等价替换的推广及在重要极限中的应用

第4、5讲 无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限 一、计划学时：2节 二、内容三、要求 四、重点 五、难点六、教学过程：（一） 无穷小与无穷大 一、无穷小量定义1 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小。

无穷小量只是极限的一个特殊情况（A =0），因而可由极限的不等式定义得到无穷小的精确定义，共有七种，先以x →x 0为例给出无穷小的精确定义：定义2 设函数f (x )当|x |充分大时有定义。

若 ∀ M >0，∃ X >0，∍ |x |> X ⇒ ⎪f (x ) ⎪>M ，则称函数f (x )当x →∞时为无穷大量，记为)()(∞→∞→x x f 或∞=∞→)(lim x f x . 注 由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也不是无穷大。

且若函数是无穷大，则函数必无极限。

但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。

如：x →0时，x 1是无穷大；x → -1时，2)1(1x +也是无穷大；x →∞时，1-ln x 是无穷大。

显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x →∞，的值非负且越来越大，而1-ln x 则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+∞与负无穷大-∞。

将定义2中的“|x |> X ”相应地改为“x < X ”和“x >-X ”即可得到x →∞时正无穷大和负无穷大的定义。

共有21种无穷大的定义。

例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 ∀ M >0，要使⎪f (x ) ⎪=│11-x │>M ，只要 | x -1|< M 1，取 δ =M1，则当δ<-<|1|0x 时，⇒ │11-x │>M ， ∴ ∞=-→11lim1x x . 注❶ 证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。

❷ 从图形(图10—13)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。

两个重要极限的推广及应用极限在微积分中占有重要的地位，是微积分的基石。

两个重要极限是极限内容中的重点和难点。

因此本文结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广应用。

标签：重要极限；推广；应用0 引言极限概念是微积分学的理论基础，极限方法是微积分学的基本分析方法，掌握和运用好极限方法是学好微积分学的关键。

在极限这部分内容的教学中，两个重要极限是重点、也是难点。

在极限计算、导数公式推导过程中，两个重要极限占有极其重要的地位。

两个重要极限能够简化复杂的极限运算，使我们更容易深刻理解并記忆导数公式；进而体现了两个重要极限的“重要性”。

1 两个重要极限的基本形式及其推广形式极限贯穿了微积分的全部内容，是微分和积分的基石。

利用两个重要极限求极限是极限内容中的重点和难点。

本文将通过实例对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、归纳。

1.1 第一个重要极限的基本形式：运用这个极限时，我们应注意以下几点：（1）分数线上面与下面的x要保持一致；（2）x→0当时，分子、分母都趋于0，即型未定式；（3）x可以是一个未知数，也可以是一个函数：如当时，有。

因此，这一重要极限可以推广为，其中Δ代表一个未知量。

1.2 第二个重要极限的基本形式：运用这个极限时，我们应注意以下几点：（1）x可以是一个未知数，也可以是一个函数：（2）括号内1后面的部分与括号外的幂次互为倒数，这个重要极限可以转化为1∞这种未定式。

因此，这一重要极限可以推广为或，其中Δ代表一个未知量。

2 两个重要极限在微分学中的应用极限在微分学中应用非常广泛，其中导数定义就是由极限来定义的；而两个重要极限则是推导一些重要极限的有力工具，比如三角函数和对数函数导数的推导。

