含参量反常积分一致收敛性的判别法

德州学院 数学科学学院 2013届 信息与计算科学专业 毕业论文

1 含参量反常积分一致收敛的判别法

王 明 星

（德州学院数学科学学院,山东德州 253023）

摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握.

关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法

含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法.

1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念

1.1 含参量无穷限反常积分

设函数(,)fxy定义在无界区域,,Rxyaxbcy上,若对每一个固定的,xab,反常积分

(,)cfxydy

都收敛,则它的值是x在,ab上取值的函数,当记这个函数为()Ix时,则有

()(,)cIxfxydy,,xab

称(,)cfxydy为定义在,ab上的含参量无穷限反常积分.

1.2 含参量无穷限反常积分收敛

若含参量无穷限反常积分(,)cfxydy与函数()Ix对每一个固定的

,xab,任给的正数,总存在某一实数Nc,使得MN时,都有

(,)()McfxydyIx,

即

(,)Mfxydy,

则称含参量无穷限反常积分(,)cfxydy在,ab上收敛于()Ix. 德州学院 数学科学学院 2013届 信息与计算科学专业 毕业论文

2 1.3 含参量无穷限反常积分一致收敛

若含参量无穷限反常积分(,)cfxydy与函数()Ix对任给的正数,存在某一实数Nc,使得MN时,对一切,xab,都有

(,)()McfxydyIx

即

(,)Mfxydy,

则称含参量无穷限反常积分(,)cfxydy在,ab上一致收敛于()Ix.

1.4 含参量无穷限反常积分非一致收敛

若含参量无穷限反常积分(,)cfxydy与函数()Ix,总存在正数0,对任意给定的实数Nc,总存在MN及0,xab,使得

000(,)()McfxydyIx,

即

00(,)Mfxydy,

则称含参量无穷限反常积分(,)cfxydy在,ab上非一致收敛于()Ix.

2 含参量无穷限反常积分一致收敛的判别法

2.1 用定义法证明含参量反常积分一致收敛性和非一致收敛性

用定义证一致收敛的关键在于寻找只与有关的共同的0A,方法常常是采取适当放大的方法.

例1 证明 无穷积分dxyexy0在区间,a0a一致收敛,而在0,上非一致收敛.

证明 AyAytAxyedtexytdxyey令),,0(,对0,取yA1ln0,则0AA,有 德州学院 数学科学学院 2013届 信息与计算科学专业 毕业论文

3 0AyxyAyAyedxee,

因此,dxyeAxy在（0,+）是收敛的.

根据定义4,要想证明dxyeAxy在),0(y是非一致收敛的,只需取0e21,,0A取),0(21,2''AyAAA,则

01''''eedxeyyAAxy.

但dxyeAxy在),[a一致收敛（其中0a）,,取aA1ln0,当0AA时,对一切,ay,有

aAAyAxyeedxye0.

所以,dxyeAxy在),[ay（其中0a）上一致收敛.

2.2 用柯西准则证明含参量无穷限反常积分一致收敛性和非一致收敛性

定理1（柯西准则）反常积分dxyxfa),(在区间dcyI,一致收敛0,00A,10AA与20AA,yI,21),(AAdxyxf.

例2 证明 若,fxy在,,abc上连续,又

,cfxydy

在,ab上收敛,但在xb处发散,则

,cfxydy 德州学院 数学科学学院 2013届 信息与计算科学专业 毕业论文

4 在,ab上不一致收敛.

证 用反证法.假若积分在,ab上一致收敛,则对于任给0,总存在Mc,当1A,2AM时对一切,xab恒有

21,AAfxydy.

由假设,fxy在12,,abAA上连续,所以21,AAfxydy是x的连续函数.在上面不等式中令xb,得到当21AAM时,

21,AAfbydy.

而是任给的,因此,cfxydy在xb处收敛,这与假设矛盾.所以积分,cfxydy在,ab上不一致收敛.

