下载文档原格式
选择公理与zorn引理选择公理与Zorn引理选择公理与Zorn引理是数学中的两个重要概念，它们在集合论和拓扑学等领域中有着广泛的应用。
本文将对选择公理和Zorn引理进行介绍，并探讨它们的关系和应用。
一、选择公理选择公理是集合论中的一个基本假设，它可以用来证明很多重要的结论。
选择公理的内容是这样的：对于任意一个非空的集合，都存在一个选择函数，可以从该集合中选择一个元素出来。
选择函数的存在性意味着在任意一个非空集合中，我们总是可以作出选择。
这个选择函数并不是唯一的，它可以有很多种不同的形式。
选择公理的一种常见应用是证明无限集合中必然存在可数集合。
在实际应用中，选择公理可以帮助我们建立一些重要的定理，比如泛函分析中的Hahn-Banach定理、拓扑学中的Tychonoff定理等。
选择公理的引入为数学研究提供了一个统一的框架，极大地推动了数学的发展。
二、Zorn引理Zorn引理是选择公理的一个等价形式，它在拓扑学、代数学、优化理论等领域中有着广泛的应用。
Zorn引理的内容是这样的：如果一个偏序集中的每个链（即全序子集）都有上界，那么这个偏序集中必然存在一个极大元素。
简单来说，Zorn引理告诉我们，如果一个偏序集中的每个链都有上界，那么这个偏序集中就存在一个元素，它在偏序关系下没有比它更大的元素。
Zorn引理的证明相对较为复杂，通常需要借助选择公理或其他等价形式的公理来完成。
Zorn引理在代数学中有着广泛的应用，比如证明理想存在性定理、超限归纳原理等。
在拓扑学中，Zorn引理常用于证明拓扑空间的紧性、连通性等性质。
Zorn引理为我们研究偏序集和序列的性质提供了一种有力的工具。
三、选择公理与Zorn引理的关系选择公理和Zorn引理是等价的，它们表达的是同样的思想：在某些情况下，我们总是可以进行选择。
选择公理是一种比较直观的表述，而Zorn引理则更加形式化和抽象。
选择公理可以通过Zorn引理的推演得到，而Zorn引理则可以通过选择公理的推演得到。
交S-超连续偏序集毛徐新;徐罗山【摘要】利用偏序集上的Scott S-集,引入了交S-超连续偏序集概念,探讨了交S-超连续偏序集的性质、刻画及与S-超连续偏序集、拟S-超连续偏序集等之间的关系.主要结果有:(1)交S-超连续的格一定是分配格;(2)有界完备偏序集(简记为bc-poset)L是交S-超连续的当且仅当对任意x∈L及子集A,当∨A存在时有x∧∨A=∨{x∧a:a∈A};(3)有界完备偏序集S-超连续的当且仅当它是交S-超连续且拟S-超连续的;(4)获得了反例说明分配的完备格可以不是交S-超连续格,连续格也可以不是交S-超连续格.%The concept of meet supercontinuity for posets is introduced. Properties and characterizations of meet superconti-nuity, as well as relationships of meet supercontinuity with supercontinuity and quasi supercontinuity are given. Main results are:(1)A lattice which is also meet supercontinuous must be distributive;(2)A bounded completeposet(bc-poset, for short)L is meet supercontinuous iff ?x∈L and every subset A for which ∨A exists, one has x∧∨A=∨{ x∧a:a∈A };(3) A bounded complete poset is supercontinuous iff it is meet supercontinuous and quasi supercontinuous;(4)Some counterexamples are constructed to show that a distributive complete lattice needn't be a meet supercontinuous lattice and a continuous lattice needn't be a meet supercontinuous lattice.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2017(053)004【总页数】5页(P15-18,24)【关键词】ScottS-集;交S-超连续偏序集;S-超连续偏序集;分配格【作者】毛徐新;徐罗山【作者单位】南京航空航天大学理学院,南京 210016;扬州大学数学科学学院,江苏扬州 225002【正文语种】中文【中图分类】O153.1;O189.1MAO Xuxin,XU Luoshan.Computer Engineering and Applications,2017,53（4）：15-18.狭义的Domain理论[1-2]是建立在定向完备偏序集即dcpo的基础之上，致使最基本且结构最丰富的实数集ℝ，自然数集ℕ不能作为Domain看待。
偏序集基数幂的格性质
