浅谈归纳推理在生活中的应用
美辰
师大学（省 150025）
指导教师鲍曼教授
摘要：归纳推理是一个思维逻辑很强的推理，是数学中非常重要的一部分。归纳法更是
应用到初高中数学的课本中，成为学生对于初等逻辑的认识。逻辑学中的归纳推理在法律，医学，哲学中都可以应用，是一个涉及多门学科的重要逻辑思维。本篇论文主要讨论归纳推
理的定义、分类、性质、和在生活中的应用，着重讨论多种归纳方法之间的不同和相同之处，对比其间的特点和作用，通过比较更加深刻的了解归纳方法的思路，讨论如何利用归纳推理
的逻辑思维来研究生活中出现的问题。
关键字：归纳逻辑定义性质应用
通过以往的学习我们知道在学习数学的过程中，逻辑思维尤为重要。归纳法是数学中非常重要的证明方法，在解决命题真假起到重要的作用。
一．归纳推理的定义
归纳推理是由个别事物或现象推出该类事物或现象的普遍规律的推理。它是一种非论证的推理。归纳推理可以根据其前提是否涉及了一类事物中的全部对象，分为完全归纳和不完全归纳推理两大类。例1：
直角三角形角和是180度：锐角三角形角和是180度;钝角三角形交合是180度；直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形；所以，一切三角形角和都是180度。
这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形角和分别都是180度，这些个别性知识，推出了“一切三角形角和都是180 度”这样的一般性结论，就属于归纳推理。
（一）不完全归纳推理定义
不完全归纳推理，就是根据其类事物中部分对象具有或不具有的某一属性，推出该类全部对象具有或不具有该属性的结论的归纳推理。
（二）完全归纳推理的定义
在研究某类事物的一切特殊情况或没一个子类的情况后所得到的共同属性的基础上，作出关于该事物的一般性结论的推理方法，成为完全归纳推理（又称完全归纳法）。
说明1.传统逻辑的不完全归纳推理，包括简单枚举归纳推理和科学归纳推理两种。
2.完全归纳法一般有两种相似的推理形。
二．不完全归纳和完全归纳推理的分类
（一）不完全归纳推理的分类
1.简单枚举归纳推理
（1）简单枚举归纳推理的定义
简单枚举归纳推理是以经验的认识为主要依据，从某种的多次重复而又未发现反例，来推出一般性的结论。
简单枚举归纳推理又称为简单枚举法。
例2：
强奸案有社会危害性，
诈骗案有社会危害性，
抢劫案有社会危害性，
：
：
强奸案、诈骗案、抢劫案是刑事案件的部分案件，并且在考察中 没有遇到相矛盾的情况 ；
所以，所有刑事案件都有社会危害性。
例3：2
11121211-==? 6
1513016515
14120154141311214313
12161321-==?-==?-==?-==?
.....
由此，可以归纳出恒等式
111)1(1+-=+?n n n n （n=1,2,3......） 例4：
54321154
321103
2162
131
1++++=+++=++=+==
......
由此可以设想：对于任意的N n ∈有
222222)...4321(......4321n n ++++=+++++
2)2
)1((
+=n n （2）简单枚举的逻辑形式
S1是（或不是）P,
S2是（或不是）P,
S3是（或不是）P,
：
：
Sn 是（或不是）P, S1… Sn 是S 类的部分对象，并且在考察中没有遇到相对矛盾的情况，
所以，所有S 是（或不是）P 。
（3）简单枚举法的特征极其作用
简单枚举法的结论所断定的围超出了前提所断定的围，前提与结
论之间的联系是或然的，并且，其结论的推出依赖于没有遇到反例，没有遇到反例并不等于反例不存在，一旦发现反例，结论立刻被推翻，因此，它具有猜测的性质。
尽管简单枚举法的结论是或然的，但它仍然有不可忽视的认识作
用。第一，在日常工作和生活中，它是初步概括生活和实践经验的重要手段。在工作和生活中，人们对一些重复出现的情况，在没有遇到反例的情形下，往往用简单枚举法进行概括，探求客观事物的规律，以指导自己的行动。如，“燕子低飞要下雨”，就是用简单枚举法概括出来的。产品质量的抽样检验，工作情况的检查和总结，往往应用简单枚举法。第二，在科学研究中，简单枚举法是初步发现客观规律以及提出关于这些规律的假说的重要手段。如数学史上著名的哥德巴赫猜想，即每个不小于4的偶数都是两个素数之和，就是应用简单枚举法提出来的
（4）提高简单枚举法结论的可靠性应该注意的问题
一类事物中被考察的对象越多，结论的可靠性就越大。
一类事物中被考察的对象围越广，结论的可靠性就越大。
如果只是根据少量粗略的事实，就推出一般性的结论，就会犯“轻率概括”或“以偏概全”的逻辑错误。
2.科学归纳推理
（1）科学归纳推理的定义
科学归纳推理，是根据对某类中部分对象与其属性间的因果联系的认识，推出有关该类对象的一般性质。
例5：金受热后体积膨胀;
银受热后体积膨胀;
铜受热后体积膨胀;
铁受热后体积膨胀;
因为金属受热后,分子的凝聚力减弱,分子运动加速,分子彼此距离加大,从而导致膨胀,而金,银,铜,铁都是金属;
所以,所有金属受热后体积都膨胀.
