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(完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)

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完美WORD格式 专业 知识分享 一元二次方程专题复习

考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

A 12132xx B 02112xx C 02cbxax D 1222xxx

变式：当k 时，关于x的方程3222xxkx

是一元二次方程。

例2、方程0132mxxmm是关于x的一元二次方程，则m的值为 。 针对练习： ★1、方程782x

的一次项系数是 ，常数项是 。

★2、若方程021m

xm是关于x的一元一次方程，

⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。

★★3、若方程112•xmxm

是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。

★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：

例1、已知322yy的值为2，则1242yy

的值为 。

例2、关于x的一元二次方程04222axxa

的一个根为0，则a的值为 。

例3、已知关于x的一元二次方程002acbxax

的系数满足bca，则此方程必有一根为 。

例4、已知ba,是方程042mxx

的两个根，cb,是方程0582myy的两个根，

则m的值为 。 针对练习：

★1、已知方程0102kxx

的一根是2，则k为 ，另一根是 。

★2、已知关于x的方程022kxx的一个解与方程311xx的解相同。 ⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

★3、已知m是方程012xx的一个根，则代数式mm2 。 ★★4、已知a是0132xx的根，则aa622 。 ★★5、方程02acxcbxba

的一个根为（ ）

A 1 B 1 C cb D a ★★★6、若•yx则

yx324,0352

。

考点三、解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次

类型一、直接开方法：mxmmx,02 ※※对于max2，22

nbxmax等形式均适用直接开方法 完美WORD格式 专业 知识分享 典型例题：

例1、解方程：;08212x

216252x=0; ;09132x

例2、若22

21619xx，则x的值为 。

针对练习：下列方程无解的是（ ） A.12322xx B.022x C.xx132 D.092x

类型二、因式分解法:0

21xxxx21,xxxx或

※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， ※方程形式：如22

nbxmax，cxaxbxax ，0222aaxx

典型例题： 例1、3532xxx的根为（ ）

A 25x B 3x C 3,2521xx D 5

2x

例2、若044342

yxyx，则4x+y的值为 。

变式1：2222222,06b则ababa

。

变式2：若032yxyx，则x+y的值为 。 变式3：若142yxyx

，282xxyy，则x+y的值为 。

例3、方程062xx

的解为（ ）

A.2321，xx B.2321，xx C.3321，xx D.2221，xx

例4、解方程： 04321322xx

例5、已知023222yxyx,则yxyx的值为 。

变式：已知023222yxyx,且0,0yx,则yxyx的值为 。 针对练习： ★1、下列说法中：

①方程02qpxx的二根为1x，2x，则))((212xxxxqpxx ② )4)(2(862xxxx. ③)3)(2(6522aababa ④ ))()((22yxyxyxyx ⑤方程07)13(2x可变形为0)713)(713(xx 正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ★2、以71与71为根的一元二次方程是（） A．0622xx B．0622xx

C．0622yy D．0622yy

★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：

★★4、若实数x、y满足023yxyx，则x+y的值为（ ） A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2

5、方程：21

22xx

的解是 。

★★★6、已知06622yxyx，且0x，0y，求yxyx362的值。 ★★★7、方程012000199819992

xx的较大根为r，方程01200820072xx的较小根为s，则s-r

的值为 。 完美WORD格式 专业 知识分享 类型三、配方法002acbxax

2

22

442aacbabx



※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题：

例1、 试用配方法说明322xx

的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式74222yxyx

的最小值。

例3、 已知，x、yyxyx01364

22

为实数，求yx的值。

例4、 分解因式：31242xx

针对练习： ★★1、试用配方法说明47102xx

的值恒小于0。

★★2、已知041122xxxx，则xx1 .

★★★3、若912322xxt

，则t的最大值为 ，最小值为 。

★★★4、如果4122411bacba,那么cba32的值为 。 类型四、公式法 ⑴条件：04,02acba且

⑵公式： aacbbx242,04,02acba且 典型例题： 例1、选择适当方法解下列方程：

⑴.6132x ⑵.863xx ⑶0142xx ⑷01432xx ⑸5211313xxxx

例2、在实数范围内分解因式： （1）3222xx

； （2）1842xx. ⑶22542yxyx

说明：①对于二次三项式cbxax2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解， 一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax2=0，求出两根，再写成 cbxax2=))((

21xxxxa

.