以上实例说明运用两个重要极限可以推导一些导数公式，而且有些时候必须用两个重要极限求导数，比如（sinx）/=cosx等用其他方法很难求出。

由此可见，在推导基本初等函数的求导公式的过程中，尤其是有关三角函数的求导过程中，两个重要极限起到了非常关键的作用。

数列的等价无穷小与等价无穷大总结数列是数学中重要的研究对象，其中等价无穷小与等价无穷大是数列理论中的重要概念。

本文将对数列的等价无穷小与等价无穷大进行总结，并探讨其在数学中的应用。

一、等价无穷小的概念等价无穷小是指在极限过程中，两个无穷小之间的关系。

设an和bn是两个数列，若极限lim（an/bn）=1，则称an和bn是等价无穷小。

在等价无穷小的定义中，我们可以得到以下结论：1. 若an为等价无穷小，则k*an (k为常数)也是等价无穷小。

2. 若an为等价无穷小，而bn为有界数列，则an*bn也是等价无穷小。

3. 若an为等价无穷小，而bn为另一个等价无穷小，则an+bn也是等价无穷小。

二、等价无穷小的性质等价无穷小具有以下性质：1. 等价无穷小是传递性的。

即如果an是等价无穷小，而bn是等价无穷小，那么cn=an*bn也是等价无穷小。

2. 如果an是等价无穷小，那么|an|也是等价无穷小。

3. 如果an是等价无穷小，bn是有界数列，那么an*bn也是等价无穷小。

三、等价无穷大的概念等价无穷大是指在极限过程中，无穷大之间的关系。

设an和bn是两个数列，如果对于任意正数M，存在正数N，使得当n>N时，|an/bn|>M，则称an和bn是等价无穷大。

等价无穷大具有以下性质：1. 若an是等价无穷大，则k*an（k为非零常数）也是等价无穷大。

2. 若an是等价无穷大，bn是等价无穷小，则an*bn是等价无穷大。

3. 若an是等价无穷大，而bn是另一个等价无穷大，则an+bn也是等价无穷大。

四、数列的应用等价无穷小与等价无穷大在数学中有广泛的应用，特别是在极限求解和数列近似分析中。

1. 在极限求解中，等价无穷小可以简化复杂的极限运算，使得计算更加方便快捷。

通过找到一个与原数列等价的无穷小数列进行替代，可以大大简化极限求解的过程。

2. 在数列近似分析中，等价无穷小和等价无穷大能够帮助我们更好地理解数列的变化趋势。

等价无穷小替换原则等价无穷小替换原则（EquivalentInfinitesimalSubstitutionPrinciple）是数学分析的一种重要原理，它是构成数论中的“等价等价定理”（Equivalence Equation Theorem）的一个特例。

它要求极限过程中，多个无穷小量可以互换，且不改变极限结果。

等价无穷小替换原则源于17世纪著后给笛卡尔等数学家，它是从其“自由函数”开发出来的，研究可以做出无限小变分，通过可互换极限过程使相应的函数变量不变。

等价无穷小替换原则的认知和实践，赋予了17世纪数学家们开展数论的能力，也从而带来了更新的科学观念，拓宽数学思维的边界。

18世纪末，等价无穷小替换原则得到了杰出的数学家莱布尼茨和利维尔克的肯定。

他们认为，如果有足够的无穷小量，该原则可以推广到任何数学公理和定义，只要极限值不变，它们就可以互换。

也就是说，数论中大量定理，其中一些基本定理，都可以从等价无穷小替换原则推出。

等价无穷小替换原则可以应用到多项式函数和向量函数中，可以求得其积分、极限以及连续性等问题。

例如，假设有一个函数f(x)，等价无穷小替换原则可以用来证明，当x趋近于某一极限时，f(x)此时取得的极限与x极限一定相等。

等价无穷小替换原则在20世纪早期也受到了批判。

20世纪初，美国数学家贝多芬反驳了等价无穷小替换原则。

他认为无穷小量之间不是简单地可以互换，应该使用“有限变化”，也就是说，极限处的函数变化必须是有限的，才能使极限值不变。

贝多芬的观点获得了许多支持，并得到了20世纪50年代美国数学家罗素的发展，他提出了“普遍变分性极限定理”，也称“罗素定理”，这个定理认为极限的求解不能通过无限次的无穷小变分，而应该通过有限次的有限变分。