（2）科学归纳推理的逻辑形式
科学归纳推理的形式如下:
S1是P
S2是P
……
Sn是P
S1,S2,…,Sn是S类的部分对象,其中没有Si(1≤i≤n)不是P ;并且科学研究表明,S和P之间有因果联系
所以,所有S都是P。
（3）如何提高科学归纳推理结论的可靠程度
为了提高科学归纳推理结论的可靠程度，必须注意以下两点：
①被考察的对象必须具有典型性；
②必须有相应的科学理论作指导，能给对象与其属性之间的因果联系以理论方面的解释。
（4）科学归纳推理的作用
同简单枚举归纳推理一样，科学归纳推理也广泛地运用于日常生活和科学研究。其作用也有这么两个
一是开拓认识领域，扩大新知识；
二是辅助论证，增强论证的说服力。
3.科学归纳推理与见到你枚举归纳推理的关系
科学归纳推理与简单枚举归纳推理相比，既有相同之处，也有相异之处。
(1)其相同之处是：
①二者都属于不完全归纳推理
②二者的前提都只是考察了一类中的部分对象；
③二者的结论都是对一类的全部对象的断定，结论所断定的知识围都超出了前提的围，前提与结论的联系都不是必然的。
科学归纳推理虽然以科学分析为主要依据，但科学分析本身仍然是要受到主客观条件（如，研究者所掌握的背景知识、当时的科技水平等）制约的。
(2)二者相异之处是：
①推理根据不同。简单枚举归纳推理是以经验认识为根据，依据
某种属性在某类的部分对象中的不断重复，并且没有遇到反例；
科学归纳推理则是以科学分析为主要根据，需要进一步分析这些对象与其属性之间的因果联系。
②前提数量的多少对于结论的意义不同。对简单枚举归纳推理而
言，前提所考察的对象数量越多，结论就越可靠；但对科学归纳推理而言，前提所考察的对象数量的多少对结论的可靠程度不起主要作用，只要是真正揭示了对象与其属性之间的因果联系，即使前提所考察的对象数量不多（甚至只有一个），也能得到较为可靠的结论。
③结论的可靠程度不同。虽然二者的结论都是或然的，但科学归纳
推理的结论的可靠程度比简单枚举归纳推理的结论的可靠程度要高。
2.完全归纳法
（1）完全归纳法的定义
在研究某类事物的一切特殊情况或每一个子类的情况后所得到的共同属性的基础上，作出关于该事物的一般性结论的推理方法，成为完全归纳推理（又称为完全归纳法）。
例6：
已知欧洲有矿藏,亚洲有矿藏,非洲有矿藏,北美洲有矿藏,南美洲有矿藏,大洋洲有矿藏,南极洲有矿藏,而欧洲,亚洲,非洲,北美洲,南美洲,大洋洲,南极洲是地球上的全部,所以,地球上所有
都有矿藏。
例7：
市的人口总数超过900万，
市的人口总数超过900万 ，
市的人口总数超过900万，
市的人口总数超过900万；
、、、是中国的四个直辖市。
所以， 中国所有的直辖市的人口总数都超过了900万。
例8,是正的，则差若是两个有理数，试证：设b a b a b a ->,
从而
则）若（由算术可知）若（：
，可分为三种情况考察证：设.0,0,02.0,0,01≥-≤>>->>>b b a b a b a b a
0)(>-+=-b a b a
0)(,,0,0,03>-+=->->-<><≤b a b a a b b b
a b a b a 知
从而由此时知则由）若（
（2）完全归纳推理的逻辑形式
逻辑形式如下:
S1是P
S2是P
……
Sn 是P
S1,S2,…,Sn 是S 类的全部对象
所以,所有S 都是P
（3）完全归纳推理的特征
因为完全归纳推理是由个别知识前提推出一般性知识结论的推理，并且结论是由前提必然推出的，完全归纳推理的结论是对一类所有对象的认识的概括，所以它能使人们的认识从个别上升到一般，使人们对某一类事物的认识深化，这正是完全归纳推理的认识作用。为了证明某个一般性结论的正确，就可以列举、考察被研究对象的每一个情况的成立，通过完全归纳推理证明这个一般性结论的正确性。此外，完全归纳推理还常常被用作科学发现的方法。
当然，由于完全归纳推理要求被讨论的某类事物的所有对象必须一一列举出来，加以考察和断定，从而其对象的数量必须是有限的，因此，完全归纳推理的应用就有一定的局限性，它只适用于有限对象的事物类别，遇到一些对象无限的事物类别时，就不能使用完全归纳推理了。
（2）完全归纳推理的作用
因为完全归纳推理是由个别知识前提推出一般性知识结论的推理，并且结论是由前提必然推出的，完全归纳推理的结论是对一类所有对象的认识的概括，所以它能使人们的认识从个别上升到一般，使人们对某一类事物的认识深化，这正是完全归纳推理的认识作用。为了证明某个一般性结论的正确，就可以列举、考察被研究对象的每一个情况的成立，通过完全归纳推理证明这个一般性结论的正确性。此外，完全归纳推理还常常被用作科学发现的方法。
当然，由于完全归纳推理要求被讨论的某类事物的所有对象必须一一列举出来，加以考察和断定，从而其对象的数量必须是有限的，因此，完全归纳推理的应用就有一定的局限性，它只适用于有限对象的事物类别，遇到一些对象无限的事物类别时，就不能使用完全归纳推理了。
（3）完全归纳推理两方面的作用
认识作用：完全归纳推理根据某类事物每一对象都具有某种属性, 推出该类事物都具有该种属性,使人们的认识从个别
上升到了一般.比如,上面根据"地球上的"这一类事物的每个对象都有"有矿藏"这一属性,得出"地球上
所有都有矿藏"的结论,就体现了完全归纳推理的认识作用.
