湖南省株洲市2019-2020学年高二数学上学期期中试题 文

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分。

）1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，c＝2，B＝30°，则△ABC的面积为（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用三角形面积公式求解其面积即可.【详解】由三角形面积公式得得面积.本题选择A选项.【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.2.下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项（）A. 380B. 39C. 35D. 23【答案】A【解析】【详解】因为数列{}，那么将四个选项代入,可知,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.3.直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式，则这个动点的运动区域(用阴影表示)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合所给的不等式首先确定其所表示的区域，然后结合选项确定正确选项即可.【详解】由题意可知，表示直线上方的区域，结合所给的选项，只有A选项符合题意.故选：A.【点睛】本题主要考查不等式所表示的平面区域的确定，属于基础题.4.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )A. 9B. 12C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项性质即可得出．【详解】解：∵{an}是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．故选：D．【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．5.已知是等比数列，，则公比=（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.【详解】由等比数列的性质可得：，即：，解得：.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.6.若且，则下列不等式中一定成立的是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：因为，那么利用不等式的性质可知，当c等于零时，选项B，C不成立。

2019-2020年高二上学期期中数学试卷含解析(I)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是__________．2．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为__________命题．（填“真”、“假”）3．若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于__________．4．“x2＜1”是“0＜x＜1”成立的__________条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是__________．6．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为__________．7．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是__________．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为__________．9．已知点A是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=c （c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是__________．10．若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|•|PF2|=64，则∠F1PF2=__________．11．点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为__________．12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下__________滴．13．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，SA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为__________．14．如图所示，A，B，C是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是__________．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）设命题，命题q：关于x的方程x2+x﹣a=0有实根．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．16．（14分）如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求三棱锥D﹣ACE的体积．17．（14分）已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）2+（y﹣m）2=16的内部，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”．（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．18．（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程．19．（16分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面ADP；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．2015-2016学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．已知命题p：∃x∈R，e x＜0，则¬p是∀x∈R，e x≥0．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，e x＜0是特称命题，∴￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥0【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题．（填“真”、“假”）【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑；推理和证明．