虽然20世纪以后，数学家们发展出更先进、更具体的数学论文，但这一重要原理仍然非常有价值。

等价无穷小替换原则现在仍然是数论学习者基本参考标准，也是数学家们构建理论体系的重要依据。

三.无穷小量的等价代换
tan x sin x （3） lim x 0 tan 3 3 x
sin 2 x （4）lim x 0 (1 cosx )arctan x 2
tan x(1 cos x) tan x sin x lim lim 解（3） 3 x 0 x 0 tan 3 3 x tan 3 x 1 2 x x 1 2 lim 3 x0 (3 x ) 54
n
ESC
二.第一个重要 极限
sin x 1 1. lim x 0 x
(1.4.1)
因为 sin( x) sin x sin x ，所以 x x x 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 证
作单位园O， 设圆心角 AOB x ,延长 OB 交过 A点的切线于于 D ， 则 AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ AOD 面积．即 ESC
1 x 3 1 5 lim(1 ) (1 ) e 1 e x x 3 x 3 2 2 x2 x2 x x 2 lim ( ) lim (1 ) e （4） x2 2 2 x2
ESC
三.无穷小量的等价代换
1.无穷小的比较（复习） 一般的, 设 ， 是同一极限过程中的两个无穷小， 1）若 lim 0 ，则称 是比 高阶的无穷 小，也可以称 是比 低阶的无穷小； 2）若 lim c （c为非零常数），则称 与 是同阶的无穷小； 特殊地，若 lim 1 ，则称 与 是等价的无 ESC 穷小， 记为 ～ .
1 2 x 5 1 2x 1 5 lim(1 ) lim(1 ) lim(1 ) x x x x x x 1 x 2 [lim(1 ) ] e 2 x x

1
例2. 求 解
e ⋅1 ⋅ e ⋅1 = 1
−1
第二章
利用等价无穷小量 §2.7 利用等价无穷小量 代换求极限
lim lim 定理1 定理 设 x → x α ( x) = x → x α1 ( x) = 0, 且 α ( x) ~ α1 ( x),
0 0
则 lim α ( x) f ( x) = lim α1 ( x) f ( x)
x4
解: 因为当 x → 0 时， e − 1 ~
x4
x4 ,
x ϕ x 若当 → x0时， (x) →0, 则当 → x0时 sin ϕ ( x) ~ ϕ ( x), tan ϕ ( x) ~ ϕ ( x),
tan ϕ ( x) ~ sin ϕ ( x), arcsin ϕ ( x) ~ ϕ ( x) ϕ 2 ( x) (1 − cos ϕ ( x)) ~ ,
1 sin x 1 − cos x = lim ⋅ ⋅ 2 x →0 cos x x x
1 sin x 1 − cos x = lim ⋅ lim ⋅ lim x →0 cos x x →0 x x →0 x 2
由上面几个例题可知下面几个等价的无穷小量 由上面几个例题可知下面几个等价的无穷小量. 等价的无穷小量 趋于0时 当x 趋于 时
1 x
2 + e sin x 2 + e sin x = lim = 1 lim− 4 + 4 − x→0 1+ e x x x→0− 1+ ex x
1 x 1 x
原式 = 1
e −1 3. 求 lim x→0 1− cos( x 1− cos x )
(x →∞)

等价无穷小求函数极限1绪论1.1研究背景和意义极限的概念是微积分学重要概念之一，是微积分学的基础。

现有的极限问题的求解方法主要有以下几种: 定义法、利用两个重要极限、利用等价无穷小、函数极限四则运算和洛必达法则。

函数极限是描述函数变化趋势的重要概念，是从近似认识精确、从有限认识无限、从量变认识质变的一种数学方法。

其中，运用等价无穷小来替换函数中的无穷小因子是求函数极限中一种非常普遍、非常快捷的方法，由于这一方法运用起来比较方便，并且能在很大程度上简化计算。

虽说无穷小量分离、约零因子、利用重要极限、罗比达法则等常用求极限的方法都有其自身的价值，但等价无穷小代换求极限以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法,用它可以求解某些用其他方法难以求解的极限问题，使之化繁为简，化难为易。

等价无穷小是高等数学中最基本的概念之一，同时又是高等数学的重要组成部分，因此它的应用的深入发展对于数学的发展具有及其深远的意义。

研究等价无穷小量在求极限中的应用,有助于人们更系统，更全面的认识等价无穷小量在数学计算中的作用。

等价无穷小量做代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法,用它可以求到某些用其它方法难以求到的极限问题,达到化繁为简目的。

生产和实验的很多计算过程中的变量都可以用等价无穷小来替换,从而简化计算。

等价无穷小可以把繁琐的实际问题化为一种简单的形式，从而引导人们用更简便的方法解决实际问题。

用等价无穷小求极限是高等数学中的一个重要工具，它在生活中的应用是理论和实际相联系的强有力的纽带。

因此，等价无穷小在函数求极限的问题中具有十分重要的应用，本文中将对等价无穷小函数求极限的方法进行研究，并通过实例对方法进行介绍。

等价无穷小量代换是指在极限运算过程中，将一些无穷小量用与其等价的无穷小量来替代，从而达到简化计算的目的。

利用等价无穷小量求极限，只对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代替，而对极限式中的相加或相减部分则说明不能随意替代。