论证作用：因为完全归纳推理的前提和结论之间的联系是必然
的,所以常被用作强有力的论证方法。
三．归纳法的作用
（一）归纳法是揭示规律的重要手段
（二）归纳法是培养抽象概括能力的有效途径
（三）归纳法其实人们用特殊化方法解一般问题。
四．归纳法的应用
例9：
平面上有n 个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过同一点， 求证这n 个圆分平面为n 2－n ＋2个部分．
证明：（1）当n ＝1时，n 2－n ＋2＝1－1＋2＝2，而一个圆把平面分成 两部分，所以n ＝1时命题成立．
（2）设当n ＝k 时，命题成立，即k 个圆分平面为k 2－k ＋2个 部分，则n ＝k ＋1时，第k ＋1个圆与前k 个圆有2k 个交 点，这2k 个交点把第k ＋1个圆分成2k 段，每一段把原 来的所在平面一分为二，故共增加了2k 个平面块，共有 k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2个部分． ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．
由（1）（2）可知，这个圆把平面分成n 2－n ＋2个部分． 例10：
是否存在一个等差数列{n a }，使得对任何自然数n ，等式：
1a +2a +33a +…+n na =)2)(1(++n n n
都成立，并证明你的结论．
解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．解得
1a =6，2a =9，3a =12， 则d=3．
故存在一个等差数列a n =3n+3，当n=1，2，3时，已知等 式
成立．
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n+3，对大于3的
自然数，等式
1a +22a +33a +…+n na =n(n+1)(n+2)都成立．
因为起始值已证，可证第二步骤．
假设n=k 时，等式成立，即
1a +22a +33a +…+k ka =k(k+1)(k+2)
那么当n=k+1时，
a 1+2a 2+3a 3+…+k ka +(k+1)1 k a
= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3]
=(k+1)(k 2+2k+3k+6)
=(k+1)(k+2)(k+3)
=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]
这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列a n =3n+3使
a 1+2a 2+3a 3+…+n na =n(n+1)(n+2)成立．
综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n+3，对任何自然数n ，等
式a 1+2a 2+3a 3+…+n na n(n+1)(n+2)都成立．
按照一般的观点，归纳推理指的是以个别知识作为前提推出一般性知识作为结论的推理。前提是一些关于个别事物或现象的判断，而结论是关于该事物或现象的普遍性判断。除完全归纳推理外，归纳推理结论的断定围超出了前提的断定围，结论与前提间只具有或然性的联系，即前提真，结论未必真。除完全归纳推理外的归纳推理都是或然性的推理。
归纳推理是逻辑学中非常重要的组成部分，是逻辑思维突出的重要显现。在初高中数学教学中初等逻辑归纳法的渗透，可以更好的帮助学生解决一般问题，学会逻辑思维的模式。归纳推理是归纳逻辑中的一个分支，是一种或然性推理，它在社会实践中应用广泛，是人们探求新知识的重要工具，在人们的思维活动中占有十分重要的地位。
参考文献
【1】平辛伦，数学归纳法史速，人民教育， 1995
【2】文君，恩华，数学逻辑学概论，教育，1995
Showing inductive reasoning in the life of the application MeiChenLiu
Harbin normal university
(heilongjiang Harbin 150025)
Abstract: the inductive reasoning is a thinking logic strong reasoning, is a very important part of mathematics. It is applied to high school math textbooks, become the student for elementary logic understanding. The logic of the inductive reasoning in law, medicine, can be applied in philosophy, is a different subjects involving the important logical thinking. This paper mainly discusses the inductive reasoning of the definition, classification, characteristics, and in the life of the application, this paper discusses the different variety of inductive method and between same, contrast it features and functions, by comparing more profound understanding of the thinking of the inductive method, discusses how to use inductive reasoning logic thinking to
study the problems in life.
Key words: inductive logic definition application properties