偏序集基数幂（partial order set power，简称POSP）是一种有着明确定义
的偏序关系的数学结构，它可以帮助人们加深对偏序关系的理解。
在数学中，偏序关系是一种不反转关系，它不要求数学对象之间是完全一致或
完全不一致。
一般情况下，偏序关系出现在自变量、潜变量之间，它让研究者能够在复杂的假设模型中建立或探索更多的关系。
偏序集基数幂是建立在偏序关系基础上的一种规范，它可以帮助研究者正确分析偏序数据和关系。
偏序集基数幂的格性质包括偏序闭合性、传递性、反对称性和循环性等四种性质。
偏序闭合性考虑集合中所有满足关系的对象，保证关系能够完整地实现；传递性是指如果A关系到B，B关系到C，则A关系到C；反对称性指如果A关系到B，
那么B一定不会关系到A；而循环性是指如果A关系到B、B关系到C、C关系到A，那么A、B、C之间就形成了一个循环关系。
利用这四大性质，偏序集基数幂的构造方法可以更加明晰，帮助研究者正确分
析偏序关系。
同时，它也能够在各种数据分析和建模中发挥重要作用，进一步深化偏序关系的认识。
离散数学（本）一、单项选择题1.集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, yA}，则R的性质为（）．A.自反的B.对称的C.传递且对称的D.反自反且传递的正确答案: B2.如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A.0B.2C.1D.3正确答案: B3.设集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，C={5, 6, 7}，则A∪B–C =( )．A.{1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 3, 5}C.{2, 3, 4, 5}D.{4, 5, 6, 7}正确答案: A4.若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．A.{a，{a}}AB.{1，2}AC.{a}AD.A正确答案: C5.若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A.1024B.10C.100D.1正确答案: A6.设函数f：N→N，f(n)=n+1，下列表述正确的是（）．A.f存在反函数B.f是双射的C.f是满射的D.f是单射函数正确答案: D7.设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的偏序关系的哈斯图如图所示，若A的子集B = {3, 4, 5}，则元素3为B的（）．A.下界B.最小上界C.最大下界D.最小元正确答案: B8.设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集<A，>上的元素5是集合A的（）．A.最大元B.最小元C.极大元D.极小元正确答案: C9.设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<4, 4>}，S={<1,1>，<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<4, 4>}，则S是R的（）闭包．A.自反B.传递C.对称D.自反和传递正确答案: C10.集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x，y>|x=y且x, yA}，则R的性质为（）．A.不是自反的B.不是对称的C.传递的D.反自反正确答案: C11.图G如图三所示，以下说法正确的是 ( )．A.a是割点B.{b,c}是点割集C.{b, d}是点割集D.{c}是点割集正确答案: B12.设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．A.e－v＋2B.v＋e－2C.e－v－2D.e＋v＋2正确答案: A13.图G如图四所示，以下说法正确的是 ( ) ．A.{(a, d)}是割边B.{(a, d)}是边割集C.{(a, d) ,(b, d)}是边割集D.{(b, d)}是边割集正确答案: C14.设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为( )．A.6B.5C.4D.3正确答案: B15.无向图G存在欧拉回路，当且仅当（）．A.G中所有结点的度数全为偶数B.G中至多有两个奇数度结点C.G连通且所有结点的度数全为偶数D.G连通且至多有两个奇数度结点正确答案: C16.无向完全图K4是（）．A.欧拉图B.汉密尔顿图C.非平面图D.树正确答案: B17.无向树T有8个结点，则T的边数为( )．A.6B.7C.8D.9正确答案: B18.若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．A.平面图B.对偶图C.欧拉图D.连通图正确答案: D19.若G是一个欧拉图，则G一定是( )．A.平面图B.汉密尔顿图C.连通图D.对偶图正确答案: C20.设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是( )．