初二数学培优题（一）
1．如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE，（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AE∥BC，且∠E=∠CAD，求∠C的度数．
【分析】（1）由∠1=∠2=∠3，可得∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，即∠BAC=∠DAE，又∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE，已知AC=AE，即可证得：△ABC≌△ADE；
（2）由题意可得，∠ADB=∠ABD=4x，在△ABD中，可得x+4x+4x=180°，解答处即可；
【解答】解：（1）∵∠1=∠2=∠3，
∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）即∠BAC=∠DAE，
又∵∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）∵AE∥BC，
∴∠E=∠3，∠DAE=∠ADB，∠2=∠C，
又∵∠3=∠2=∠1，令∠E=x，
则有：∠DAE=3x+x=4x=∠ADB，
又∵由（1）得AD=AB，∠E=∠C，
∴∠ABD=4x，
∴在△ABD中有：x+4x+4x=180°，
∴x=20°，
∴∠E=∠C=20°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
2．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC．
（1）证明：BC=DE；
（2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质证明即可；
（2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案；
【解答】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
∴∠BAC=∠EAD．
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC ≌△ADE （SAS ）．
∴BC=DE
（2）∵△ABC ≌△ADE ，
∴S △ABC =S △ADE ，
∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =S △ADE +S △ACD =S △ACE =×122=72．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形ABCD 的面积是解此题的关键，难度适中．
3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AB=8，BC=6，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以每秒2个单位的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上以每秒a 个单位的速度由点C 向点A 运动，设运动时间为t （秒）（0≤t ≤3）．
（1）用含t 的代数式表示线段PC 的长；
（2）若点P 、Q 的运动速度相等，t=1时，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由．
（3）若点P 、Q 的运动速度不相等，△BPD 与△CQP 全等时，求a 的值．
【分析】（1）用BC 的长度减去BP 的长度即可；
（2）求出PB ，CQ 的长即可判断；
（3）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）PC=BC ﹣BP=6﹣2t ；
（2）∵t=1时，PB=2，CQ=2，
∴PC=BC﹣PB=6﹣2=4，
∵BD=AD=4，
∴PC=BD，
∵∠C=∠B，CQ=BP，
∴△QCP≌△PBD．
（3）∵点P、Q的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C，
∴BP=PC，BD=CQ，
∴2t=6﹣2t，at=4，
解得：t=，a=．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
4．如图1所示，AB=AD，AC=AE，
∠1=∠2．
（1）求证：BC=DE．
（2）如图2，若M、N分别为BC、
DE的中点，试确定AM与AN的关
系，并说明理由．
【分析】（1）根据题意证明∠BAC=∠DAE，利用SAS判断△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质证明；
（2）根据全等三角形的性质得到BM=DN，证明△ABM≌△ADN即可．
【解答】（1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC．即∠BAC=∠DAE．
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE．
∴BC=DE．
（2）AM=AN；理由如下：
由（1）△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D，
∵BC=DE，M、N分别为BC、DE的中点，
∴BM=DN，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN，
∴AM=AN．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
5．如图，△ABC中，D为AB的中点，AD=5厘米，∠B=∠C，BC=8厘米．
（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动，
①若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；
②点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ；
（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q 第一次在△ABC的哪条边上追上点P？
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，再加上BP=CQ=3，PC=BD=5，则可判断△BPD与△CQP全等；
②设点Q的运动速度为xcm/s，则BP=3t，CQ=xt，CP=8﹣3t，当△BPD≌△CQP，则BP=CQ，CP=BD；然后分别建立关于t和v的方程，再解方程即可；
（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x=2×10，解方程得到点P运动的路程为3×10=30，得到此时点P在BC边上，于是得到结果．
【解答】解：（1）①∵BP=3×1=3，CQ=3×1=3，
∴BP=CQ，
∵D为AB的中点，
∴BD=AD=5，
