世界少年奥林匹克数学竞赛八年级海选试卷

1、若一个正整数的平方减去另一个正整数的平方等于45，则这两个正整数的和最小为：A. 5B. 7C. 9D. 11解析：设两正整数为a和b（a>b），则有a²- b²= 45，即(a+b)(a-b) = 45。

由于45可分解为1×45、3×15、5×9、9×5、15×3、45×1，考虑到a、b均为正整数且a>b，所以(a+b)与(a-b)的差应尽可能小，取5和9时满足条件，此时a=7，b=2，a+b=9。

（答案）C2、一个两位数，其十位数字与个位数字之和为9，若将这个两位数的十位数字与个位数字对调，得到的新数比原数大9，则原数为：A. 45B. 54C. 36D. 63解析：设原数十位为x，个位为9-x，原数为10x+9-x=9x+9，对调后的数为10(9-x)+x=90-9x，根据题意90-9x-(9x+9)=9，解得x=4，所以原数为45。

（答案）A3、在1至100之间，能被3整除但不能被5整除的数的个数是：A. 20B. 26C. 30D. 33解析：1至100之间能被3整除的数有33个（3,6,9,...,99），其中能被5整除的有6个（15,30,45,60,75,90），所以能被3整除但不能被5整除的数有33-6=27个，但需注意100不在此范围内，故实际个数为26个。

（答案）B4、若a、b、c为整数，且a+b+c=0，|a|+|b|+|c|=10，则a、b、c的可能取值组合有：A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组解析：考虑a、b、c的绝对值组合，满足|a|+|b|+|c|=10，且a+b+c=0，则必有正有负。

可能的组合有(5,3,2)、(4,4,2)但后者不满足a+b+c=0，故只有(5,3,2)及其排列，共4组解。

（答案）D5、一个正方形的对角线长为10cm，则这个正方形的面积为：A. 25cm²B. 50cm²C. 75cm²D. 100cm²解析：正方形的对角线将正方形分为两个等腰直角三角形，对角线作为斜边，根据勾股定理，设边长为a，则2a²=10²，解得a²=50/2=25，正方形面积为a²=25cm²。

第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛----------------------------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。