图五A.（a）是强连通的B.（b）是强连通的C.（c）是强连通的D.（d）是强连通的正确答案: A21.命题公式为( )A.矛盾式B.可满足式C.重言式D.合取范式正确答案: B22.设个体域为整数集，则公式的解释可为( )．A.存在一整数x有整数y满足x+y=0B.任一整数x对任意整数y满足x+y=0C.对任一整数x存在整数y满足x+y=0D.存在一整数x对任意整数y满足x+y=0正确答案: C23.设命题公式G：，则使公式G取真值为1的P，Q，R赋值分别是 ( )．A.0, 0, 0B.0, 0, 1C.0, 1, 0D.1, 0, 0正确答案: D24.设A（x）：x是人，B（x）：x是教师，则命题“有人是教师”可符号化为（）．A.B.C.D.正确答案: D25.下列公式 ( )为重言式．A.┐P∧┐Q↔P∨QB.(Q→(P∨Q)) ↔(┐Q∧(P∨Q))C.Q→(P∨(P∧Q))↔Q →PD.(┐P∨(P∧Q)) ↔Q正确答案: C26.下列等价公式成立的为( )．A.┐P∧P┐Q∧QB.┐Q→P P→QC.P∧Q P∨QD.┐P∨P Q正确答案: A27.谓词公式(x)(A(x)→B(x)∨C(x，y))中的（）。
５３ 偏序集的完备化范畴研究■尚 影 （阜阳幼儿师范高等专科学校 安徽 ２３６０１５）【摘 要】通过借用形式概念分析中构造粗糙概念的方法，给出偏序集的几种完备化构造，然后由偏序集诱导一个形式背景，讨论该形式背景下的粗糙概念与完备化的关系，主要讨论相容定向完备偏序集上的拓扑结构和范畴性质。
【关键词】偏序集；完备化；Ｓｃｏｔｔ拓扑；完备（子）范畴【中图分类号】ＴＢ７５１ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５－３０８９（２０１８）２５－００５３－０２ 一、偏序集的概念一个集合如果要能够被排序的话，其上必须定义了“序”的概念所谓偏序集就是定义了偏序关系的集合。
偏序关系在数学上的表现形式：偏序是在集合Ｘ上的二元关系≤（这只是个抽象符号，不是“小于或等于”），它满足自反性、反对称性和传递性。
即，对于Ｘ中的任意元素ａ，ｂ和ｃ，有：自反性：ａ≤ａ；反对称性：如果ａ≤ｂ且ｂ≤ａ，则有ａ＝ｂ；传递性：如果ａ≤ｂ且ｂ≤ｃ，则ａ≤ｃ。
带有偏序关系的集合称为偏序集。
令（Ｘ，≤）是一个偏序集，对于集合中的两个元素ａ、ｂ，如果有ａ≤ｂ或者ｂ≤ａ，则称ａ和ｂ是可比的，否则ａ和ｂ不可比。
在Ｘ中，对于元素ａ，如果任意元素ｂ，由ｂ≤ａ得出ｂ＝ａ，则称ａ为极小元。
链：链式Ｅ的一个子集Ｃ，在偏序关系 下，它的每一对元素都是可比的，即Ｃ是Ｅ的一个全序子集。
反链（或称杂置）：顾名思义，它和链的定义恰恰相反。
反链是Ｅ的一个子集Ａ，在偏序关系 下，它的每一对元素都是不可比的。
链和反链的大小是指集合中元素的个数。
一个反链Ａ是Ｘ的一个子集，它的任意两个元素都不能进行比较。
一个链Ｃ是Ｘ的一个子集，它的任意两个元素都可比。
Ｄｉｌｗｏｒｔｈ定理：令（Ｅ， ）是一个有限偏序集，并令ｍ是Ｅ中最大反链的大小，Ｍ是将Ｅ划分成最少的链的个数（使得这些链的并集包含所有Ｅ中的元素）。
在Ｅ中，有ｍ＝Ｍ。
（如果用一条线将最长反链所对应的边从左到右连起来，那么这条线不会与平面图的其他边相交。
良序集合的例子摘要：一、良序集合的定义二、常见的良序集合例子1.自然数集2.整数集3.有理数集4.实数集三、良序集合的性质1.每个元素都有上确界和下确界2.每个非空子集都有上确界和下确界3.良序集合的序关系满足传递性、反对称性和三角不等式四、良序集合的应用1.构造完备有序域2.刻画实数系的性质正文：良序集合是序理论中的一个重要概念，它指的是一类具有良好性质的集合。
本文将介绍良序集合的定义、常见的例子以及其性质和应用。
首先，我们需要了解良序集合的定义。
设<A, ≤>是一个偏序集，如果对于A中的任意元素a，都存在上确界（即满足最大性质的元素）和下确界（即满足最小性质的元素），则称<A, ≤>为良序集合。
接下来，我们来看一些常见的良序集合例子。
首先是自然数集，它是一个良序集合。
自然数集的序关系是严格单调递增的，每个自然数都有上确界和下确界，分别为+∞和-∞。
整数集也是一个良序集合，它的序关系是严格单调递增的，每个整数都有上确界和下确界，分别为+∞和-∞。
有理数集同样是一个良序集合，它的序关系是单调递增的，每个有理数都有上确界和下确界，分别为+∞和-∞。
实数集也是一个良序集合，它的序关系是连续的，每个实数都有上确界和下确界。
良序集合具有以下性质：每个元素都有上确界和下确界；每个非空子集都有上确界和下确界；良序集合的序关系满足传递性、反对称性和三角不等式。
这些性质使得良序集合在数学中具有广泛的应用，例如构造完备有序域和刻画实数系的性质。
首先，我们可以通过良序集合构造完备有序域。
设A是一个良序集合，我们可以定义A上的全序关系：对于a, b ∈ A，如果a ≤ b，则称a小于等于b。
这个全序关系使得A成为一个完备有序域。
其次，良序集合可以用来刻画实数系的性质。
实数系的完备性可以通过公理化体系进行证明，其中一个关键的步骤是构造一个良序集合，并将其与实数系建立起一一对应的关系。
具体来说，我们可以将实数系视为一个良序集合，其中每个实数对应于该良序集合中的一个元素。