所有等价无穷小替换公式在微积分中，等价无穷小替换公式是一种重要的工具，用于替换函数中的无穷小量，以便更方便地进行计算。

通过等价无穷小替换公式，我们可以将复杂的极限计算问题化简为简单的代数运算。

在本篇文章中，我将介绍一些常见的等价无穷小替换公式。

1.当x趋向于正无穷时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x)、tan(x) 和 sec(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 sin(x) = x， tan(x) = x 和 sec(x) = x。

- 无穷小量 1 - cos(x) 可以用等价无穷小量 x^2/2 替换，即 1 - cos(x) = x^2/2- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 ln(1+x) = x。

-无穷小量e^x-1可以用等价无穷小量x替换，即e^x-1=x。

-无穷小量1/(1+x)可以用等价无穷小量x替换，即1/(1+x)=x。

2.当x趋向于负无穷时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x)、tan(x) 和 sec(x) 可以用等价无穷小量 -x 替换，即 sin(x) = -x， tan(x) = -x 和 sec(x) = -x。

- 无穷小量 1 - cos(x) 可以用等价无穷小量 x^2/2 替换，即 1 - cos(x) = x^2/2- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 -x 替换，即 ln(1+x) =-x。

-无穷小量e^x-1可以用等价无穷小量-x替换，即e^x-1=-x。

-无穷小量1/(1+x)可以用等价无穷小量-x替换，即1/(1+x)=-x。

3.当x趋向于0时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 sin(x) = x。

- 无穷小量 tan(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 tan(x) = x。

- 无穷小量 sec(x) 可以用等价无穷小量 1 替换，即 sec(x) = 1- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 ln(1+x) = x。

解
边形面积 所构成数
2、
n
…
10
102 103 104 105
…
…
…
数列{xn}是数值不超过3的单调增加数列, 由极限存在准则Ⅱ 可知，该数列存在极限，
其极限就是无理数e=2.71828…
推广形式：
为某过程中的无穷大量 为某过程中的无穷小量
例6 解
例7 解
三、利用无穷小等价替换定理进行极限计算
例1 解
由夹逼定理得
2、单调有界收敛准则
单调增加 单调数列
单调减少
几何解释:
例2 求数列 解
的极限.
由数学归纳法，数列{xn}单调递增. 数列{xn}单调有界
二、两个重要的极限
1、
即
又
当
时，
推广形式：
□为自变量某个变化过程中的无穷小.
例3 求 解 原式= 例4 解
例5 求圆的内接正 列的极限值.
常用等价无穷小:
证明：
例8 解
因此，
例9 解
因此，

例10 解
若分式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可 对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷 小替换，而不会改变原式的极限．
例11 解
注意： 不能滥用等价无穷小替换.一般可 对分子或分母中乘积形式作等价无穷小替 换，对于和差形式中各无穷小一般不能分 别替换.
经济数学——微积分
1.7 极限存在准则两个重要极限
一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、利用无穷小替换定理计算极限 四、连续复利 五、小结
一、极限存在准则
1、夹逼准则
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则 I和准则 Iˊ称为夹逼准则.

