一致连续偏序集上的序同态

《近世代数》课程教案第一章 基本概念教学目的与教学要求:掌握集合元素、子集、真子集。

集合的交、并、积概念;掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义;理解映射的相同的定义;掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射,单射,一一映射及逆映射的定义。

理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用;掌握同构映射与自同构的定义;掌握等价关系的定义，理解模ｎ的剩余类。

教学重点:映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义;代数运算的应用，对代数运算的理解;代数运算的结合律;对定理的理解与证明;同态映射,同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系,模n 的剩余类。

教学难点：元素与集合的关系(属于)，集合与集合的关系（包含）;映射定义,应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用;满射，单射，一一映射及逆映射的定义;同态映射在比较两个集合时的结果;模n 的剩余类。

教学措施：网络远程。

教学时数:8学时。

教学过程:§1 集合定义：若干个(有限或无限多个)固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。

集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。

定义:一个没有元素的集合叫做空集,记为∅，且∅是任一集合的子集。

(1)集合的要素：确定性、相异性、无序性。

(2)集合表示:习惯上用大写拉丁字母A ,B ,C …表示集合,习惯上用小写拉丁字母a ，b ,c …表示集合中的元素。

若ａ是集合A 中的元素,则记为A a A a ∉∈否则记为,。

表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法)： 例：A ＝{1，２，3,4｝，B =｛１，2，３,…，100}。