考试期间，不得使用计算工具或手机。

2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共 50分。

3. 请将答案写在本卷上。

考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数，请化至最简。

八年级地方晋级赛复赛B 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．函数123++=x x y 的自变量的取值范围是（ ） A ．x ≥－2 B ．x ＞－1 C ．x ≠－1 D ．x ≥－2且x ≠－1 2．如图，四边形ABCD 、APQR 是两个全等的正方形，CD 与PQ 相交于点E ，若∠BAP =20°， 则∠PEC 等于（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°第2题图 第4题图3．已知1)1(12=--x x ，则x 的值为（ ）A ．±1B ．－1、2C ．1、2D ．0、－14．大明因急事在运行中的自动扶梯上行走去二楼，图中线段OA 、OB 分别大致表示大明在运 行中的自动扶梯上行走去二楼和静止站在运行中的自动扶梯上去二楼时，距自动扶梯起点 的距离与时间之间的关系．下面四个图中，虚线OC 能大致表示大明在停止运行（即静止） 的自动扶梯上行走去二楼时，距自动扶梯起点的距离与时间关系的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．若关于x 的分式方程qpx n m x =--22有解，则必须满足条件（ ）A ．m ≠nB ．m ≠－nC ．np ≠－mqD ．p ≠－q，m ≠n6．如图，在△ABC 中，有一点P 在AC边上移动，若AB =AC =5，BC =6，则AP +BP +CP 的最 小值为（ ）A ．8B ．8.8C ．9.8D ．107．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积 是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形 的面积是（单位：平方厘米）（ ） A ．40 B ．25 C ．26 D ．36第6题图 第7题图 第8题图 第10题图8．如图，点P 、Q 是边长为4cm 的等边△ABC 边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，连接AQ 、CP 交于点M ，则在P、Q 运动的过程中，当△PBQ 为直角三角形时，运动时间为（ ）A ．34秒 B ．25秒或38秒 C ．25秒 D ．34秒或38秒 9．有一种近似半圆球形状的隔热钢碗，每个钢碗的内部半径都是5厘米，厚度都是均匀的0.5 厘米，如图①所示，常见钢碗叠放的方式如图②所示．某学校食堂现在要设计一批柜子存 放这样的碗，如果要确保每个柜子的正面每竖条都放6个碗，如图③所示，那么柜子的内 部高度至少是（ ）A ．16厘米B ．17厘米C ．18厘米D ．19厘米图① 图② 图③ 10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y =x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ，连接CD ，直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的 坐标为（ ） A ．（25，25） B ．（3，3） C ．（47，47） D ．（49，49）二、填空题（每小题5分，共30分）11．若整数m 满足条件2)1(+m =m +1且m ＜21，则m 的值是____________． 12． 若实数a 、b 、c 满足a+b +c =0，且a ＜b ＜c ，则一次函数y =ax +c 的图象不可能经过第_______ 象限． 13．定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2＝－1，这个数i 叫做虚数单位．那么i 1=i ，i 2=－1，i 3=－i ，i 4=1，i 5=i ，i 6=－1…，那么i 2015＝_____________．14．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC =78°，过C 点作CF ∥AB ，连 接AF 与BC 相交于点G ，若GF =2AC ，则∠BAG =_____________． 15．已知ax +by =3，ay －bx =5，则（a 2+b 2）（x 2+y 2）的值为_____________．如图，∠AOB =30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP =6，当△PMN 的周长取最小值时，则 PM 的长为_____________．三、解答题（共5小题，共50分）17．已知a =2+1，b =2－1，求ab －（abb a -）的值．（8分）18．求证：817－279－913能被45整除．（9分）19．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，点H 在AB 上，且∠EHF =90°，求证：CH ⊥AB ．（10分）20．受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调 出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米） 运费（元/斤•千米） 甲养殖场200 0.012 乙养殖场140 0.015 （1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元,则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？（5分）（2）设从甲养殖场调运鸡蛋x 斤，总运费为W 元，试写出W 与x 的函数关系式，怎样安 排调运方案才能使每天的总运费最省？（5分）21．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =32-x +4分别交x 、y 轴于B 、A 两点，将△AOB 沿直线l 2：y =2x －29折叠，使点B 落在点C 处． （1）点C 的坐标为______________；（3分）（2）若点D 沿射线BA 运动，连接OD ，当△CDB 与△CDO 面积相等时，求直线OD 的解析式；（4分）（3）在（2）的条件下，当点D 在第一象限时，沿x 轴平移直线OD ，分别交x ，y 轴于点 E ，F ，在平面直角坐标系中，是否存在点M （m ，3）和点P ，使四边形EFMP 为正 方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（6分）备用图八年级B 卷答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.C2.C3.B4.B5.D6.C7.B8.D9.B 10.D5.由分式方程q p x n m x =--22解得x =qp mqnp 22++，由原分式方程有解，得n －2x =qp mq np nq np +--+≠0．解得m ≠n ，p =－q ．6.AP +BP +CP =BP +AC ，当BP ⊥AC 时，AP +BP +CP 的值最小，作AD ⊥ BC ，AD =43522=-，S △ABC =22BP AC AD BC ⨯=⨯=25246BP=⨯， ∴BP =4.8，即AP +BP +CP 的最小值为5+4.8=9.8．7.设小正方形的边长为a ，大正方形的边长为b ，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米， 可得ab +a （b －a ）=24 ①，由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米， 可得（b －a ）2=41a 2－3②，将①②联立解方程组可得：a =4，b =5，∴大正方形的边长为5， ∴面积是25．8.