(完整版)实数_知识点+题型归纳

实数知识点及典型例题一、实数知识点。

（一）实数的分类。

1. 有理数。

- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。

例如：5，0，-3。

- 分数：正分数、负分数统称为分数。

分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。

例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。

- 有理数：整数和分数统称为有理数。

2. 无理数。

- 无理数是无限不循环小数。

例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。

3. 实数。

- 有理数和无理数统称为实数。

（二）实数的相关概念。

1. 数轴。

- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。

2. 相反数。

- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

a的相反数是-a，0的相反数是0。

例如：3与-3互为相反数。

- 若a、b互为相反数，则a + b=0。

3. 绝对值。

- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。

- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。

例如：| 5| = 5，| -3|=3。

4. 倒数。

- 乘积为1的两个数互为倒数。

a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。

例如：2的倒数是(1)/(2)。

（三）实数的运算。

1. 运算法则。

- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。

- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。

- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。

2. 运算律。

- 加法交换律：a + b=b + a。

- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。

- 乘法交换律：ab = ba。

实数知识点与对应题型一、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

（也称为二次方根），也就是说如果x 2=a ，那么x 就叫做a 的平方根。

2、平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—a ”，这两个平方根合起来记作“±a ”。

（ a 叫被开方数， “”是二次根号，这里“”，亦可写成“2”）②0只有一个平方根，就是0本身。

算术平方根是0。

③负数没有平方根。

3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。

4、（1） 平方根是它本身的数是零。

（2）算术平方根是它本身的数是0和1。

（3）()()()().0,0,0222<-=≥=≥=a a a a a a a a a（4）一个数的两个平方根之和为0二、立方根：（1——9的立方）1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根。

（也称为二次方根），也就是说如果x 3=a ，那么x 就叫做a 的立方根。

记作“3a ”。

2、立方根的性质：①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. ②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3a -=3a - ③a a a ==3333)(3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。

4、立方根是它本身的数是1，0，-1。

5、平方根和立方根的区别：（1）被开方数的取值范围不同：在±a 中，a ≥0，在a 3中，a 可以为任意数值。

（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。

6、立方根和平方根：不同点：（1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围不同：±a 中的被开方数a 是非负数；3a 中的被开方数可以是任何数.（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；（3）立方根等于本身的数有0、1、—1，平方根等于本身的数只有0．共同点：0的立方根和平方根都是0．三、实数：1、定义：有理数和无理数统称为实数无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，∏）。

实数知识点大题总结归纳一、实数概念实数是数学中的一个重要概念，是指包括有理数和无理数在内的数的集合。

实数是所有数的集合，包括正数、负数、零以及所有的小数和分数。

实数的概念是数学分析和代数学的基础，它涉及到数轴上所有点的集合，实数的概念在数学分析和代数学的研究中有广泛的应用。

实数可以用来表示现实生活中的各种量和计算过程，比如长度、时间、温度、速度等等。

实数是一种用来比较、计算和度量现实生活中各种量的数学工具。

在数学的各个分支中，实数都有着重要的作用，比如在代数、几何、微积分、概率论等方面都有着广泛的应用。

实数的概念是从有理数的概念推广而来的，有理数是整数和分数的集合，而实数则包括了有理数以及无理数。

实数的概念比有理数更加广泛，它包括了所有可以用数轴上的点表示出来的数。

数轴是表示实数的一种图形工具，可以用来比较和计算各种实数的大小和关系。

实数的运算规则和性质是数学中的重要内容，实数的加减乘除运算和各种性质都是数学教育的重点。

实数的运算规则和性质是代数学的基础，它们是解决各种数学问题和证明数学定理的基础。

实数的运算规则和性质可以帮助人们更深刻地理解和使用实数，它们是数学分析和代数学的重要内容。

二、实数的分类实数根据其表示形式和特点可以分成不同的种类，比如有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，它包括整数、分数和各种有限小数。