【分析】写出原命题的逆命题，再由不等式的基本性质，判断真假，可得答案．【解答】解：命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为：“若a＜bam2＜bm2，则am2＜bm2”，当m=0时，显然不成立，故为假命题；故答案为：假【点评】本题考查的知识点是四种命题，不等式的基本性质，难度不大，属于基础题．3．若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于4．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程即可求出m的值．【解答】解：椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），可得，解得m=4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．4．“x2＜1”是“0＜x＜1”成立的必要不充分条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；转化思想；分析法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．【解答】解：由x2＜1⇔﹣1＜x＜1推不出0＜x＜1，由0＜x＜1⇒x2＜1，∴“x2＜1”是“x＜1”的必要不充分，故答案为：必要不充分．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是l∥A1C1．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由A1C1∥AC，得A1C1∥平面AB1C，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，由线面平行的性质定理，得l∥A1C1．【解答】解：因为A1C1∥AC，A1C1不包含于平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，又因为A1C1在底面A1B1C1D1内，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，根据线面平行的性质定理，得l∥A1C1．故答案为：l∥A1C1．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】由于与双曲线有共同的渐近线，故方程可假设为，再利用过点（2，2）即可求【解答】解：设双曲线方程为∵过点（2，2），∴λ=3∴所求双曲线方程为故答案为【点评】本题的考点是双曲线的标准方程，主要考查待定系数法求双曲线的标准方程，关键是方程的假设方法．7．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是②．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】应用题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】对于四个选项利用线面平行与垂直以及面面平行与垂直的定理，公理逐个进行判断即可．【解答】解：①．若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或l∥α，故①错；②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α，故②对；③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交，或l与m异面，故③错；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β或l∥β或l⊂β，或l与β相交．故④错．故答案为：②【点评】本题主要考查空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系．是对课本定理，公理以及推论的考查，是基础题．8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离．【分析】通过侧面展开图的面积，求出圆锥的母线长与底面圆的半径，即可求出圆锥的高．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以母线长为l=2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr=2π，所以底面圆半径为r=1，所以该圆锥的高为h===．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥体的侧面展开图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．9．已知点A是椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=c（c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意把|AF|用含有a，b的代数式表示，结合|AF|=c列式得到关于a，c的方程，转化为关于e的方程得答案．【解答】解：如图，由+=1（a＞b＞0），得，∴，取x=c，可得，∵|AF|=c，∴|AF|2=，整理得：c4﹣3a2c2+a4=0，即e4﹣3e2+1=0，解得（舍）或，∴．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆通径的应用，是基础的计算题．10．若F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|•|PF2|=64，则∠F1PF2=．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程求出焦距，利用双曲线的定义和余弦定理能求出∠F1PF2．【解答】解：由，得a2=9，b2=16，∴c=5，∴|F1F2|=2c=10，设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=6，∴，∵|PF1||PF2|=64，∴，∴cos∠F1PF2==，∴∠F1PF2=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线是几何性质，考查双曲线的定义，注意余弦定理的合理运用，是中档题．11．点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为3．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据椭圆方程设出x=3cosθ，y=sinθ，表示出S利用两角和公式化简整理后，根据正弦函数的性质求得S的最大值．【解答】解：椭圆+y2=1，设x=3cosx，y=sinx∴x+3y=3cosx+3sinx=3sin（x+）≤3．∴最大值为3．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下75滴．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；方程思想；等体积法；空间位置关系与距离．