2、描述法:{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。

相对连续偏序集及其应用刘东明;姜广浩;李辉【摘要】提出相对定向集和相对定向完备集的概念,并在相对定向完备集上引入相对双小于关系.利用相对way below关系引入相对连续偏序集的概念,探讨了其一些等价条件,并证明了相对连续偏序集具有相对T的遗传性.【期刊名称】《天津师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(038)004【总页数】4页(P13-16)【关键词】相对定向完备集;相对way below关系;相对连续偏序集;相对遗传性【作者】刘东明;姜广浩;李辉【作者单位】淮北师范大学数学科学学院,安徽淮北235000;淮北师范大学数学科学学院,安徽淮北235000;淮北师范大学数学科学学院,安徽淮北235000【正文语种】中文【中图分类】O153.11 引言与预备知识由于计算机程序语言逻辑的迫切需要，著名数学家Scott于1972年首次引入连续格的概念，并由此创建了比较完整的连续格理论[1].随后相关学者将连续格理论推广到使用更广泛的连续Domain[2]上.Domain理论的一个重要的研究方向是将其推广到一般的偏序集中去，如，连续偏序集[3-5]、拟连续偏序集[6-7]、C-连续偏序集[8-9]等.本文在以往文献的基础上，将定向集和一致集进行推广.首先引入相对定向集和相对定向完备集的概念，并在相对定向完备集上引入相对双小于的概念，研究其在给定的集合T中的一些性质；然后利用相对way below关系引入相对连续偏序集的概念，探讨了它的一些等价条件；最后引入相对遗传性的概念，证明了相对连续偏序集在给定的集合T下具有相对T的遗传性.设P为偏序集，∀X⊆P，记↓X={y∈P：∃x∈X，y≤x}，对偶地，记↑X={y∈P：∃x∈X，x≤y}，并记↓x=↓{x}，↑x=↑{x}.设P为偏序集，X⊆P，则X是下集当且仅当X=↓X，X为上集当且仅当X=↑X.若∀x、y∈X，∃z∈X，使得 x、y≤z，则称X是P的定向集.对偶地，可以定义余定向集.定义1[2] 设P为偏序集，X⊆P，称X为理想，当且仅当X既是下集又是定向集.对偶地，可以定义滤子.记P的所有理想构成的集合为Idl（P），P的所有滤子构成的集合为Filt（P）.定义2[2] 设P为偏序集，若对于任意定向子集D，sup D存在且sup D∈D，则称偏序集P是定向完备的，简记为DCPO.定义3[4] 设P为偏序集，S⊆P，若∀x、y∈S，存在z∈P，使得x≤z，y≤z，则称 S 为 P 的一致集.定义4[4] 设P为偏序集，若对于任意一致集S，sup S存在且sup S∈S，则称偏序集P为一致完备的，简记为UCPO.定义5[4]设P为偏序集，定义P上的waybelow＜＜u关系如下：∀x、y∈P，若对于任意一致集S，当y≤sup S时，存在s∈S，使得x≤s，则称x一致小于 y，记作x＜＜uy.记⇓ux={v：v＜＜ux}.定义6[4] 设P为一致完备偏序集，若对于任意x∈P，x=sup⇓ux，则称P是一致连续偏序集.定义7 设P为偏序集，S、T⊆P，S≠，T≠，若∀x、y∈S，存在t∈T，使得x≤t，y≤t，则称 S 为偏序集P相对于T的定向集.当T明了时，简称S为相对定向集. 例1 设P为偏序集，T⊆P，T≠，∀x∈T，则单点集{x}是P中相对于T的定向集. 定义8 设P为偏序集，T⊆P，T≠，若任意相对于T的定向集都存在最小上界，则称P为相对于T的定向完备集.当T明了时，简称P为相对定向完备集，简记为RDCPO（T）.设P为偏序集，且P具有性质Q，若P的任意非空子集也具有性质Q，则称Q在P中具有遗传性.对于集合T⊆P，T≠，记I（rT）={↓S：S为相对于 T的定向集}，U（T）={S：S 为相对于 T的定向集}，RId（lT）={I：I为相对于T的定向集且为下集}.2 相对way below关系定义9 设P为相对于T的定向完备集，定义P上的相对 way below＜＜T关系如下：∀x、y∈P，若对于任意相对于T的定向集S，当y≤sup S时，存在s∈S，使得x≤s，则称x在P上相对于T小于y，当T明了时，简称 x相对小于 y，记为x＜＜Ty.若 x＜＜Tx成立，则称x为P上相对于T的紧元，当T明了时，简称x 为相对紧元.记⇑Tx={u：x＜＜Tu}，⇓Tx={v：v＜＜Tx}.命题设P为偏序集，T⊆P，T≠，若P为相对于T的定向完备集，则对于任意u、x、y、z∈T，有如下结论成立.（1）x＜＜Ty⇒x≤y.（2）u≤x＜＜Ty≤z⇒u＜＜Tz.（3）⇓Tx∈U（T）.（4）当P有最小元0时，0＜＜Tx.（5）x＜＜Tz，y＜＜Tz，若x∨y存在，则x∨y＜＜Tz.证明（1）∀D∈U（T），由于P为相对于T的定向完备集，则sup D存在，若y≤sup D，则存在d∈D，使得x≤d，取D={y}∈U（T），则x≤sup D=y.（2）∀D∈U（T），sup D存在，若z≤sup D，由条件得y≤sup D，又 x＜＜Ty，从而存在d∈D，使得x≤d，又因为u≤x，所以u≤d，由相对way below的定义得u＜＜Tz.