专题01 一元二次方程章末重难点题型(举一反三)(解析版)
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专题01 一元二次方程章末重难点题型【举一反三】
【考点1 一元二次方程的概念】
【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【例1】（2018秋•茂名期中）下面关于x的方程中：①220axx；②223(9)(1)1xx；③13xx；④22(1)0aaxa； ⑤11xx．一元二次方程的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【答案】解：①ax2+x+2＝0，当a＝0时，该方程属于一元一次方程，故错误；
②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1、④（a2+a+1）x2﹣a＝0符合一元二次方程的定义，故正确；
③x+3＝属于分式方程，故错误；
⑤＝x﹣1属于无理方程，故错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．
【变式1-1】（2018秋•准格尔旗期中）关于x的方程2(1)320axx是一元二次方程，则( )
A．0a B．0a C．1a D．1a
【分析】根据“关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程”，得到二次项系数a﹣1≠0，解之即可．
【答案】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
a≠1，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2018秋•汨罗市期中）方程||(2)4310mmxxm是关于x的一元二次方程，则(
)
A．2m B．2m C．2m D．2m
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【答案】解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，
由解得得m＝±2且m≠﹣2，
∴m＝2．
故选：B．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【变式1-3】（2018春•杭州期中）已知关于x的方程21(1)230mmxx是一元二次方程，则m的值为(
)
A．1 B．1 C．1 D．不能确定
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式，进而得出答案．
【答案】解：∵关于x的方程（m+1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，
∴m+1≠0，m2+1＝2，
解得：m＝1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，注意二次项系数不能为零是解题关键．
【考点2 一元二次方程的解】
【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二
次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
【例2】（2018秋•金牛区校级期中）如果关于x的一元二次方程22(3)390mxxm有一个解是0，那么m的值是( )
A．3 B．3 C．3 D．0或3
【分析】把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【答案】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，得
m2﹣9＝0，
解得m＝﹣3或3，
当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．
【变式2-1】（2019春•岱岳区期中）已知m是方程2210xx的一个根，则代数式2242019mm的值为( )
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m＝1，再把2m2﹣4m+2019表示为2（m2﹣2m）+2019，然后利用总体代入的方法计算．
【答案】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∴2m2﹣4m+2019＝2（m2﹣2m）+2019
＝2×1+2019
＝2021．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了总体代入的计算方法．
【变式2-2】（2019春•蚌埠期中）若方程20(0)axbxca中，a，b，c满足0abc和0abc，则方程的根是( )
A．1，0 B．1，0 C．1，1 D．无法确定
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．
【答案】解：在这个式子中，如果把x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．
故选：C．
【点睛】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．
【变式2-3】（2018秋•桐梓县期中）m是方程210xx的根，则式子3222018mm的值为( )
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】由m是方程的根，可得m2+m＝1，变形m3+2m2+2018为m3+m2+m2+2018，然后整体代入得结果
【答案】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m＝1
∵m3+2m2+2018
＝m3+m2+m2+2018
＝m（m2+m）+m2+2018
＝m+m2+2018
＝1+2018
＝2019．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义及整体代入的思想，解决本题的关键是利用根的定义得关于m的等式，变形m3+2m2+2018后整体代入．
【考点3 用指定方法解一元二次方程】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.
【例3】（2018秋•镇原县期中）用指定的方法解下列方程：
（1）24(1)360x（直接开平方法）
（2）22510xx （配方法）
（3）(1)(2)4xx（公式法）
（4）2(1)(1)0xxx（因式分解法）
【分析】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；
（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；
（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；
（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【答案】解：（1）方程变形得：（x﹣1）2＝9，
开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）方程变形得：x2﹣x＝﹣，
配方得：x2﹣x+＝（x﹣）2＝，
开方得：x﹣＝±，
则x1＝，x2＝；
（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，
这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵△＝1+24＝25，
∴x＝，
则x1＝3，x2＝﹣2；
（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．
【变式3-1】（2019秋•上栗县校级月考）按指定的方法解下列方程：
（1）2670xx（配方法）
（2）226(3)xx（因式分解法）
（3）23410xx（公式法）
（4）25(1)10x（直接开平方法）
【分析】（1）利用配方法解出方程；
（2）利用因式分解法解出方程；
（3）利用公式法解出方程；
（4）利用直接开平方法解出方程．
【答案】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0
x2﹣6x+9＝7+9
（x﹣3）2＝16
x﹣3＝±4
x1＝7，x2＝﹣1；
（2）2x﹣6＝（x﹣3）2
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0
x1＝3，x2＝5；
（3）3x2﹣4x+1＝0
x＝
x1＝1，x2＝；
（4）5（x+1）2＝10
x+1＝±
x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
【变式3-2】（2019秋•来宾期中）按指定的方法解下列方程：
（1）21(21)3202x（直接开平方法）
（2）23410xx（配方法）
（3）270xx（公式法）
（4）2133xx（因式分解法）
【分析】（1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可；
（2）利用配方法解方程求得答案；
（3）利用公式法，首先判别式△的值，继而求得答案；
（4）利用因式分解法求得方程的解即可．
【答案】解：（1））（2x﹣1）2﹣32＝0
整理，得（2x﹣1）2＝64，
2x﹣1＝±8，
解得：x1＝，x2＝﹣；
（2）3x2+4x+1＝0
3x2+4x＝﹣1，
x2+x＝﹣，
x2+x+＝﹣+，
（x+）2＝
x+＝±，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣1；
（3）x2﹣x﹣7＝0
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣7）＝29，