【分析】设每分钟滴下k（k∈N*）滴，由圆柱的体积公式求出瓶内液体的体积，再求出k滴球状液体的体积，得到156分钟所滴液体体积，由体积相等得到k的值．【解答】解：设每分钟滴下k（k∈N*）滴，则瓶内液体的体积=156πcm3，k滴球状液体的体积=mm3=cm3，∴156π=×156，解得k=75，故每分钟应滴下75滴．故答案为：75．【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，解答的关键是对题意的理解，然后正确列出体积相等的关系式，属中档题．13．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，SA=2，则此三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为36π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．14．如图所示，A，B，C是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e 的方程，代入选项即可得到答案．【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又=1，解得m=，n=，即有A（，），B（﹣，﹣），又F（c，0），由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有=﹣1，又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2，可得x=，y=﹣，将C（，﹣）代入双曲线方程，化简可得（b2﹣a2）=a3，由b2=c2﹣a2，e=，得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，可得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）设命题，命题q：关于x的方程x2+x﹣a=0有实根．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】（1）若p为真命题，根据根式成立的条件进行求解即可求a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，得到p与q一真一假，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，故p为真命题时a的取值范围为[0，3]．（2）故q为真命题时a的取值范围为由题意得，p与q一真一假，从而当p真q假时有a无解；当p假q真时有∴．∴实数a的取值范围是．【点评】本题主要考查复合命题的真假判断以及真假关系的应用，求出命题成立的等价条件是解决本题的关键．16．（14分）如图：已知正方形ABCD的边长为2，且AE⊥平面CDE，AD与平面CDE所成角为30°．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求三棱锥D﹣ACE的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AB ∥CD ，利用直线与平面平行的判定定理证明AB ∥平面CDE ． （2）证明CD ⊥平面ADE ，CD ⊥DE ．通过体积转化V D ﹣ACE =V A ﹣CDE ．求解即可． 【解答】证明：（1）正方形ABCD 中，AB ∥CD ，又AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， 所以AB ∥平面CDE ．（2）因为AE ⊥平面CDE ，AD 与平面CDE 所成角为30°∴∠ADE=30°∴AE=1 因为AE ⊥平面CDE ，且CD ⊂平面CDE ，所以AE ⊥CD ，又正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AE ∩AD=A ，AE ，AD ⊂平面ADE ， 所以CD ⊥平面ADE ，又DE ⊂平面ADE ， 所以CD ⊥DE ． ∵． ∴．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．17．（14分）已知命题p ：点M （1，3）不在圆（x+m ）2+（y ﹣m ）2=16的内部，命题q ：“曲线表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题s ：“曲线表示双曲线”．（1）若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围；（2）若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假． 【专题】计算题；对应思想；综合法；简易逻辑． 【分析】（1）分别求出p ，q 为真时的m 的范围，根据“p 且q ”是真命题，得到关于m 的不等式组，解出即可；（2）先求出s 为真时的m 的范围，结合q 是s 的必要不充分条件，得到关于t 的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若p 为真：（1+m ）2+（3﹣m ）2≥16 解得m ≤﹣1或m ≥3， 若q 为真：则解得﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4 若“p 且q ”是真命题， 则，解得﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4； （2）若s 为真，则（m ﹣t ）（m ﹣t ﹣1）＜0， 即t ＜m ＜t+1，由q 是s 的必要不充分条件， 则可得{m|t ＜m ＜t+1}{m|﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4}，即或t≥4，解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4．【点评】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，考查集合的包含关系，是一道中档题．18．（16分）已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足，求△ABF外接圆的方程．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由题意可得：，∴，进而求出椭圆的方程．（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），设A（x0，y0），则根据题意可得：x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，再联立椭圆的方程可得：A（0，﹣1）或，进而根据圆的有关性质求出元得方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，…∴，∴，…所以椭圆C的标准方程是．…（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），…设A（x0，y0），则，∵，∴x0﹣（y0﹣1）=2，即x0=1+y0，…代入，得：或，即A（0，﹣1）或．