2.3 用魏尔斯特拉斯判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性

定理2（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数gy,使得

,fxygy,axb,cy

若

cgydy

收敛,则反常积分

(,)cfxydy

在区间,ab一致收敛.

例3 证明含参量反常积分320cosautetdt,0a在0,u上一致收敛.

证 对于任何,0,0,ut,有

322cosautatete

而20atedt在0a时收敛,故由维尔斯特拉斯判别法知 德州学院 数学科学学院 2013届 信息与计算科学专业 毕业论文

5 320cosautetdt

在0,u上一致收敛.

使用维尔斯特拉斯判别法,关键在于将被积函数的绝对值(,)fxu适当地放大,以找出函数()Fx（优函数）,使

(,)(),fxuFxxauI

且

adxxF

收敛,则

adxuxf,

关于u在I上一致收敛.

2.4 利用变上限积分的有界性判定含参量无穷限反常积分的一致收敛性

维尔斯特拉斯判别法是判别某些反常积分一致收敛性的很简便的判别法,但这种方法有一定的局限性：凡能用维尔斯特拉斯判别法判别无穷积分是一致收敛,此无穷积分必然是绝对收敛；如果反常积分是一致收敛,同时又是条件收敛,那么就不能用维尔斯特拉斯判别法来判别.对于这种情况,有如下定理

定理3 若函数),(yxf在区间)0(),,(aIyxaD连续,且

dtytfyxFxa),(),(

在D有界,即,),(,0DyxC都有

CdtytfyxFxa),(),(,

则当0时,反常积分

dxxyxfa),( 德州学院 数学科学学院 2013届 信息与计算科学专业 毕业论文

6 在区间I一致收敛.

分析 )idtytfyxFxa),(),(在D有界)ii1x在0时是单调递减的,明显的满足狄利克雷判别法的条件.

证 )i由已知

dtytfyxFxa),(),(

在D有界,即,,COxyD,都有

CdtytfyxFxa),(),(.

)ii对每一个yI,1x关于x是单调递减且当x时,对参变量y,1x一致收敛于0,则由狄利克雷判别法可知含参量反常积分

dxxyxfa),(

在区间I一致收敛.

例4 证明反常积分

dxxxexysin0

在区间),0[一致收敛.

证 由题可知tdteyxFxytsin),(1,)0,1(),(yxDyx从而有)(01)1(2),(2yeyyyxFy,

而10sinytetdt是定积分,必然有界.即存在C,,xyD有

0sinxytetdtC

又10,则由定理3可知反常积分 德州学院 数学科学学院 2013届 信息与计算科学专业 毕业论文

7 dxxxexysin0

在区间),0[一致收敛.

2.5 用确界法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性和非一致收敛性

在知道反常积分dxyxfa),(关于y在区间I上的收敛值y时,可应用下述定理

定理4 含参量反常积分

dxyxfa),(

关于y在区间I上一致收敛于y的充要条件是

0)(),(suplimaIyydxyxf. (1)

证 [必要性] 若

dxyxfa),(

关于y在区间I上一致收敛于y,则对任给的正数,存在不依赖于x的正整数N,当nN时,有

,afxydxy,yI.

由上确界的定义,亦有

sup,yIafxydxy.

这就证明了(1)式成立.

[充分性] 由假设,对任给的0,存在正整数N,使得当nN时,有

sup,yIafxydxy （2） 德州学院 数学科学学院 2013届 信息与计算科学专业 毕业论文

8 因为对一切yI,总有

,sup,yIaafxydxyfxydxy.

故由（2）式得

,afxydxy.

于是

dxyxfa),(

关于y在区间I上一致收敛于y.

例5 证明反常积分dxyxy0221关于y在)0(),,[cc上的一致收敛性和),0(内的非一致收敛性.

解 显然dxyxy0221关于y在),0(内收敛于2

（事实上220lim1AAydxxy=0limarctanAAxy=limarctanarctan0AAy=2）.