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去. 类型五、 “降次思想”的应用 ⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。 典型例题：

例1、 已知0232xx，求代数式11123xxx的值。

例2、如果012xx，那么代数式7223xx

的值。

例3、已知a是一元二次方程0132xx的一根，求1152223aaaa的值。

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一元二次方程的概念(知识点考点)九年级数学上册知识点考点(解析版)

一元二次方程的概念(知识点考点)九年级数学上册知识点考点(解析版)

一元二次方程的概念（知识点考点一站到底）知识点☀笔记1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程概念三要素： (1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。

3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。

一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

考点☀梳理考点1：一元二次方程的概念必备知识点：只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

解题指导：① 要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

② 将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 题型1 判断一元二次方程例1．（2022·江苏泰州·八年级期末）下列方程中是一元二次方程的是（ ） A ．()2224x x -+= B ．2220x x ++=C ．2130x x+-= D ．21xy +=【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程解决此题．【详解】解：A ．由（x -2）2+4=x 2，得-4x +8=0，那么（x -2）2+4=x 2不是一元二次方程，故不符合题意． B ．根据一元二次方程的定义，x 2+2x +2=0是一元二次方程，故符合题意．C ．根据一元二次方程的定义，x 2+1x-3=0不是一元二次方程，而是分式方程，故不符合题意．D ．根据一元二次方程，xy +2=1不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键． 例2．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．x -2=x 2C ．x 2-2=x （x -2）D ．11x x+=【答案】B【分析】根据一元二次方程的概念，对选项进行判断即可一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】A. ax 2+bx+c=0，当a ≠0是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. x -2=x 2是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C. x 2-2=x （x -2）整理得220x -=，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D.11x x+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键． 练习1．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．x -2=x 2 C ．x 2-2=x （x -2）D ．11x x+=【答案】B【分析】根据一元二次方程的概念，对选项进行判断即可一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】A. ax 2+bx+c=0，当a ≠0是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. x -2=x 2是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C. x 2-2=x （x -2）整理得220x -=，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D.11x x+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键．练习2．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++= B ．()222322x x x -=-C ．3270x x -+=D ．()2240x --=【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义判断选择即可．【详解】A ．当0a =时，原方程不是一元二次方程，故不符合题意； B ．原方程整理得：34x -=-，不是一元二次方程，故不符合题意； C ．3270x x -+=是一元三次方程，故不符合题意； D ．符合一元二次方程的定义，故符合题意； 故选D ．【点睛】本题考查判断一元二次方程．掌握一元二次方程的定义是解题关键．练习3．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++=B ．210x y --=C ．2210x x += D ．()()121x x -+=【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、当a =0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本不选项符合题意； C 、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D 、原方程整理得x 2+x -3=0是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 题型2 利用一元二次方程的概念求参数例1．（2022·江苏·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5． (1)为一元二次方程； (2)为一元一次方程． 【答案】(1)m ＝3 (2)m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案； （2）根据一元一次方程的定义，可得答案．（1）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5一元二次方程，得1210m m ⎧-=⎨+≠⎩，解得m ＝3．当m ＝3时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元二次方程．（2）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程，得m +1＝0或11130m m m ⎧-=⎨++-≠⎩，解得m＝﹣1或m ＝0，m ＝2，当m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．例2．（2022·全国·九年级专题练习）若方程(2)310m m x mx --=是关于的一元二次方程，求m 的值． 【答案】2m =-．【分析】根据一元二次方程的定义得出m 2=2，20m -≠再求出答案即可．【详解】根据题意得2220m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得22m m ⎧=±⎪⎨≠⎪⎩所以当方程2(2)310m m x mx ---=是关于的一元二次方程时，2m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．m 【答案】4【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可 【详解】解：由题意，得4022m m +≠⎧⎨-=⎩解|m|-2=2得m=±4， 当m=4时，m+4=8≠0，当m=-4时，m+4=0不符合题意的要舍去， ∴m 的值为4．【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 32mx x x mx -=-+程，m 应满足什么条件？ 【答案】1m ≠【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，根据二次项系数不为零可得答案． 【详解】解：2232mx x x mx -=-+，()()21320m x m x ∴-+--=结合题意得：10,m -≠ 1.m ∴≠【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 练习3．（2020·全国·九年级专题练习）当m 取何值时，方程1(1)320m m x x +-+-=是一元二次方程．【答案】m=-1【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程，列出方程求解即可.【详解】解：由题意可得：12m +=且m -1≠0， 解得：m=-1，∴当m=-1时，方程||1(1)320m m x x +-+-=是一元二次方程.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．考点2：一元二次方程的一般式必备知识点：一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。

一元二次方程题型总结

一元二次方程题型总结

《一元二次方程》每日一练知识点一：一元二次方程的概念1、已知关于x 的方程（m ²-1）x ²+（m-2）x-2m+1=0，当m= 时是一元二次方程，当m = 时是一元一次方程。

2、关于y 的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是 ,它的二次项系数是_____ , 一次项是_____ ，常数项是 。

3、关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）1或1- （D ）0.54、方程（m ＋2）｜m ｜＋3mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则（ ）。

（A ）m ＝±2 （B ）m ＝2 （C ）m ＝－2 （ D ）m ≠±2知识点二：一元二次方程的解法直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法；十字相乘法1、用适当的方法解下列方程（1）（x+3）2 -12=0 （2） 3x 2－6x ＋1=0 （3）x 2－4x ＋1＝0。

