圆与圆的位置关系基础过关练题组一圆与圆的位置关系1.(2021福建武平一中高二上第一次过关考试)圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是()A.内切B.外离C.内含D.相交2.已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是 ()A.5B.7C.9D.113.(2021江西上高二中高二上月考)圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条4.已知圆C1:x2+y2-m=0(m>0),圆C2:x2+y2+6x-8y-11=0,若圆C1与圆C2有公共点,则实数m的取值范围是()A.m<1B.m>121C.1≤m≤121D.1<m<1215.已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0.(1)求证:两圆相交;(2)求两圆公共弦所在直线的方程.6.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.(1)m取何值时,两圆外切?(2)m取何值时,两圆内切?题组二圆与圆的位置关系的综合运用7.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=08.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是()A.(0,√2-1)B.(0,1]C.(0,2-√2]D.(0,2]9.已知圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,a,b为正实数,则ab的最大值为()A.2√3B.94C.32D.√6210.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|等于()A.4B.4√2C.8D.8√211.(2021江苏南京金陵中学高二上月考)两圆相交于A(1,3),B(m,-1)两点,若两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为.12.已知圆O:x2+y2=1,点P(3,4),以OP为直径的圆C与圆O交于A、B两点.(1)PA与OA、PB与OB具有怎样的位置关系?(2)由(1)还可以得到什么结论?你能否将这一结论推广?能力提升练题组一圆与圆的位置关系1.(2021江西南昌二中高二上月考,)若圆C:x2+y2=5-m与圆E:(x-3)2+(y-4)2=16有三条公切线,则m的值为()A.2B.√3C.4D.62.()若圆(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是()A.(-√22,0)∪(0,√22)B.(-2√2,−√2)∪(√2,2√2)C.(-3√22,-√22)∪(√22,3√22)D.(-∞,-3√22)∪(√2,+∞)3.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)已知圆C1:x2+(y-a2)2=a4的圆心到直线x-y-2=0的距离为2√2,则圆C1与圆C2:x2+y2-2x-4y+4=0的位置关系是()A.相交B.内切C.外切D.外离4.(多选)()设r>0,圆(x-1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不可能是()A.内切B.相交C.外离D.外切5.(多选)()若圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+8y+m=0相切,则m的值为 ()A.16B.7C.-4D.-7题组二圆与圆的位置关系的综合运用6.(2021吉林长春外国语学校高二上月考,)已知圆C1:(x-a)2+y2=1和C2:x2+y2-2by+b2-4=0恰好有三条公切线,则√(a-3)2+(a-4)2的最小值为()A.2B.1+√2C.2−√2D.47.()已知M,N分别是圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0,C2:x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直线x+y+1=0上的一个动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.√2B.√3C.2D.38.(多选)()已知两圆方程为x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0),则下列说法正确的是()A.若两圆外切,则r=1B.若两圆公共弦所在的直线方程为8x-6y-37=0,则r=2C.若两圆在交点处的切线互相垂直,则r=3D.若两圆有三条公切线,则r=29.(多选)()已知圆M:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆N:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的圆心不重合,直线l:(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.