设时间为t 秒，则AP =BQ =t cm ，PB =（4－t ）cm ，当∠PQB =90°时，∵∠B =60°，∴PB =2BQ ，即4－t =2t ，t =34，当∠BPQ =90°时，∵∠B =60°，∴BQ =2BP ，得t =2（4－t ），t =38， ∴当第34秒或第38秒时，△PBQ 为直角三角形．9.如图，CO 2=5，CO 1=5.5，则O 1O 2=25.555.522=-，六个碗叠放的总高度是5×25.5+5.5=25.131+5.5，∵112=121，11.52=132.25，则112＜131.25＜11.52， 11＜25.131＜11.5，∴16.5＜25.131+5.5＜17， 因此高度至少是17厘米．10.过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交AB 于N ，过D 作DH ⊥y 轴，交y 轴于H ， ∠CMP =∠DNP =∠CPD =90°，∴∠MCP +∠CPM =90°，∠MPC +∠DPN =90°， ∴∠MCP =∠DPN ，∵P （1，1），∴OM =BN =1，PM =1，在△MCP 和△NPD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠P D ,PC DPN MCP DNP CMP ，，∴△MCP ≌△NPD （AAS ），∴DN =PM ，PN =CM ， ∵BD =2AD ，∴设AD =a ，BD =2a ，∵P （1，1），∴BN =2a －1，则2a －1=1，a =1，即BD =2． ∵直线y =x ，∴AB =OB =3，在Rt △DNP 中，由勾股定理得：PC =PD =5，在Rt △MCP 中，由勾股定理得：CM =2，则C 的坐标是（0，3），设直线CD 的解析式是y =kx +3， 把D （3，2）代入得：k =－31，即直线CD 的解析式是y =－31x +3， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,331x y x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.49,49y x ，即Q 的坐标是（49，49）．二、填空题（每小题5分，共30分）11.0或－1 12.三 13.－i 14.26° 15.34 16.3 11.∵2)1(+m =m +1，∴m +1≥0，即m ≥－1，又∵m ＜21＜1，∴－1≤m ＜1且为整数， ∴m =0或－1．12.∵实数a 、b 、c 满足a +b +c =0，且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，∴一次函数y =ax +c 的图象经 过第一、二、四象限，不可能经过第三象限． 13.根据题意得：i 2015=i 2014•i ＝（i 2）1007•i ＝－i ．14.如图，取FG 的中点E ，连接EC ．∵FC ∥AB ，∴∠GCF =90°， ∴EC =21FG =AC ， ∴∠EAC =∠AEC =∠F +∠ECF =2∠F ，设 ∠BAG =x ，则∠F =x ，∵∠BAC =78°，∴x +2x =78°，∴x =26°， ∴∠BAG =26°．15.由题意得，ax +by =3 ①，ay －bx =5②，①2得a 2x 2+b 2y 2+2abxy =9③，②2得a 2y 2+b 2x 2－2abxy =25④，③+④得a 2x 2+b 2y 2+a 2y 2+b 2x 2=34，a 2（x 2+y 2）+b 2（x 2+y 2）=34，∴ (a 2+b 2)(x 2+y 2)=34． 16.作点P 关于OA 的对称点P 1，关于OB 的对称点P 2，连P 1P 2与OA 交于点M 、与OB 交 于点N ，连PM 、PN ，则此时△PMN 的周长可取最小值．∵∠AOB =30°，由对称性可知∠AOP 1=∠AOP ，∠BOP 2=∠BOP ，故∠P 1OP 2=2∠AOB =60°，又OP 1=OP =OP 2=6，∴△P 1OP 2为等边三角形． 易证得△P 1OM ≌△POM 则MP 1=MP ，∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x ， 则∠3=2x ，又OP 平分∠AOB ，则在等边△P 1OP 2中OP 也为角平分 线，故OP ⊥P 1P 2，∴∠MPO =90°－2x ，∠OPP 1=75°，∴90°－2x +x =75°，解得x =15°，∴∠3=30°，在Rt △PMG 中， 设PG =m ，则PM =2m ，MG =m 3，∴P 1P 2=4MG =4m 3，故4m 3=6， m =23，PM =3．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：∵a =2+1，b =2－1，∴ab =（2+1）（2－1）=1，a －b =2+1－2+1=2，∴ab －（abb a -）=1－（a ab b ab -）=1－（a b 11-）=1－（ab b a -）=1－（a － b ）=1－2=－1．18.证明：原式=914－99×39－913=328－327－326=326（32－3－1）=326×5=324×32×5=45×324． 所以能被45整除．19.证明：∵点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，∴DE ∥BC ，DF ∥CE ，∴四边形CEDF 是平行四边形．∵∠ACB =90°，∴四边形CEDF 是矩形， 得OD =OC =OE =OF ．在Rt △EHF 中，OH =21EF =OE =OF ，∴OH =21CD =OC =OD ， ∴在△CHD 中，∠CHO =∠OCH ，∠OHD =∠ODH ．∵∠CHO +∠OCH +∠OHD +∠ODH =180°， ∴∠CHO +∠OHD =90°，即CH ⊥AB ． 20.解：（1）设从甲养殖场调运鸡蛋x 斤，从乙养殖场调运鸡蛋y 斤，根据题意得：⎩⎨⎧=+=⨯+⨯,12002670015.0140012.0200y x y x ，解得：⎩⎨⎧==.700,500y x∵500＜800，700＜900，∴符合条件．答：从甲、乙两养殖场各调运了500斤，700斤鸡蛋；（2）从甲养殖场调运了x 斤鸡蛋，从乙养殖场调运了（1200－x ）斤鸡蛋， 根据题意得：⎩⎨⎧≤-≤,9001200,800x x 解得：300≤x ≤800，总运费W =200×0.012x +140×0.015×（1200－x ）=0.3x +2520，（300≤x ≤800）， ∵W 随x 的增大而增大，∴当x =300时，W 最小=2610元，∴每天从甲养殖场调运了300斤鸡蛋，从乙养殖场调运了900斤鸡蛋，每天的总运费最省． 21.解：（1）（0，3）；（2）①点D 在第一象限时（如图①中点D 1），∵△CDB 与△CDO 面积相等，∴CD ∥OB ， ∴点D 的纵坐标为3，当y =3时，－32×x +4=3，解得x =23，∴点D 的坐标为（23，3）， ∴直线OD 的解析式为y =2x ；②点D 在第二象限时（如图①中点D 2），AC =4－3=1，设点D 到y 轴的距离为a ，则S △CDB =S △ACD +S △ABC =21×1•a +21×1×6=21a +3，∵△CDB 与△CDO 面积相等， ∴21a +3=21×3a ，解得a =3，∴点D 的横坐标为－3，当x =－3时，y =－32×（－3）+4=2+4=6，∴点D 的坐标为（－3，6），∴直线OD 的解析式为y =－2x ．（3）如图②，设OD 平移后的解析式为y =2x +b ，令y =0，则2x +b =0，解得x =－2b， 令x =0，则y =b ，所以，OE =2b，OF =b ，过点M 作MN ⊥y 轴于N ，过点P 作PQ ⊥x 轴于 Q ，∵四边形EFMP 是正方形，∴易证△MNF ≌△FOE ≌△EQP ，∴MN =OF =EQ ，NF =OE = PQ ，∵M （m ，3），∴ON =b +2b=3，解得b =2，∴OE =1，OF =2，∴OQ =OE +QE =1+2=3， ∴点M （－2，3），点P （－3，1），故存在点M （－2，3）和点P （－3，1），使四边 形EFMP 为正方形．图① 图②。