…当A为（0，﹣1）时，|OA|=|OB|=|OF|=1，△ABF的外接圆是以O为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x2+y2=1；…当A为时，k BF=﹣1，k AF=1，所以△ABF是直角三角形，其外接圆是以线段BA为直径的圆．由线段BA的中点以及可得△ABF的外接圆的方程为．…（14分）综上所述，△ABF的外接圆的方程为x2+y2=1或．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的方程中a，b，c之间的关系，以及圆的有关性质与向量的数量积表示．19．（16分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．（1）求证：CE∥平面ADP；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）取棱AP中点F，连接DF，EF，证明四边形EFDC为平行四边形，可得CE∥DF，即可证明CE∥平面ADP；（2）证明CE⊥平面PAB，利用CN∥DF，可得DF⊥平面PAB，即可证明平面PAD⊥平面PAB；（3）存在，．取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，证明NQ⊥平面ABCD，即可得出结论．【解答】（1）证明：取棱AP中点F，连接DF，EF．∵EF为△PAB的中位线，∴EF∥AB，且∵CD∥AB，且，∴EF∥CD，且EF=CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF∵DF⊂平面ADP，CE⊂平面ADP，∴CE∥平面ADP（2）证明：由（1）可得CE∥DF∵PC=BC，E为PB的中点，∴CE⊥PB∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD∴AB⊥平面PBC又∵CE⊂平面PBC，∴AB⊥CE又∵CE⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB⊂平面PBC，∴CE⊥平面PAB∵CN∥DF，∴DF⊥平面PAB又∵DF⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB；（3）解：存在，．证明：取BC中点O，连结AO交MD于Q，连结NQ，在平面ABCD中由平几得，∴∥OP．∵O为等腰△PBC底边上的中点，∴PO⊥BC，∵PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD，∴NQ⊥平面ABCD，∵NQ⊂平面DMN，∴平面DMN⊥平面ABC．【点评】本题考查线面垂直、线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用离心率公式和联立直线方程和椭圆方程，求得A的坐标，解方程可得a，b；（2）求出椭圆方程，求得A，B的坐标，①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设出直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4），联立直线方程求出M，N的坐标，可得直线MN的斜率；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，同理求得M，N的坐标，可得直线MN的斜率．【解答】解：（1）因为e==，即c2=a2，即a2﹣b2=a2，则a2=2b2；故椭圆方程为+=1．由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=4，所以OA=2，即b2+b2=20，解得b2=12；故a=2，b=2；（2）证明：由（1）知，椭圆E的方程为，从而A（4，2），B（﹣4，﹣2）；①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），显然k1≠k2；，所以k CB=﹣；同理k DB=﹣，于是直线AD的方程为y﹣2=k2（x﹣4），直线BC的方程为y+2=﹣（x+4）；∴，从而点N的坐标为；用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为；∴，即直线MN的斜率为定值﹣1；②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（4，﹣2）；仍然设DA的斜率为k2，由①知k DB=﹣；此时CA：x=4，DB：y+2=﹣=﹣（x+4），它们交点M（4，）；BC：y=﹣2，AD：y﹣2=k2（x﹣4），它们交点N（，﹣2），从而k MN=﹣1也成立；由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求出交点，考查分类讨论的思想方法，注意直线的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于难题．。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,已知数列{an}是等差数列，若a1=2，a4=2a3，则公差d=（）A. 0B. 2C.D.若b≠0，则“a，b，c成等比数列”是“b=”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件在等差数列{an}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为，且满足S3=S15，则Sn的最大项为（）A. B. C. D.数列{an}满足a1=2，an+1=，则a2019=（）A. B. C. D. 2若不等式ax2-bx+c＞0的解集是（-2，3），则不等式bx2+ax+c＜0的解集是（）A. B.C. D.如果关于x的不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0对一切实数x 恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.设常数a＞0，若对一切正实数x成立，则a的取值范围为（）A. B. C. D.数列{an}满足an=，则数列{}的前n项和为（）A. B. C. D.已知a＞0，b＞0，且满足a+b=1，则的最小值为（）A. 7 B. 9 C. 4 D.已知数列{an}满足{an}=，若对于任意的n∈N*都有an＞an+1，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A. 0B. 1C.D. 3二、填空题（本大题共6小题）等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若，则a=______．已知p：|x-a|＜4，q：-x2+5x-6＞0，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为______．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=______，S5=______．等比数列{an}中，如果a3•a4•a6•a7=81，则a1•a9的值为______．