非标准有限差分法求解时滞抛物型方程

第２６卷第６期　２０１３年ｉ１月　唐山学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｔａｎｇｓｈａｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｖ０ｌ＿２６　ＮＯ．６　ＮＯＶ．２Ｏ１３　非标准有限差分法求解时滞抛物型方程　刘明鼎　，陈贵清　，张艳敏　，董保珠　（１．青岛理Ｔ大学琴岛学院基础部，山东青岛２６６１０６；２．唐山学院基础教学部，河北唐山０６３０００）　摘要：提出求解时滞抛物型方程的非标准有限差分法，其特点是在对微分方程中关于时间一阶导数　项进行离散时，利用时间步长的函数　（△　）代替分母△￡，通过稳定性分析可以看出该格式是条件稳　定的，数值算例表明该方法有很高的精度。　关键词：时滞抛物型方程；非标准有限差分法；稳定性　中图分类号：Ｏ２４１．８２　文献标志码：Ａ文章编号：１６７２—３４９Ｘ（２０１３）０６—０００５—０２　Ｎｏｎｓｔａｎｄａｒｄ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｄｅｌａｙ　Ｐａｒａｂｏｌｉｃ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ＬＩＵ　Ｍｉｎｇ－ｄｉｎｇ　，ＣＨＥＮ　Ｇｕｉ—ｑｉｎｇ　，ＺＨＡＮＧ　Ｙａｎ．ｍｉｎ　，ＤＯＮＧ　Ｂａｏ．ｚｈｕ　（１．Ｑｉｎｄａｏ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｑｉｎｇｄａｏ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ　２６６１０６，Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｂａｓｉｃ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，　Ｔａｎｇｓｈａｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｔａｎｇｓｈａｎ　０６３０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｐｒｏｐｏｓｅｓ　ｔｈｅ　ｎｏｎｓｔａｎｄａｒｄ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ（ＮＳＦＤ）ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ｄｅ—　ｌａｙ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｈｉｃｈ　ｒｅｐｌａｃｅｓ　ｔｈｅ　ｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒ　Ａｔ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｔｉｍｅ　ｓｔｅｐ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ。（△￡）ｆｏｒ　ａ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｔｉｍｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｉｎ　ａ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｐｒｏｖｅｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍａｔ　ｉｓ　ｃｏｎ－　ｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ　ａｎｄ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｈａｓ　ｈｉｇｈ　ａｃｃｕｒａｃｙ．　Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ：ｄｅｌａｙ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｎｏｎｓｔａｎｄａｒｄ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　Ｏ　引言　在自然科学和工程领域中，很多现象的发生都可以归结　为延迟微分方程模型，而时滞抛物型方程便是其中之一。对　于这些方程的研究引起了很多数学工作者的关注，其中对解　的性质的研究论文较多ｒ］　］，而对数值解法的研究论文较　少。本文将探讨求解如下时滞抛物型方程初边值问题：　ｆ　一ｎ。　＋“（ｘ￣ｔ－ｒ）４－ｆ（ｘ，ｔ），　ｌ　（ｚ，￡）∈（ｏ，Ｌ）×（ｏ，Ｔ］　，（１）　ｌ　ｕ（ｘ，　）一　（ｚ，￡），　（ｚ，　）∈（ｏ，Ｌ）ｘ［一ｒ，ｏ］　ｌｕ（Ｏ，￡）一ｇ０（￡），ｕ（Ｌ，￡）一ｇ１（￡），ｔ　Ｅ［一ｒ，Ｔ］　并利用非标准有限差分法进行求解。（１）中ｎ，ｒ，Ｌ，Ｔ都是给　定的正常数，ｆ，ｐ，ｇ。，ｇ　都是给定的函数，并假定定解问题　（１）的解存在且唯一。　１　预备知识　非标准有限差分法是Ｍｉｃｋｅｎｓ提出的用于研究微分方　程精确差分格式或最佳差分格式及其求解数值解的方法，其　主要有如下４个规则：　Ｉ．微分方程中的导数项离散后所得离散方程的阶数与　原导数阶数一致。例如：一阶导数　的离散方式应该为警一　，而不是警一　０　ａ　Ⅱ．导数项离散后的分母表达式为时间步长或者空间步　长的函数。例如：Ｔｄｕ一　±Ｌ＿＿坠，　一毕，ｈ为步长。　（Ｉｔ　０　’　ｎ　Ⅲ．非线性项的离散采用非局部离散方式　例如：　ｕ２一　＋１　ｕ　。　Ⅳ．对于微分方程解所具有的性质，离散后方程也应保　持其性质不变。例如，若微分方程的解满足０＜ｕ（ｘ，ｆ）≤１，　则所对应的数值解也要满足０＜“　≤１。　２　非标准有限差分格式的构造　取时间步长Ａｔ一寺，Ｐ∈Ｚ上，空间步长ｈ一南，Ｍ　Ｅ　，记ｚ　一　，ｔ　一ｎａｔ，ｕ（ｘ　，ｔ　）≈“　。将时滞抛物型方程　（１）式在点（ｚ　，ｔ　）处离散，得　收稿日期：２０１３—０７—３０　基金项目：国家自然科学基金（１１２７１１０１）　作者简介：刘明鼎（１９８２一），男，辽宁大连人，讲师，硕士，主要从事偏微分方程数值解研究。

　・　６　・　唐山学院学报　第２６卷　一口２　ｇｔ（　ｈ＋　＋　，（２）　∞（△￡）　）　…。　’　一　其中　（／ｘｔ）一Ａｔ＋ｏ（Ａｔ），ｇｔ（ｈ　）＝ｈ　＋ｏ（ｈ　）。在本文取　（Ａｔ）一ｅ　一１，　（矗　）：ｈ　，得非标准有限差分格式　Ｕｍｍｂ　ｌ－Ｕｎｔｏ一０．２垡　－二＿　孚　＋Ｍ　＋　。　（３）ｈ　ｅ　～１　。　’　。　…　令ｙ　ｚ　，并对式（３）进一步整理，得　“　一　ｌ＋（１—２ｙ）“：十　一ｌ＋（ｅ　一１）（“　＋　）。　（４）　由式（４）可以看出该离散方程为一个显式方程，称其为　非标准有限差分显格式。　３　稳定性的证明　定义１　ｌ｝Ｑ　一￣／Ｑ　Ｑ的最大特征值。　引理１　若Ｑ是实对称矩阵，则｛Ｉ　Ｑ　ｌ『＾一．０（Ｑ）。　定理１　当），≤÷时非标准有限差分格式稳定。　证明　引进误差向量　ｅ　一ｕ　～　，　（５）　其中　为差分格式（４）式的精确解向量，　为“　的近似值。　不失一般性，假设　的误差产生于ｎ一０层，在此之前误　差均为０，即　ｅｎ一０，一ｐ≤ｎ＜０，　（６）　则误差满足方程　ｅ　一Ｃｅ　＋（ｅ　一１）ｅｎ－ｐ，　（７）　其中，Ｃ＝（１　２７）Ｉ＋　，ｓ—ｔｅｉｄｉａｇ（１，０，１）是三对角矩阵，　Ｊ是单位矩阵。　对式（７）两端同时取范数，有　ｌｌ　ｅ　≤＿ｌ　ｃ　ｌｌ　ｅ　ｌｌ＾＋（ｅ　一１）ｌｌ　ｅ一　。（８）　矩阵ｃ的特征值为　Ａ　一１—４ｙｓｉｎ　，　（９）　令ｆ　Ａ　Ｉ…≤１，则有　ｌ—ｃ　ｌ＿４ｙｓｉｎ　警ｌ≤１，　（１ｏ）　由此解得　ｙ≤÷。　（１１）　因为矩阵Ｃ是实对称矩阵，所以当ｙ≤÷时，由引理１　得ｌ【ｃ　≤１。