A、6B、8C、13D、7
5．已知实数a、b、c满足a+b+c=0，abc=8， + + 的值为（）（5分）
A、正数B、零C、负数D、不能确定
二、填空题。（每题6分，共30分）
1．将长为64米的铁丝剪成两段，每段都围城一个正方形，这两个正方形面积的和的最小值是
（6分）
2．将 分解因式得结果是。（6分）
3．如果实数a、b、c满足abc＞0，a+b+c=0，a＜-b＜c，那么a、b、c的符号为（）。（5分）
A、a＞0，b＞0，c＞0
B、a＞0，b＜0，c＞0
C、a＜0，b＞0，c＜0
D、a＜0，b＜0，c＞0
4．如图所示，△ABC的边长分别为AB=14,BC=16,AC=26,P为∠BAC平分线AD上一点，且BP⊥AD,M为BC的中点，则PM长为（）。（5分）
4．已知ABCD是矩形，BC=3AB,P、Q是BC上的两个三等分点，求证：∠DBC+∠DPC=∠DQC。（9分）
5．求最小的正整数n，使在n个无理数中，总有三个数，其中每两个数之和都仍为无理数。（9分）
三、计算题。（每题9分，共45分）
1．将 分解因式的结果是 ，且a+b+c=64，求d的值。（9分）
2．设x、y为正有理数， 、 为无理数，求证： + 是什么数（有理数还是无理数）。（9分）
3．锐角三角形ABC中，已知AB=4，AC=5，BC=6，AD、BE、CF分别是边BC、CA、AB上的高，D、E、F是垂足。求 。（9分）
3．已知E、F是△ABC的AC、AB上的点。AF:AB=CE:CA=1:4，BE交CF于P，AP交BC于D,则 的值是。（6分）
4．若a+b+c=0，则 的值是（6分）

世界青少年奥林匹克数学竞赛（中国区）的试题可以分为几个不同的难度级别，包括小学、初中和高中。

以下是一份初中级别的样题：
题目：已知关于 x 的一元二次方程 x^2 - (2k + 3)x + k^2 + 3k + 2 = 0
(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两个实数根 x1，x2 满足 x1/x2 = k/ (x2 + 1)，求 k 的值。

难度解析：这道题目考察了一元二次方程的判别式和根的性质，难度适中。

需要学生掌握一元二次方程的求解方法和判别式的运用，同时还需要一定的逻辑推理能力。

第一问主要考察了判别式的应用，第二问则需要结合已知条件进行推理和计算。

总体而言，世界青少年奥林匹克数学竞赛的试题难度较高，需要学生具备扎实的数学基础和较高的数学思维能力。

通过这样的比赛，可以发现和培养具有数学天赋的人才，促进数学学科的发展和普及。