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．下列命题中：①若a2+b2=2，则a+b的最大值为2；②当a＞0，b＞0时，；③函数的最小值为2；④当且仅当a，b均为正数时，恒成立．其中是真命题的是______．（填上所有真命题的序号）三、解答题（本大题共2小题）已知{an}为各项均为正数的等比数列，a1=1，a5=256；Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1=2，5S5=2S8．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设Tn=a1b1+a2b2+…anbn，求Tn．已知函数f（x）=x2+ax-b（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=2a2-3a+1时，解关于x的不等式f（x）≤0；（Ⅱ）若正数a，b满足，且对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a，b的值．2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,已知数列{an}是等差数列，若a1=2，a4=2a3，则公差d=（）A. 0B. 2C.D.若b≠0，则“a，b，c成等比数列”是“b=”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件在等差数列{an}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为，且满足S3=S15，则Sn的最大项为（）A. B. C. D.数列{an}满足a1=2，an+1=，则a2019=（）A. B. C. D. 2若不等式ax2-bx+c＞0的解集是（-2，3），则不等式bx2+ax+c＜0的解集是（）A. B.C. D.如果关于x的不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.设常数a＞0，若对一切正实数x成立，则a的取值范围为（）A. B. C. D.数列{an}满足an=，则数列{}的前n项和为（）A. B. C. D.已知a＞0，b＞0，且满足a+b=1，则的最小值为（）A. 7B. 9C. 4D.已知数列{an}满足{an}=，若对于任意的n∈N*都有an＞an+1，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A. 0B. 1C.D. 3二、填空题（本大题共6小题）等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若，则a=______．已知p：|x-a|＜4，q：-x2+5x-6＞0，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为______．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=______，S5=______．等比数列{an}中，如果a3•a4•a6•a7=81，则a1•a9的值为______．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．下列命题中：①若a2+b2=2，则a+b的最大值为2；②当a＞0，b＞0时，；③函数的最小值为2；④当且仅当a，b均为正数时，恒成立．其中是真命题的是______．（填上所有真命题的序号）三、解答题（本大题共2小题）已知{an}为各项均为正数的等比数列，a1=1，a5=256；Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1=2，5S5=2S8．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设Tn=a1b1+a2b2+…anbn，求Tn．已知函数f（x）=x2+ax-b（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=2a2-3a+1时，解关于x的不等式f（x）≤0；（Ⅱ）若正数a，b满足，且对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a，b的值．。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题（本大题共8小题）1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x时只记得，忘记了n的值，但输出v的值为56，则可推断出输入n 的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 无法推断出【答案】C【解析】【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的i，v 的值，当时，不满足条件时跳出循环，输出v的值，由此列方【详解】解：初始值为n，，模拟程序运行过程如下；，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，不满足条件，退出循环，输出v的值为，即，解得．故选：C．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，正确依次写出每次循环得到的i，v值是解题的关键，属于中档题．2.有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有（）A. 3B. 6C. 12D. 24【答案】B【解析】根据题意，分2步进行分析：在4本书中任选2本，分给甲；剩下的2本送给乙；由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本，分2步进行分析：在4本书中任选2本，分给甲，有种情况，剩下的2本送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法；故选：B．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．3.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )A. 31.6岁B. 32.6岁C. 33.6岁D. 36.6岁【答案】C【解析】先根据频率分布直方图中频率之和为计算出数据位于的频率，再利用频率分布直方图中求中位数的原则求出中位数．【详解】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，所以，数据位于的频率为，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，所以，中位数位于区间，设中位数为，则有，解得（岁），故选C．【点睛】本题考查频率分布直方图的性质和频率分布直方图中中位数的计算，计算时要充分利用频率分布直方图中中位数的计算原理来计算，考查计算能力，属于中等题．4.