因此由（８）式，得　ｌｌ　ｅ　≤ｌｌ　ｅ　ｌＩ＾＋ｚ　ｌ＿ｅ　，　（１２）　其中ｌ１一（ｅ　一１）＞０。　下面用数学归纳法证明存在一个常数Ｋ＞０，使得　ｌＪｅ　≤Ｋ　０＜　≤［　］。　（１３）　首先，对于ｋ一１，２，…，Ｐ，反复利用式（１２），得　【Ｉ　ｅ　≤ｌｌ　ｅ　＋ｚ　ｌｌ　ｌ【＾≤ｌｌ　ｅ　＋　ｚ　ｌｌ　ｅ。ｌｌ＾≤Ｉｌ　ｅｋ　＋２ｚ　ｌｌ　ｅ。ｌＩ＾≤…≤１ｌ　ｅ。　＋　｛ｆ　ｅ。｝ｆ　一（１＋ｋｌ　）｝ｆ　ｅ。　。　（１４）　又因为　ｆ　一ｅ　一１一Ａｔ十等ｅ　≤Ａｔ＋　专ｅ　，０≤目≤１，　所以　ｌ　ｅｋ　≤（１＋ｋｌ　）Ｉｌ　。Ｉｌ＾≤（１＋　＋妻ｅｒ）ｌｌ　。　兰　Ｒ　ｌｌ　ｅ。ｌｌ一岛。　（１５）　显然，不等式（１５）对ｋ＝０也成立，因此有　ｌ【ｅ　《ｆ　≤＆，ｋ一０，ｌ，２，…，Ｐ。　（１６）　假设对０≤ｍ≤［　］一１成立如下不等式　ｌｌ　ｅ　≤　，ｋ一０，１，２，…，Ｐ，　（１７）　则当ｋ一１，２，…，Ｐ时，由式（１２）和（１７），有　ｌｌ　ｅ　”舛　ｌｌ＾≤　ｅ　“　舛　＋ｚｌ　ｌｌ　ｅ　“　≤　ｌｌ　ｅ　“　升　＋ｚ１　。　（１８）　反复利用式（１８），得　ＩＩ　ｅ　“　≤ｌｌ　ｅｍＰ　＿ｌ＾＋　≤（１＋ｋｌ　）　≤　Ｒ８　一　＋１，　（１９）　显然不等式（１９）对　一０也成立。故对任意的ｍ都成立　ｌｌ　ｅ　“　升　ｌＩ＾≤　＋１，ｋ一０，１，２，…，Ｐ。　（２０）　又因为　＋ｌ—Ｒ　一Ｒ　１一…一Ｒ　，　（２１）　所以由以上分析可知，对Ｖｔ　一￡　ⅢＥ　ｉ－ｏ，Ｔ３（这里０≤　ｍ≤［　］，０≤ｋ≤Ｐ一１）都存在误差估计：　ｌｌ　ｅ　≤ＪＩ　ｅ　ｌＪ＾≤　一Ｒ　。≤尺　≤　ＲＥ　１　ｌｌ　ｅ。　。　（２２）　故稳定性得证。　４　数值算例　考虑如下定解问题：　一　＋“（　，　一１）一　一２ｚ２—２，（ｚ，ｆ）∈（０，１］　×（Ｏ，１］，　ｕ（ｘ，￡）一２ｘ　＋ｔ，ｔ∈［一ｌ，ｏ］，　ｕ（Ｏ，　）＝ｔ，“（１，　）一２＋ｔ，ｔ　Ｅ［一１，１］，　该问题的精确解为ｕ（ｘ，　）：２ｘ　＋ｔ。　取　一０．１，　一。．０ｏ１，则），＝ｎ　一０－１ｏｏ　１　所得到数值解的相对误差以及取ｈ一０．１，Ａｔ一０，０００　１，则　ｙ—ｎ　一ｏ．ｏ１ｏ　Ｏ１所得到数值解的相对误差见　表１。　（下转第３５页）

　第６期　张红娟：模糊自整定ＰＩＤ控制在石英炉温度控制系统中的仿真　・　３５　・　图４模糊自整定ＰＩＤ控制与常规ＰＩＤ控制系统　图５模糊自整定ＰＩＤ控制与常规ＰＩＤ控制仿真结果　参考文献：　Ｅｌｉ　Ｅ２］　方崇智．过程辨识［Ｍ］．北京：清华大学出版社，１９８８：　１９９—２００．　张德丰．ＭＡＴＬＡＢ／Ｓｉｍｕｌｉｎｋ建模与仿真实例精讲　［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２０１１：３４０—３４２．　（责任编校：李秀荣）　（上接第６页）　表１相对误差　从表１可以看出，利用非标准有限差分法求解结果精度　高。因此该方法是一个有效的方法。　５　结论　本文利用时间步长的函数９ｆｉＡｔ）代替分母　，取ｐ（　）一　１，构造了一个非标准有限差分格式。数值算例表明，当　（　）取０．００１时，相对误差最大为ｅ　数量级，取０．０００　１时　相对误差最大为ｅ　数量级，精度非常高。　参考文献：　Ｅｌｉ　［２］　［３］　Ｅ４］　刘安平，肖莉，刘婷，等．抛物型时滞偏微分方程解振动　的充要条件［Ｊ］．纯粹数学与应用数学，２００３，１９（３）：　２３ｌ一２３３．　燕居让．脉冲时滞抛物型方程解的振动性［Ｊ］．数学学　报，２００４，４７（３）：５７９—５８６．　刘安平．非线性中立双曲型偏微分方程解的振动性质　［Ｊ］．应用数学与力学，２００２，２３（６）：６０４—６１０．　Ｒｏｎａｉｄ　Ｅ　Ｍｉｃｋｅｎｓ．Ｎｏｎｓｔａｎｄａｒｄ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｆｏｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，２００２，８（９）：８２３—８４７．　（责任编校：夏玉玲）