下列说法正确的是()A.若两圆相交,则l是两圆的公共弦所在直线B.直线l过线段MN的中点C.过直线l上一点P(在两圆外)作两圆的切线,切点分别为A,B,则|PA|=|PB|D.直线l与直线MN相互垂直10.(2020浙江温州高二上期末,)已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)外切,则r的值为,若点A(x0,y0)在圆C1上,则a02+a02-4x0的最大值为.11.(2021重庆八中高二上月考,)已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l 上.(1)求圆C1的方程;(2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M、N两点,求两圆的公共弦长.12.(2021安徽阜阳太和一中高二上月考,)已知两个定点A(0,4),B(0,1),动点P满足|PA|=2|PB|,设动点P 的轨迹为曲线E,直线l:y=kx-4.(1)求曲线E的方程;(2)若l与曲线E交于不同的C、D两点,且∠COD=120°(O为坐标原点),求直线l的斜率;(3)若k=1,Q是直线l上的动点,过Q作曲线E的两条切线QM、QN,切点为M、N,探究:直线MN是否过定点,若存在定点,请写出坐标;若不存在,请说明理由.答案全解全析 基础过关练1.A 设圆O 1的半径为r 1,圆O 2的半径为r2. 由题意得,O 1(2,3),r 1=1,O 2(4,3),r 2=3,∴|O 1O 2|=√(4-2)2+(3-3)2=2=r 2-r 1,因此两圆内切,故选A .2.C 由题意知圆C 1的半径r 1=2;圆C 2的半径r 2=2,所以两圆的圆心距d =√[1-(-3)]2+[(-2)-1]2=5>r 1+r 2=4,所以两圆外离,从而|MN |的最大值为5+2+2=9.故选C .3.B 设圆C 1的半径为r 1,圆C 2的半径为r 2,依题意得C 1(-1,1),r 1=2;C 2(3,4),r 2=5, ∴|C 1C 2|=√42+32=5. ∵|r 2-r 1|=3<|C 1C 2|<r 1+r 2=7,∴两圆C 1、C 2相交,从而两圆有2条公切线.故选B .4.C 圆C 1的方程可化为x 2+y 2=m (m >0),则圆心为C 1(0,0),半径r 1=√a ; 圆C 2的方程可化为(x +3)2+(y -4)2=36,则圆心为C 2(-3,4),半径r 2=6. ∵圆C 1与圆C 2有公共点, ∴|r 1-r 2|≤|C 1C 2|≤r 1+r 2,即|√a -6|≤√(-3-0)2+(4-0)2≤√a +6,∴{|√a -6|≤5,√a +6≥5,解得1≤m ≤121. 5.解析 (1)证明:圆C 1的方程可化为(x -2)2+(y +1)2=5,圆C 2的方程可化为x 2+(y -1)2=5, ∴C 1(2,-1),C 2(0,1),两圆的半径均为√5,∵|C 1C 2|=√(0-2)2+(1+1)2=2√2∈(0,2√5),∴两圆相交.(2)将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程, (x 2+y 2-4x +2y )-(x 2+y 2-2y -4)=0,即x -y -1=0.6.解析 两圆的标准方程分别为(x -1)2+(y -3)2=11,(x -5)2+(y -6)2=61-m , 则圆心分别为(1,3),(5,6), 半径分别为√11和√61-a .(1)当两圆外切时,√(5-1)2+(6-3)2=√11+√61-a ,解得a =25+10√11. (2)当两圆内切时,√(5-1)2+(6-3)2=|√61-a −√11|,所以a =25−10√11.7.C 易得线段AB 的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心(2,-3)代入各选项,可得C 正确.8.C 由M ∩N =N 知N ⊆M ,所以圆x 2+y 2=4与圆(x -1)2+(y -1)2=r 2(r >0)内切或内含,且4>r 2.所以2-r ≥√2,又r >0,所以0<r ≤2-√2.9.B 由题意得,圆C 1:(x +a )2+(y -2)2=1的圆心为C 1(-a ,2),半径r 1=1. 圆C 2:(x -b )2+(y -2)2=4的圆心为C 2(b ,2),半径r 2=2. ∵圆C 1:(x +a )2+(y -2)2=1与圆C 2:(x -b )2+(y -2)2=4相外切, ∴|C 1C 2|=r 1+r 2,即a +b =3,由基本不等式,得ab ≤(a +a 2)2=94,当且仅当a =b 时取等号.故选B.10.C ∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1), ∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等. 设两圆的圆心坐标分别为(a ,a ),(b ,b ), 则有(4-a )2+(1-a )2=a 2,(4-b )2+(1-b )2=b 2,即a ,b 为方程(4-x )2+(1-x )2=x 2的两个实数根,整理得x 2-10x +17=0, ∴a +b =10,ab =17.