第一个重要极限的推广及应用探析极限是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

在微积分中，有许多重要的极限定理和推广的应用，其中最重要的之一是极限的推广和应用。

在微积分中，最基本的极限是函数在某一点的极限，即当自变量趋近于某一值时，函数的值趋近于某一值。

这个概念可以推广到函数的左极限和右极限，即当自变量从左边趋近于某一值时，函数的值趋近于某一值；当自变量从右边趋近于某一值时，函数的值也趋近于某一值。

使用这些极限概念，可以定义连续函数、导数和积分等重要的微积分概念。

在极限的推广和应用中，最常见的是无穷极限和级数。

当自变量趋近于无穷大时，函数的极限被称为无穷极限。

无穷极限在微积分中有广泛的应用，例如用于计算函数的渐近线、确定函数的增长速度等。

对于级数，如果它的部分和有极限，那么这个极限就是级数的和。

级数的概念和性质用于数学分析和实际计算中，例如在数值计算中，无穷级数的收敛性判别和级数和的计算是重要的问题。

除了无穷极限和级数，极限的推广还可以应用于微积分中的求导和积分。

求导是计算函数导数的过程，而导数可以通过极限的概念来定义。

将导数推广到高维空间中，则可以得到偏导数和方向导数等概念。

积分是计算函数面积或曲线长度的过程，而积分也可以通过极限的概念来定义。

将积分推广到高维空间中，则可以得到重积分和曲线积分等概念。

求导和积分是微积分的核心内容，其应用广泛，例如在物理学、工程学等领域中，用于描述和解决实际问题。

除了上述的推广和应用，极限还具有许多其他重要的应用。

例如在微分方程的解法中，常常需要使用极限来推导和求解微分方程的解。

在计算离散数据的导数和积分时，也需要使用极限的概念来处理。

在概率论和统计学中，极限也是重要的概念，例如用于描述随机变量的分布趋势和计算概率等。

等价无穷小替换原则等价无穷小替换原则是一种重要的数学工具，它有助于提供有关极限函数和无穷小量的建议及其应用。

尽管极限函数在数学中有广泛应用，但对于从未接触过它的人们来说，它可能难以理解。

等价无穷小替换原则是个有用的工具，有助于人们更好地理解极限函数，以及无穷小量和极限函数之间的关系。

等价无穷小替换原则是一个抽象的概念，它的基本概念是对某个量的无穷小量的替换。

它允许使用无穷小量来表示极限函数，可以将极限函数分为更小的部分进行推理，并且可以使用这些替换量来描述极限函数的特点。

具体地说，等价无穷小替换原则指出，当某个量的无穷小变化时，极限函数的值也会发生极小而等价的变化。

等价无穷小替换原则是数学上一种相当重要的原则，它有助于更好地理解极限函数和无穷小量，这样就可以正确地用这些工具来处理问题。

通常情况下，只要解决有关极限函数的问题，就必须使用等价无穷小替换原则。

例如，有关极限函数的证明和推理，需要使用等价无穷小替换原则；而求得极限函数的表达式，也需要借助这一原则；极限函数的求值也需要使用等价无穷小替换。

在理解极限函数和应用极限函数解决问题时，等价无穷小替换原则是不可或缺的。

此外，无穷小量也是数学中重要的概念，它有助于理解不同的极限函数之间的关系。

由于极限函数本质上是一个统计学的概念，而等价无穷小替换原则则有助于将极限函数的表示变得更加具体，从而更容易理解。

这就是为什么等价无穷小替换原则可以帮助人们从极限函数的抽象概念中抽出一些结论或者建立一些定理或者定义。

总而言之，等价无穷小替换原则是一个重要的原则，它有助于理解极限函数和无穷小量，从而改善了推理和进行极限函数分析的方式。

等价无穷小替换原则是数学中一个有用的工具，它可以帮助人们提高极限函数和无穷小量的理解，并且能够应用该原则解决数学问题。

等价无穷小规则-概述说明以及解释1.引言1.1 概述等价无穷小规则是微积分中的重要概念，它在解决极限问题和求导过程中起到了关键的作用。

在微积分中，我们经常遇到一些无穷小量，这些无穷小量在函数的极限过程中逐渐趋近于零。

然而，并不是所有的无穷小量在极限过程中都具有相同的性质和行为。

等价无穷小规则的主要任务是研究不同无穷小量之间的等价关系。

它告诉我们当两个无穷小量在极限过程中趋近于零时，它们之间存在一种等价关系，即它们的变化趋势相似。

换句话说，当两个无穷小量在极限过程中趋近于零时，它们的比值趋近于一个常数。

这个常数称为等价无穷小的等价常数。

等价无穷小规则的研究对于求解极限问题非常重要。