有理数是数学中比较容易理解和使用的一类数，它们有着严格的运算规则和性质，可以进行加减乘除等各种运算。

无理数是不能表示为两个整数的比值的数，它们是一些特殊的数，比如根号2、圆周率π等。

无理数在数轴上的位置很难准确表示出来，因为它们不能用整数比值的形式表示。

无理数是实数中比较独特和特殊的一类数，它们在数学研究和应用中有着独特的地位。

实数还可以根据其大小和性质进行分类，比如正数、负数、零等。

正数是大于零的实数，负数是小于零的实数，零是一个特殊的实数。

正数、负数和零是实数中的基本分类，它们有着严格的定义和性质，可以用来表示各种计量和度量。

第十三章 实数知识要点一： 1．实数的性质（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）；（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方；（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 2．实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．3．实数的分类（1）按实数的定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 （2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数4．实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数．【典型例题】2-1C B A 例1若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1)分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a 为实数, a 2、( a +1)2、2a 均为非负数，∴－a 2≤0，－( a +1)2≤0，－2a ≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A 、B 、C 不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(a -+1)﹤0．故选D例2 实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a =分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a ﹤2,于是,22)2(,112a a a a a -=-=--=-所以, 2)2(1-+-a a =a －1+2－a =1.例3 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ） A. 5－2 B. 2－5 C.5－3 D.3－5分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质．B 、C 两点关于点A 对称，因而B 、C 两点到点A 的距离是相同的，点B 到点A 的距离是5－1，所以点C 到点A 的距离也是5－1，设点C 到点O 的距离为a ，所以a +1=5－1，即a =5－2．又因为点C 所表示的实数为负数，所以点C 所表示的实数为2－5．例4 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为分析：因为（a －2）2+3-b =0，所以a －2=0，b －3=0。

实数知识点及例题一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。

有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数。

例如，π（圆周率）、根号 2 等都是无理数。

而像 3、－5、025 等则是有理数。

二、实数的分类1、按定义分类：有理数：整数和分数。

无理数：无限不循环小数。

2、按性质分类：正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。

负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。

三、实数的基本性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，必定有 a ＞ b、a ＝ b 或a ＜b 三种关系之一成立。

2、实数的稠密性：两个不相等的实数之间总有另一个实数存在。

3、实数的四则运算：实数的加、减、乘、除（除数不为 0）运算满足相应的运算律。

四、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。

实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

例如，在数轴上表示 2 的点在原点右侧距离原点 2 个单位长度。

五、绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a。

绝对值的性质：1、｜a| ≥ 0，即绝对值是非负的。

2、若｜a| ＝｜b|，则 a ＝ ±b。

例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。

六、相反数实数 a 的相反数是 a，它们的和为 0，即 a ＋（a) ＝ 0。

例如，5 的相反数是－5，它们的和为 0。

若两个实数的乘积为 1，则这两个数互为倒数。

非零实数 a 的倒数是 1/a。

例如，2 的倒数是 1/2，－3 的倒数是－1/3。

八、实数的运算1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

2、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

3、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类,7等；（1）开方开不尽的数，如32π+8等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）是有理数，而不是无判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16理数。

3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

如果，那么x叫做a的平方根。

（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

如果，那么x叫做a的立方根。

2、运算名称（1）求一个正数a 的平方根的运算，叫做开平方。

平方与开平方互为逆运算。

（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

开立方和立方互为逆运算。

3、运算符号（1）正数a 的算术平方根，记作“a ”。

（2）a(a ≥0)的平方根的符号表达为。

（3）一个数a 的立方根，用表示，其中a 是被开方数，3是根指数。

4、运算公式4、开方规律小结（1）若a ≥0，则a 的平方根是a ±，a 的算术平方根a ；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。

实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。

第十三章实数----知识点总结一、算术平方根1.算术平方根的定义：一般地，如果的等于a ，即，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为，读作“根号a ”，a 叫做．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2(x ≥0)中，规定a x =。

理解：a x =2(x ≥0)a x =a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的算术平方根a 的算术平方根是x 2.a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。

3.当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；4.夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法：）二、平方根1.平方根的定义：如果的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的．即：如果，那么x 叫做a 的． 理解：a x =2<—>a x ±=a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的平方根a 的平方根是x2.开平方的定义：求一个数的的运算，叫做．开平方运算的被开方数必须是才有意义。