大学生小赵计划利用假期进行一次短期职业体验，已知小赵想去某单位体验，单位领导告知每天上班的时间单位：小时和工资单位：元如下表所示：则小赵这段时间每天工资y与每天工作时间x满足的线性回归方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求．【详解】解：，．，．小赵这段时间每天工资y与每天工作时间x满足的线性回归方程为．故选：B．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．5.对具有线性相关关系的两个变量x，y，测得一组数据如表所示：根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为，则（）A. 119B. 120C. 129D. 130【答案】B【解析】【分析】由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解的值．【详解】解：，，样本点的中心的坐标为，代入线性回归方程，得，解得．故选：B．【点睛】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即＝5.5,5出现的次数最多，故＝5，≈5.97于是得.考点：统计初步.7.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的四位数中，大于3145且小于4231的数共有（）A. 27个B. 28个C. 29个D. 30个【解析】【分析】根据题意，按四位数的千位数字不同,分2种情况讨论：求出每种情况下四位数的个数，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况，四位数的千位数字为3，其百位数字1时，有3152,3154符合条件，其百位数字可以为2、4、5时，有3种情况，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有种情况，此时,有个符合条件的四位数；四位数的千位数字为4，其百位数字为1时，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有种情况，其百位数字为2时，只有4213、4215符合条件，此时有个符合条件的四位数；则有个符合条件的四位数；故选：B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A. 192B. 336C. 600D. 以上答案均不对【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合计数原理，先排E，F，G，然后根据A，B，C，D的情况讨论．【详解】解：E，F，G分别有4，3，2种方法，当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种，若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法，若C与F不同，则此时D有2种方法，故此时共有：种方法；当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法，若C与F相同，C有1种方法，同时D有2种方法，若C与F不同，则D有1种方法，故此时共有：种方法；当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法，若B与F相同，则C必须与A相同，同时D有2种方法；若B不同于F，则B有1种方法，Ⅰ若C与F相同则C有1种方法同时D有2种方法；Ⅱ若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时D有2种方法；故此时共有：种方法；综上共有种方法．故选：C．【点睛】本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题．二、填空题（本大题共4小题）9.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数，，那么输出的p等于______.【答案】210【解析】【分析】讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足，退出循环，从而求出p的值.【详解】解：模拟程序的运行，可得，，，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，不满足条件，退出循环，输出p的值为210．故答案为：210．【点睛】本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，解题的关键是弄清循环次数，属于基础题．10.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数是______．【答案】46【解析】【分析】由茎叶图和中位数的性质能求出该样本的中位数．【详解】解：由茎叶图得：该样本的中位数是：．故答案为：46．【点睛】本题考查中位数的求法，考查茎叶图和中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中F为半椭圆的右焦点，A是圆弧与x轴的交点，过点F的直线交“曲圆”于P，Q两点，则的周长取值范围为______【答案】【解析】【分析】首先判断直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，求得F，A的坐标，以及圆的圆心和半径，求得直线PQ经过圆与y轴的交点B，C的倾斜角，分别讨论当时，当，时，当时，P，Q的位置，结合椭圆的定义和圆的定义和等腰三角形的性质，可得的周长的范围．【详解】解：显然直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，由半椭圆方程为可得，圆弧方程为：的圆心为，半径为2，且恰为椭圆的左焦点，，与y轴的两个交点为，，当直线PQ经过B时，，即有；当直线PQ经过C时，，即有．当时，Q、P分别在圆弧：、半椭圆上，为腰为2的等腰三角形，则，的周长；当时，P、Q分别在圆弧：、半椭圆上，为腰为2的等腰三角形，且，的周长；当时，P、Q在半椭圆上，的周长．综上可得，的周长取值范围为．故答案为：．【点睛】本题是圆与椭圆的综合问题，考查椭圆和圆的定义和性质，以及直线的倾斜角的范围，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力，属于中档题．12.4名大学生毕业到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是______【答案】60【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：，4名大学生中录用3人，，4名大学生全部录用，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：4名大学生中录用3人，有种录取情况；4名大学生全部录用，有种录取情况，则有种录用种数；故答案为：60．【点睛】本题考查分步计数原理应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．三、解答题（本大题共3小题）13.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】【详解】（1）直方图如图，（2）质量指标值的样本平均数为.