在实际问题中，我们经常需要确定一个函数在某个点的极限值。

利用等价无穷小规则，我们可以将复杂的极限计算简化为对基本无穷小量的处理，从而更加方便地求解极限。

此外，等价无穷小规则在求导过程中也起到了重要的作用。

在微积分中，求导是求函数的变化率和斜率的重要手段。

然而，有些函数的导数并不容易计算，而等价无穷小规则可以通过与基本无穷小量的比较，将求导过程转化为对基本函数的求导，从而简化计算。

综上所述，等价无穷小规则是微积分中一个重要且有用的概念。

它帮助我们理解无穷小量的性质和行为，简化极限计算和求导过程，为我们解决各种数学问题提供了便利。

在接下来的文章中，我们将详细介绍等价无穷小的定义、性质和应用，总结等价无穷小规则的重要性，并探讨其未来的研究方向。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构来展开对等价无穷小规则的讨论：第一部分是引言，其中包括概述、文章结构和目的。

在概述部分，我们将简要介绍等价无穷小规则的背景和重要性。

文章结构部分将提供读者对整篇文章的概括，以帮助理解文章的逻辑结构。

目的部分则明确了本文的目标，即探讨等价无穷小规则的定义、性质以及应用。

第二部分是正文，其中包括等价无穷小的定义、性质以及应用。

在定义部分，我们将介绍等价无穷小的基本概念和数学表达方式，并探讨其与极限的关系。

训练1: 求下列函数的极限
x sin 2 =1 （） 1 lim x→ 0 x 2 1 sin x （3） lim =1 x →∞ 1 x
sin( x − 1) lim （2） =1 x →1 x −1
sin x （4） 4） lim =0 x →∞ x
sin sin u lim =1 归纳： lim → 0 u→ 0 u 0 ( )类 是 型 1 型 ； 0 sin f (x) lim =1 (2)当u=f(x)时， x→ 0 x f (x) (或 → ) x ∞
当n无限增加时，得到其精确值，经过时间t后细菌的 总数是：
n t n kt kt ⋅kt lim A (1+ k ) = A lim(1+ ) 0 0 ∞ n→ n→ ∞ n n
= A ekt 0 y = A ekt 设细菌的总数为y,即模型为 0
例10 求极限
2x + 3 x lim ( ) . x→∞ 2 x + 1
1 2x (1) lim(1 + ) =e x →∞ 2x
1 −x ) =e (2) lim(1 + x →∞ −x
(3) lim(1 + x)
x →0
1 x
=e
(4) lim(1 + 2 x)
x →0
1 2x
=e
1
归纳：
lim (1+
→ 0
)
=e
∞
1
（1）极限类型为
1
) （2）必须是 (1 + 中的 和指数中的
1
的形式，且底数 是“倒数关系”；
（3）中间必须用 “+”号连接
例7 求 解
1 x lim (1 + ) . x→∞ 2x

八个等价无穷小替换公式一、等价无穷小的定义在微积分中，等价无穷小是指当自变量趋于某个确定值时，函数的变化趋势与某个已知无穷小函数相同。

等价无穷小的概念在微积分的推导和证明中起到了重要的作用。

下面我们将介绍八个常见的等价无穷小替换公式。

二、公式一：当x趋于0时，sin(x)与x等价在极限计算中，当自变量趋于0时，可以使用sin(x)与x等价的替换公式，即sin(x)与x的极限值相等。

三、公式二：当x趋于0时，tan(x)与x等价同样地，在极限计算中，当自变量趋于0时，可以使用tan(x)与x 等价的替换公式，即tan(x)与x的极限值相等。

四、公式三：当x趋于0时，arcsin(x)与x等价对于反三角函数arcsin(x)，当自变量趋于0时，可以使用arcsin(x)与x等价的替换公式，即arcsin(x)与x的极限值相等。

五、公式四：当x趋于0时，arctan(x)与x等价类似地，在极限计算中，当自变量趋于0时，可以使用arctan(x)与x等价的替换公式，即arctan(x)与x的极限值相等。

六、公式五：当x趋于无穷大时，e^x与x等价在极限计算中，当自变量趋于无穷大时，可以使用e^x与x等价的替换公式，即e^x与x的极限值相等。

七、公式六：当x趋于0时，ln(1+x)与x等价对于对数函数ln(1+x)，当自变量趋于0时，可以使用ln(1+x)与x 等价的替换公式，即ln(1+x)与x的极限值相等。