3.平方与开平方：±3的平方等于9，9的平方根是±34.一个正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数平方根，即负数不能进行开平方运算5.符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6.平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

三、立方根1.立方根的定义：如果的等于a ，这个数叫做a 的（也叫做），即如果，那么x 叫做a 的立方根。

2.一个数a “三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。

理解：a x =3<—>3a x =a 是x 的立方x 的立方是ax 是a 的立方根a 的立方根是x3.一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。

第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16π是有理数，而不是无理数。

3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

如果，那么x叫做a的平方根。

（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

如果，那么x叫做a的立方根。

2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。

平方与开平方互为逆运算。

（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

开立方和立方互为逆运算。

3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作“a”。

（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。

（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。

4、运算公式4、开方规律小结（1）若a≥0，则a的平方根是a a a它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。

实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。

实数知识点归纳总结一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数是可以表示为分数形式的数，包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。

无理数是无法用分数形式表示的数，如开根号或π。

有理数又可以分为整数和分数两类。

整数包括正整数、负整数和零，分数指的是整数之间的比值。

二、实数运算1.加法和减法实数的加法和减法满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。

加法的逆元是减法，即a+(-a)=0。

2.乘法和除法实数的乘法和除法满足交换律和结合律，即a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)。

乘法的逆元是除法，a/b * b/a = 1。

3.乘幂和开方实数的乘幂满足乘法的分配律，即(a*b)^n=a^n*b^n。

实数的开方是指找出一个数的n次方等于给定的数，如a^n=b，则a为b的n次方根。

4.比较大小实数的大小关系可以通过比较大小来确定，满足传递性和完全性。

传递性指的是如果a>b 且b>c，则a>c；完全性指的是对于任意实数a，b，要么a>b，要么a=b，要么a<b。

三、实数的性质1.有序性实数集合具有明确的大小关系，可以进行大小的比较。

任意两个实数a，b，存在且只存在下列三种关系之一：a>b，a=b，a<b。

2.稠密性实数集合中，任意两个不相等的数之间都有有理数，也有无理数。

在实数轴上，任意两个不相等的实数之间都存在无数个实数。

3.区间性实数轴上的一段连续的部分称为一个区间，包括开区间、闭区间、半开半闭区间等。

4.费马小定理p为素数，a为整数，则p不能整除a和p互质的一次方程ap-x=1有整数解x。

5.实数的稳定性实数的乘、除、取幂和开根号等有限次运算保持实数的性质。

6.实数的基数实数集合的基数是不可数的，比如自然数集合、有理数集合和无理数集合的基数都是不可数的。

四、实数的应用1.实数在几何中的应用实数可以用来表示点的坐标、线段的长度、角度的大小等。

七年级下册实数知识点概括及常见题目
一、知识点概括
1.实数的概念
实数是包括有理数和无理数的数的集合，它们可以表示在数轴
上的位置。

实数具有加法、减法、乘法和除法等运算规则。

2.有理数
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。

有理数之间可以进行加减乘除运算，还可以
比较大小。

3.无理数
无理数是不能表示为两个整数之比的数，它们的十进制表示是
无限不循环的小数。

无理数包括根号2、根号3等。

4.实数的分布
实数可以在数轴上表示出来，正数在右侧，负数在左侧。

实数
之间可以进行大小比较。

二、常见题目
以下是七年级下册实数部分常见的题目类型：
1.判断题：给出一个数，判断它是有理数还是无理数。

2.计算运算结果：计算两个实数的和、差、积、商。

3.比较大小：给出两个实数，判断它们的大小关系。

4.补全数轴：给出数轴上的几个点，补全数轴上其它的实数点。

5.排序实数：给出几个实数，按大小顺序排列它们。

6.选择题：根据题目描述选择符合条件的实数。

以上是七年级下册实数知识点的概括及常见题目类型。

通过熟
练掌握这些知识点和题目类型，可以提高对实数的理解和应用能力。