质量指标值的样本方差为.（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.14.为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．附．．已知该生物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程；我们常用来刻画回归的效果，其中越接近于1，表示回归效果越好．求．已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？【答案】（1）；（2）；（3）89分.【解析】【分析】计算、，求出回归系数、，写出回归方程；利用回归方程计算y对应值，求出相关系数的值；利用回归方程计算时的值即可．【详解】解：计算，；；，所以y关于x的线性回归方程是；由题意，填表得8083计算相关系数；所以接近于1，表示回归效果越好；第6次考试该生的数学成绩达到132，计算，预测他的物理成绩为89分．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也看出来相关系数的应用问题，是中档题．15.如图，椭圆，抛物线，过上一点异于原点作的切线l交于A，B两点，切线l交x轴于点Q．若点P的横坐标为1，且，求p的值．求的面积的最大值，并求证当面积取最大值时，对任意的，直线l均与一个定椭圆相切．【答案】（1）6；（2），证明见解析.【解析】【分析】不妨设计算出AQ，BQ的长度代入条件计算出p 值；设则令，则l：表示出的面积，求出其最大值，验证直线l与椭圆相切；【详解】解：点，由对称性不妨设．于是，于是所以点Q是的左焦点．设焦准距为．类比抛物线的焦半径算法可得．于是，于是，所以．设于l：．于是令，则l：．联立．设，．．当且仅当取等，且满足所以的面积的最大值为．注意到即为这个等式类似于；于是猜想椭圆联立得：；；故当面积取最大值时，直线l均与一个定椭圆相切．【点睛】本题考查圆锥曲线的切线，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积的最值，均值不等式求最值，属于难题．2019-2020学年高二数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题（本大题共8小题）1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x时只记得，忘记了n的值，但输出v的值为56，则可推断出输入n的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 无法推断出【答案】C【解析】【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的i，v的值，当时，不满足条件时跳出循环，输出v的值，由此列方程求出n的值．【详解】解：初始值为n，，模拟程序运行过程如下；，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，不满足条件，退出循环，输出v的值为，即，解得．故选：C．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，正确依次写出每次循环得到的i，v 值是解题的关键，属于中档题．2.有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有（）A. 3B. 6C. 12D. 24【答案】B【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：在4本书中任选2本，分给甲；剩下的2本送给乙；由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本，分2步进行分析：在4本书中任选2本，分给甲，有种情况，剩下的2本送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法；故选：B．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．3.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )A. 31.6岁B. 32.6岁C. 33.6岁D. 36.6岁【答案】C【解析】【分析】先根据频率分布直方图中频率之和为计算出数据位于的频率，再利用频率分布直方图中求中位数的原则求出中位数．【详解】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，所以，数据位于的频率为，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，所以，中位数位于区间，设中位数为，则有，解得（岁），故选C．【点睛】本题考查频率分布直方图的性质和频率分布直方图中中位数的计算，计算时要充分利用频率分布直方图中中位数的计算原理来计算，考查计算能力，属于中等题．4.大学生小赵计划利用假期进行一次短期职业体验，已知小赵想去某单位体验，单位领导告知每天上班的时间单位：小时和工资单位：元如下表所示：则小赵这段时间每天工资y与每天工作时间x满足的线性回归方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求．【详解】解：，．，．小赵这段时间每天工资y与每天工作时间x满足的线性回归方程为．故选：B．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．5.对具有线性相关关系的两个变量x，y，测得一组数据如表所示：根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为，则（）A. 119 B. 120 C. 129 D. 130【答案】B【解析】【分析】由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解的值．【详解】解：，，样本点的中心的坐标为，代入线性回归方程，得，解得．故选：B．【点睛】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即＝5.5,5出现的次数最多，故＝5，≈5.97于是得.考点：统计初步.7.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的四位数中，大于3145且小于4231的数共有（）A. 27个B. 28个C. 29个D. 30个【答案】B【解析】【分析】根据题意，按四位数的千位数字不同,分2种情况讨论：求出每种情况下四位数的个数，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况，四位数的千位数字为3，其百位数字1时，有3152,3154符合条件，其百位数字可以为2、4、5时，有3种情况，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有种情况，此时,有个符合条件的四位数；四位数的千位数字为4，其百位数字为1时，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有种情况，其百位数字为2时，只有4213、4215符合条件，此时有个符合条件的四位数；则有个符合条件的四位数；故选：B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A. 192B. 336C. 600D. 