∴(a -b )2=(a +b )2-4ab =100-4×17=32,∴|C 1C 2|=√(a -a )2+(a -a )2=√32×2=8.11.答案 3解析 由题意可知直线x -y +c =0是线段AB 的垂直平分线,因为直线x -y +c =0的斜率为1,所以k AB =3-(-1)1-a=-1,解得m =5.由中点坐标公式得线段AB 的中点坐标为(3,1),将其代入直线方程得,3-1+c =0, 解得c =-2. 故m +c =5-2=3.12.解析 (1)如图,点A 在圆C 上,OP 为圆C 的直径,所以OA ⊥PA ,同理可得OB ⊥PB.(2)由(1)还可以得到:PA 是圆O 的切线,PB 也是圆O 的切线.这一结论可以推广为:圆O 外一点P ,以OP 为直径的圆与圆O 交于A 、B 两点,则PA 、PB 是圆O 的切线.能力提升练1.C圆C的圆心为(0,0),半径为√5-a,圆a的圆心为(3,4),半径为4,由题意可知两圆外切,则√32+42=√5-a+4,解得m=4.2.C根据题意知,圆(x-a)2+(y-a)2=4与圆x2+y2=1相交,两圆圆心的距离d=√a2+a2=√2|a|,所以2−1<√2|a|<2+1,即√22<|a|<3√22,所以−3√22<a<−√22或√22<a<3√22.故选C.3.B已知圆C1的圆心到直线x-y-2=0的距离d=2√2,2√12+(-1)2=2√2,解得a2=2,∴圆C1:x2+(y-2)2=4的圆心C1的坐标为(0,2),半径r1=2,将圆C2:x2+y2-2x-4y+4=0化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=1,其圆心C2的坐标为(1,2),半径r2=1,∵圆心距|C1C2|=√(0-1)2+(2-2)2=1=r1-r2,∴两圆内切,故选B.4.CD两圆的圆心距d=√(1-0)2+(-3-0)2=√10,两圆的半径之和为r+4,因为√10<r+4,所以两圆不可能外切或外离,故选CD.5.AC圆C1的圆心为(1,0),半径为1;圆C2:x2+y2-8x+8y+m=0转化为标准方程得(x-4)2+(y+4)2=32-m,其圆心为(4,-4),半径为√32-a,所以两圆的圆心距为√(4-1)2+(-4-0)2=5.两个圆内切时,两圆的圆心距等于半径之差的绝对值,即5=|√32-a-1|,解得m=-4;当两个圆外切时,两圆的圆心距等于半径之和,可得5=√32-a+1,解得m=16.综上,m的值为-4或16.故选AC.6.A圆C1的圆心为C1(a,0),半径r1=1.圆C2的圆心为C2(0,b),半径r2=2.由圆C1与圆C2有3条公切线知,两圆外切,∴|C1C2|=√a2+a2=r1+r2=3.因此a2+b2=9,设P(a,b)在圆x2+y2=9上,A(3,4),则|PA|=√(a-3)2+(a-4)2,∵|OA |=√32+42=5, ∴|PA |min =|OA |-3=2.故选A .7.D C 1的方程可化为(x -2)2+(y -2)2=1,C 2的方程可化为(x -1)2+y 2=1.设圆C 2关于直线x +y +1=0对称的圆为C'2,其圆心C'2(a ,b ).依题意得{a +12+a 2+1=0,a -0a -1=1⇒{a =-1,a =-2,因此,圆C'2:(x +1)2+(y +2)2=1. 如图所示.∵|C 1C'2|=√(-1-2)2+(-2-2)2=5,∴(|PM |+|PN |)min =|C 1C'2|-2=3, 故选D .8.ABC A 中,若两圆外切,则圆心距等于半径和,因为圆心距为√(4-0)2+(-3-0)2=5,圆x 2+y 2=16的半径为4,所以r =5-4=1,故A 正确;B 中,两圆方程相减,得相交弦所在的直线方程为8x -6y +r 2-41=0,所以r 2-41=-37,解得r =2,故B 正确; C 中,圆x 2+y 2=16的圆心为原点O ,半径为4,圆(x -4)2+(y +3)2=r 2(r >0)的圆心是(4,-3),设为A ,设其中一个交点是B ,因为过B 点的切线互相垂直,所以过B 点的两条半径也垂直,即OB 垂直AB ,所以三角形OAB 是直角三角形,且∠OBA =90°,因为|AO |2=(4-0)2+(-3-0)2=25,|OB |=4, 所以r 2=|AO |2-|OB |2=9,即r =3,故C 正确; D 中,由B 知,D 选项错误. 故选ABC .9.ACD 对于A,设两圆的公共点为C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则满足{a 12+a 12+a 1a 1+a 1a 1+a 1=0,a 12+a 12+a 2a 1+a 2a 1+a 2=0, 两式相减得(D 1-D 2)x 1+(E 1-E 2)y 1+F 1-F 2=0,同理(D 1-D 2)x 2+(E 1-E 2)y 2+F 1-F 2=0,∴C ,D 两点的坐标满足方程(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +F 1-F 2=0,故两圆的公共弦所在直线为直线l :(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +F 1-F 2=0,故A 正确;对于B,如图,取弦CD 的中点E ,设|CD |=2a ,圆M 的半径为r 1,圆N 的半径为r 2,r 1≠r 2,则|ME |=√a 12-a 2≠|NE |=√a 22-a 2,∴直线l 不一定过线段MN 的中点,故B 错误; 对于C,如图,|PA |=√|aa |2-a 22=√|aa |2+|aa |2-a 22=√|aa |2+a 22-a 2-a 22=√|aa |2-a 2, |PB |=√|aa |2-a 12=√|aa |2+|aa |2-a 12=√|aa |2+a 12-a 2-a 12=√|aa |2-a 2, ∴|PA |=|PB |,故C 正确;对于D,在△NCD 中,|NC |=|ND |,则NE ⊥CD ,同理,ME ⊥CD ,∴直线l 与直线MN 相互垂直,故D 正确.