（4）7x(x-2)＝2x-4 （5）2(3)4(3)0x x x -+-= （6）22510x x --=（7）9(x-1)2-4=0 （8）2x 2+6x-2=0 （9）(2)(35)1x x --=； （10）22)3()12(x x -=-2、方程x x =23的解是 ；方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ;3、等腰三角形的三条边长是x 2-6x+5=0的根，则这个等腰三角形的周长是____ _.4、方程2x 2-3x+1=0变为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 5、将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ） A ．（x-2）2+3 B ．（x-2）2-3 C ．（x+2）2+3 D ．（x+2）2-36、已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=++c b a ，则该方程一定有一根为（ ）A. 0B. 1C. -1D. 27、当代数式x 2+3x+5的值为7时，代数式3x 2+9x-2的值是（ ）．A .4B .0C .-2D .-4知识点三：根的判别式的应用△＞0，方程有2个不相等的实数根； △=0，方程有2个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根； 0≥∆，方程有实数根。

(完整版)一元二次方程根与系数题型汇总

(完整版)一元二次方程根与系数题型汇总

一元二次方程的根与系数的关系知识点 一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程02=++c bx ax ()04,02≥-≠ac b a 的两个根分别为21,x x ，则方程的两个根21,x x 和系数a ，b ，c 有如下关系：a b x x -=+21，a c x x =⋅21。

例 已知方程0742=--x x 的两个根分别是21,x x 则=+21x x ，=⋅21x x 。

题型1一元二次方程根与系数的关系的应用 例1若关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两个实数根分别为21-=x ，42=x ，则c b +的值是（ ） A.-10B.10C.-6D.-1 变式若m ，n 是方程012=-+x x 的两个实数根，则n m m ++22的值为 。

题型2已知含字母的一元二次方程的一根，求字母的值及方程的另一根 例2已知方程0652=-+kx x 的一个根为2，求它的另一个根及k 的值.变式已知方程032=++mx x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是 .题型3已知一元二次方程两根的关系，求字母的值或取值范围 例3关于x 的一元二次方程0132=++-k x x 的两个根的平方和小于5，求k 的取值范围.变式 已知关于x 的一元二次方程()0132=++++m x m x 的两个实数根分别为21,x x ，若42221=+x x ，则m 的值是 .变式设21,x x 是方程042=+-m x x 的两个实数根，且12121=-+x x x x ，则=+21x x ，=m 。

题型4利用根与系数的关系求对称式的值 例4已知方程0132=-+x x 的两个实数根分别为βα,，不解方程求下列各式的值 （1）22βα+；（2）33αββα+； （3）βααβ+； （4）()()11--βα变式 已知βα,是一元二次方程0252=--x x 的两个实数根，则22βαβα++的值为 . 变式 设21,x x 是方程02352=--x x 的两个实数根，则2111x x +的值为 变式已知21,x x 是一元二次方程0142=+-x x 的两个实数根，求()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷+2122111x x x x 的值题型5创新题 例5已知21,x x 是方程0532=-+x x 的两个根，求以11+x 和12+x 为根的一个一元二次方程。

人教版九年级-一元二次方程知识点总结及基础题型

人教版九年级-一元二次方程知识点总结及基础题型

一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程，一般形式是),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++类型：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=++≠=+≠=+≠=000000002222a c bx ax a c axa bx ax a ax ④③②①判断一元二次方程的步骤例1：1.下列方程时一元二次方程的是①2032=+x x ；②04322=+-xy x ；③412=-x x ；④02=x ；⑤0332=+-x x ⑥x 2﹣1=y ⑦（x+2）（x+1）=x 2 ⑧ 6x 2=5 ⑨⑩2x +3x +y=0 ；⑪ x+y+1=0 ；⑫ 213122+=+x x ； ⑬ 0512=++x x⑭；⑮3y 2﹣2y=﹣1；⑯2x 2﹣5xy+3y 2=0；⑰⑱ ；⑲ ；⑳ ；④ ；⑤ ；⑥；⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩（）． 2．关于x 的方程mx 2+3x=x 2+4是一元二次方程，则m 应满足条件是 _________ ．3．关于x 的一元二次方程ax 2﹣3x+2=0中，a 的取值范围是 _________ ．4．当m= _________ 时，方程（m 2﹣1）x 2﹣mx+5=0不是一元二次方程．1.把方程化成一般形式),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++2.最高次数=23.最高次项的系数≠05．若关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣5=0是一元二次方程，则k 的取值范围是__________ 例2：当=m 时，方程072)1(1=-+-+x x m m 为一元二次方程6．若是关于x 的一元二次方程，则a= _________ ．7．若关于x 的方程（m ﹣1）﹣mx ﹣3=0是一元二次方程，则m= _________ ．8．当k= _________ 时，（k ﹣1）﹣（2k ﹣1）x ﹣3=0是关于x 的一元二次方程． 9．方程（m+2）x |m|+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则m=__________10．关于x 的方程（m ﹣2）x |m|﹣mx+1=0是一元二次方程，则m=___________知识点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项①0≠a ；②指出二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号③一元二次方程化为一般形式时，若没出现一次项bx ，并不是没有，而是0=b例3： 把方程（1）()()1231=+-x x （2）（3）（4）化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是_______________2.一元二次方程142=+x x 的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3.一元二次方程2x －3x = 4的一般形式是 ，一次项系数为 。