以上答案均不对【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合计数原理，先排E，F，G，然后根据A，B，C，D的情况讨论．【详解】解：E，F，G分别有4，3，2种方法，当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种，若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法，若C与F不同，则此时D有2种方法，故此时共有：种方法；当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法，若C与F相同，C有1种方法，同时D有2种方法，若C与F不同，则D有1种方法，故此时共有：种方法；当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法，若B与F相同，则C必须与A相同，同时D有2种方法；若B不同于F，则B有1种方法，Ⅰ若C与F相同则C有1种方法同时D有2种方法；Ⅱ若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时D有2种方法；故此时共有：种方法；综上共有种方法．故选：C．【点睛】本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题．二、填空题（本大题共4小题）9.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数，，那么输出的p等于______.【答案】210【解析】【分析】讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足，退出循环，从而求出p的值.【详解】解：模拟程序的运行，可得，，，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，不满足条件，退出循环，输出p的值为210．故答案为：210．【点睛】本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，解题的关键是弄清循环次数，属于基础题．10.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数是______．【答案】46【解析】【分析】由茎叶图和中位数的性质能求出该样本的中位数．【详解】解：由茎叶图得：该样本的中位数是：．故答案为：46．【点睛】本题考查中位数的求法，考查茎叶图和中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中F为半椭圆的右焦点，A是圆弧与x轴的交点，过点F的直线交“曲圆”于P，Q两点，则的周长取值范围为______【答案】【解析】【分析】首先判断直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，求得F，A的坐标，以及圆的圆心和半径，求得直线PQ经过圆与y轴的交点B，C的倾斜角，分别讨论当时，当，时，当时，P，Q的位置，结合椭圆的定义和圆的定义和等腰三角形的性质，可得的周长的范围．【详解】解：显然直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，由半椭圆方程为可得，圆弧方程为：的圆心为，半径为2，且恰为椭圆的左焦点，，与y轴的两个交点为，，当直线PQ经过B时，，即有；当直线PQ经过C时，，即有．当时，Q、P分别在圆弧：、半椭圆上，为腰为2的等腰三角形，则，的周长；当时，P、Q分别在圆弧：、半椭圆上，为腰为2的等腰三角形，且，的周长；当时，P、Q在半椭圆上，的周长．综上可得，的周长取值范围为．故答案为：．【点睛】本题是圆与椭圆的综合问题，考查椭圆和圆的定义和性质，以及直线的倾斜角的范围，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力，属于中档题．12.4名大学生毕业到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是______【答案】60【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：，4名大学生中录用3人，，4名大学生全部录用，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：4名大学生中录用3人，有种录取情况；4名大学生全部录用，有种录取情况，则有种录用种数；故答案为：60．【点睛】本题考查分步计数原理应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．三、解答题（本大题共3小题）13.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】【详解】（1）直方图如图，（2）质量指标值的样本平均数为.质量指标值的样本方差为.（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.14.为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．附．．已知该生物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程；我们常用来刻画回归的效果，其中越接近于1，表示回归效果越好．求．已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？【答案】（1）；（2）；（3）89分.【解析】【分析】计算、，求出回归系数、，写出回归方程；利用回归方程计算y对应值，求出相关系数的值；利用回归方程计算时的值即可．【详解】解：计算，；；，所以y关于x的线性回归方程是；由题意，填表得8083计算相关系数；所以接近于1，表示回归效果越好；第6次考试该生的数学成绩达到132，计算，预测他的物理成绩为89分．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也看出来相关系数的应用问题，是中档题．15.如图，椭圆，抛物线，过上一点异于原点作的切线l交于A，B两点，切线l交x轴于点Q．若点P的横坐标为1，且，求p的值．求的面积的最大值，并求证当面积取最大值时，对任意的，直线l均与一个定椭圆相切．【答案】（1）6；（2），证明见解析.【解析】【分析】不妨设计算出AQ，BQ的长度代入条件计算出p值；设则令，则l：表示出的面积，求出其最大值，验证直线l与椭圆相切；【详解】解：点，由对称性不妨设．于是，于是所以点Q是的左焦点．设焦准距为．类比抛物线的焦半径算法可得．于是，于是，所以．设于l：．于是令，则l：．联立．设，．．当且仅当取等，且满足所以的面积的最大值为．注意到即为这个等式类似于；于是猜想椭圆联立得：；；故当面积取最大值时，直线l均与一个定椭圆相切．【点睛】本题考查圆锥曲线的切线，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积的最值，均值不。