八、公式七：当x趋于0时，1-cos(x)与(x^2/2)等价在极限计算中，当自变量趋于0时，可以使用1-cos(x)与(x^2/2)等价的替换公式，即1-cos(x)与(x^2/2)的极限值相等。

九、公式八：当x趋于0时，(1+x)^a-1与ax等价对于幂函数(1+x)^a-1，当自变量趋于0时，可以使用(1+x)^a-1与ax等价的替换公式，即(1+x)^a-1与ax的极限值相等。

以上八个等价无穷小替换公式在微积分中应用广泛，可以简化复杂的极限计算。

第一个重要极限的推广及应用探析1. 引言1.1 引言概述极限是微积分中的重要概念，它在数学和其他学科领域中具有深远的影响。

在数学中，极限可以帮助我们理解函数在某个点的变化趋势，揭示函数的性质和特点。

第一个重要极限是极限定义，通过极限定义我们可以准确地描述函数在某个点的极限值。

本文将围绕第一个重要极限展开探讨，从其定义推广至应用，深入分析极限在数学建模和实践中的意义。

我们将通过具体案例分析和数学模型建立来阐述极限在实际问题中的应用和重要性。

我们将结合已有研究成果对未来的研究方向和发展趋势进行展望，以期为相关领域的研究提供新的思路和启示。

【200字】1.2 研究目的研究目的是对第一个重要极限进行深入探究，掌握其定义及推广规律，从而能够更好地应用和理解数学知识。

通过对重要极限的研究，可以帮助我们更好地理解数学中的极限概念，拓展数学思维，提高数学解决问题的能力。

深入研究重要极限的推广可以为数学领域的发展提供新的思路和方法，拓展数学应用的领域和范围。

本文旨在通过对第一个重要极限的推广及应用进行探析，为数学爱好者和研究者提供更深入的数学知识和思维交流平台，促进数学研究的进步和发展。

通过本文的研究，希望能够揭示重要极限在数学领域中的重要性和应用价值，为数学研究贡献新的思想和理论。

2. 正文2.1 重要极限的定义与推广重要极限的定义与推广是微积分中的重要概念，它们为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。

我们来看一下重要极限的定义。

在数学中，极限的概念描述的是一个函数在某一点附近的行为。

具体来说，给定函数f(x)，当x趋近于某个数a时，如果f(x)的值接近于一个确定的常数L，那么我们说f(x)当x趋近于a时的极限是L，记作lim(x→a) f(x) = L。

重要极限的推广包括一些常见的极限形式，如无穷小、无穷大、洛必达法则等。

无穷小是指在x趋近于某个数时，函数值趋近于0的情况。

无穷大是指在x趋近于某个数时，函数值趋近于无穷大的情况。

两个重要极限的推广与应用摘要：极限在数学分析中占有很重要的地位，不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石。

两个重要极限又是极限中的重点和难点，所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。

我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。

当然这部分内容学习起来有一定的难度，为了帮助同学们更容易掌握这部分内容，本文将结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。

关键词： 重要极限 推广形式 应用Two important limits of popularization and applicationAbstract :Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but abasic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application.Keywords:Important limit Extended form application极限在数学分析中占有很重要的位置，它贯穿了整个数学分析的内容，是积分和微分的基石，也是一个基本概念，而利用两个重要极限1sin lim 0=→xx x 和e x x x =+∞→)11(lim 来求极限是极限内容中的重点和难点。

一个重要极限的简单推广及运用
极限理论是数学中一个重要的概念，它主要用于求解函数的极限。

极限理论的定义是：当函数的变量趋近某一值时，函数的值也趋近某一值。

因此，极限理论可以用来研究函数的行为，从而得出函数的极限。

极限理论的应用非常广泛，它可以用于求解函数的极限，以及求解数学问题的最佳解。

例如，它可以用来求解曲线的极值点，求解不定积分的最大值，求解函数的导数等。

此外，极限理论还可以用于解决实际问题。

例如，在工程计算中，极限理论可以用来估算结构物的强度，计算结构物的稳定性，以及计算某种物质的可测量量。

极限理论是一个重要的概念，它可以用于求解函数的极限，以及解决实际问题。

因此，极限理论的运用可以帮助我们更好地理解函数的行为，从而解决数学问题。