故选ACD . 10.答案 4;5解析 由于两圆外切,所以√(4-0)2+(3-0)2=|r +1|,所以r =4. 点A (x 0,y 0)在圆C 1上,所以a 02+a 02=1,所以a 02=1-a 02,所以a 02+a 02-4x 0=1-4x 0,因为-1≤x 0≤1,所以当x 0=-1时,a 02+a 02-4x 0取最大值,为5.11.解析 (1)经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l 的方程为a -1-3-1=a -2-2-2,即y =x -1, 因为圆C 1与y 轴相切于点(0,3),所以圆心在直线y =3上, 联立{a =3,a =a -1,所以圆心坐标为(4,3),故圆C 1的半径为4,则圆C 1的方程为(x -4)2+(y -3)2=16.(2)圆C 1的方程为(x -4)2+(y -3)2=16,即x 2+y 2-8x -6y +9=0, 圆C 2:x 2+y 2-6x -3y +5=0,两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2x +3y -4=0, 圆C 1的圆心到直线2x +3y -4=0的距离d =√22=√13,所以两圆的公共弦长为2√16-13=2√3.12.解析 (1)设点P 的坐标为(x ,y ),由|PA |=2|PB |可得,√a 2+(a -4)2=2√a 2+(a -1)2,整理可得x 2+y 2=4,所以曲线E 的方程为x 2+y 2=4.(2)依题意,得|OC |=|OD |=2,且∠COD =120°,则点O 到CD 边的距离为1, 即点O (0,0)到直线l :kx -y -4=0的距离d =√=1,解得a =±√15,所以直线l 的斜率为±√15. (3)存在定点,理由如下:依题意,得ON ⊥QN ,OM ⊥QM ,则M ,N 都在以OQ 为直径的圆F 上,Q 是直线l :y =x -4上的动点,设Q (t ,t -4), 则圆F 的圆心为(a 2,a -42),且经过坐标原点,即圆F 的方程为x 2+y 2-tx -(t -4)y =0,因为M ,N 在曲线E :x 2+y 2=4上,所以联立{a 2+a 2=4,a 2+a 2-aa -(a -4)a =0,可得tx +(t -4)y -4=0,即直线MN 的方程为tx +(t -4)y -4=0.由t ∈R 且t (x +y )-4y -4=0,可得{a +a =0,4a +4=0,解得{a =1,a =-1,所以直线MN 过定点,定点为(1,-1).。
第二章 导线张力(应力)弧垂计算第一节 导线和地线的机械物理特性与单位荷载一、导线的机械物理特性导线的机械物理特性，一般指破坏张力、弹性系数、热膨胀系数。
(一) 导线的破坏张力对导线作拉伸试验，将测得瞬时拉断力。
利用多次测量结果，可以建立一组经验公式来计算导线的瞬时拉断力。
考虑到施工和运行中导线接头、修补等因素，设计用导线破坏张力取其实测或计算瞬时拉断力T p 的95%，即 T ps =0.95T p （2-1-1） 式中 T p —导线的瞬时拉断力，N ；T ps —导线的破坏张力，N 。
（二）导线的弹性系数物体的弹性系数也称为弹性模量。
导线的弹性系数是指在弹性限度内，导线受拉力作用时，其应力与相对变形的比例系数，通过试验得出的应力-应变曲线确定，可表示为Tl T E A l A σεε===∆ （2-1-2） 式中 T —导线拉力，N ；l 、Δl —导线的原长和伸长，m ；σ—导线的应力，即单位截面的张力，σ=T/A ，N/mm ²； ε—导线的相对变形，ε=Δl/l ； A —导线的截面积，mm ²； E —导线的弹性系数，N/mm ²。
钢芯铝绞线的弹性系数按下式近似计算1s Al E mE E m+=+ （2-1-3） 式中 E Al 、E s 、E —分别为铝、钢和综合弹性系数，N/mm ²，E s =190000 N/mm ², E Al =55000 N/mm ²；m =A Al /A s —铝对钢的截面比m =A Al /A s 。
（三）导线的热膨胀系数导线温度升高1℃所引起的相对变形，称为导线的热膨胀系数，可表示为 /t αε=∆ （2-1-4）式中 ε—温度变化引起的导线相对变形，ε=Δl/l ；Δt —温度变化量，℃；α—导线的热膨胀系数，1/℃。
钢芯铝绞线的热膨胀系数的计算式为s sAl Al s Al E m E E mE ααα+=+ （2-1-5） 式中 αAl 、αs 、α—分别为铝、钢和综合热膨胀系数，1/℃。
