏高考数学试卷的题型、难度及考察重点。
文章将通过总分总的逻辑结构，对试卷进行全面阐述，以便为广大考生提供备考参考。
二、提取关键词1.2024年江苏高考数学试卷2.题型及难度3.考察重点4.备考策略三、展开情节首先，我们来了解一下2024年江苏高考数学试卷的基本情况。
据悉，2024年江苏高考数学试卷将沿用全国卷，由教育部考试中心统一命题，全面考察学生的数学素养和解决问题的能力。
试卷总分为150分，考试时间为120分钟。
接下来，我们详细分析一下试卷的题型及难度。
据考纲分析，2024年江苏高考数学试卷将分为选择题、填空题和解答题三个部分。
选择题注重基础知识的理解和应用，难度适中；填空题则更加注重思维能力和计算能力，难度稍高；解答题则是考察学生综合运用数学知识解决问题的能力，难度较大。
总体而言，试卷难度适中，侧重于基础知识的理解和应用。
接下来，我们进一步深入探讨试卷的考察重点。
根据往年经验，高考数学试卷主要考察学生的数学素养、基础知识的掌握程度、思维能力和解决问题的能力。
具体而言，试卷将涉及到数与代数、空间几何、概率统计等多个知识点，着重考察学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
最后，我们来探讨一下应对2024年江苏高考数学试卷的备考策略。
首先，考生需要夯实基础，熟练掌握各个知识点，做到举一反三、触类旁通。
其次，考生需要注重思维能力的训练，通过多种题型的练习来提高自己的思维能力和解决问题的能力。
同时，考生还需要注重实践操作，通过解决实际问题来提高自己的数学应用能力。
最后，考生应该在平时的复习中注重时间管理，提高做题速度和效率，以便在考试中取得优异的成绩。
四、引用权威资料为了使文章更加权威可信，我们引用了教育部考试中心发布的《2024年江苏高考数学考试大纲》，详细阐述了高考数学试卷的题型、难度及考察重点。