（3）∀a、b∈⇓Tx，有 a＜＜Tx 且 b＜＜Tx，则a≤x，b≤x，而x∈T，所以⇓Tx∈U（T）.（4）∀D∈U（T），若x≤sup D，则存在d∈D，使得x≤d，又由于0是P的最小元，故0≤d，所以0＜＜Tx.（5）∀D∈U（T），则 sup D 存在且sup D∈D，若z≤sup D，因为 x＜＜Tz，y＜＜Tz，故存在 d1、d2∈D，使得x≤d1≤sup D 且y≤d2≤sup D，进而x∨y≤sup D，所以x∨y＜＜Tz.由命题易得推论1和推论2.推论1 设P为偏序集，T⊆P，T≠，若P为相对于T的定向完备集，则∀x∈T，有⇓Tx⊆↓x，⇑Tx⊆↑x.推论2 设P为偏序集，T⊆P，T≠，若P为相对于T的定向完备集，则∀x、y∈T 且x≤y，有⇓Tx⊆⇓Ty.推论3 设P为偏序集，T⊆P，T≠，若P为相对于T的定向完备集，x∈T，则有⇓Tx∈RId（lT）.证明由命题的（3）知⇓Tx∈U（T），下证⇓Tx为下集.任意取a∈⇓Tx，则 a＜＜Tx，任意取b∈P，若b≤a，再由命题的（2）得 b＜＜Tx，因此⇓Tx为下集，故⇓Tx∈RId（lT）.引理设P为偏序集，T⊆P，T≠，则I（rT）⊆U（T）.证明∀M∈I（rT），则存在S∈U（T），使得M=↓S.∀x、y∈M，则有 x、y∈↓S，从而存在 s1、s2∈S，使得x≤s1，y≤s2，又 S 为相对于 T 的定向集，故存在t∈T，使得s1≤t，s2≤t，进而有x≤t，y≤t，所以 M 为相对于T的定向集.定理1 设P为偏序集，T⊆P，T≠，P为相对于T的定向完备集.∀x、y∈T，x＜＜Ty当且仅当∀I∈I（rT），若y≤sup I，则x∈I.证明必要性∀I∈I（rT），由引理得I⊆U（T），故I相对于T定向且为下集，若x＜＜Ty且y≤sup I，则存在d∈I，使得x≤d，进而x∈I.充分性∀I∈I（rT），有I∈RId（lT），对于任意x∈I，则存在d∈I，使得x≤d，即对于任意相对于T定向的I，若y≤sup I，则存在d∈I，使得x≤d，故有x＜＜Ty.定理2 设P为一致完备集，T⊆P，T，∀x∈T，则有⇓ux⊆⇓Tx.证明∀a∈⇓ux，有 a＜＜ux，下证a∈⇓Tx，任意取D⊆U（T），则D为P中的一致集，因为P为一致完备集，所以sup D存在，若x≤sup D，则存在d∈D，使得a≤d，由相对way below关系的定义得a＜＜Tx，从而a∈⇓Tx，故⇓ux⊆⇓Tx.3 相对连续偏序集定义10 设P为偏序集，T⊆P，T≠，且P为相对于T的定向完备集，若∀x∈T，x=sup⇓Tx，则称P为相对于T的连续偏序集.当T明了时，简称P为相对连续偏序集.注1 相对连续偏序集未必为一致连续偏序集.例2 设偏序集P=M∪N，见图 1.N={a，b，c，d}，规定P的序：若x、y∈M，则x≤y当且仅当x=y；若x∈N，y∈M,则x≤y；若 x、y∈N，N 上的序如图 1所示.令T={b，c，d}，则P为相对于T的连续偏序集.然而，对于一致集N，sup N∉N，P不为一致完备集，从而P不是一致连续偏序集.图1 偏序集P=M∪NFig.1 Poset P=M∪N注2 相对连续偏序集未必为连续偏序集，连续偏序集也未必为相对连续偏序集.例3 设 P=[0，1），T=[0，1/2]，则 P 为相对于T的连续偏序集，但由supP∉P知P不为定向完备偏序集，故P不为连续偏序集.定理3 设P为一致连续偏序集，则∀T⊆P，T≠，P为相对于T的连续偏序集.证明若P为一致连续偏序集，则P为一致完备集，从而P为相对于T的定向完备集.∀x∈T，由定理1知⇓Tx∈U（T）.下证x=sup⇓Tx.首先，易知x为⇓Tx的一个上界，从而sup⇓Tx≤x；其次，由定理2得⇓ux⊆⇓Tx，又P为一致连续偏序集，故有x=sup⇓ux≤sup⇓Tx，进而x=sup⇓Tx.所以P为相对于T的连续偏序集.定理4 设P为偏序集，T1⊆T2⊆P，T1、T2≠，若P为相对于T2的连续偏序集，则P为相对于T1的连续偏序集.证明设P为相对于T2的连续偏序集，则P为相对于T2的定向完备集.首先证P 为相对于T1的定向完备集.∀D∈U（T1），∀a、b∈D，存在t∈T1⊆T2，使得a≤t且b≤t，从而D∈U（T2），又P为相对于 T2的定向完备集，故sup D存在且sup D∈D，进而P为相对于T1的定向完备集.∀x∈T1，由定理1知.下面证易知的一个上界，从而下证，则有，，有，因P为相对于T1的定向完备集，故sup D存在且sup D∈D，若x≤sup D，又，故存在d∈D，使得y≤d，由相对way below的定义可知，进而，所以，又因P为相对于T2的连续偏序集，进而有，故综上可知P为相对于T1的连续偏序集.定义11 设P为偏序集，T⊆P，T≠，若P具有性质Q，且T中的任意子集D都具有性质Q，则称Q在P中具有相对于T的遗传性.当T明了时，简称相对遗传性. 注3 若某种性质具有遗传性，则必具有相对遗传性.注4 若某种性质具有相对遗传性，则未必具有遗传性.例4 设偏序集 P={a，b，c，d，e，f}，见图 2.设T={b，d，e}，易知P为定向的，且对于任意T中的非空子集D，D都是定向的，但显然P中的子集不都是定向的.故定向性质具有相对于T的遗传性，但不具有遗传性.图2 偏序集 P={a，b，c，d，e，f}Fig.2 Poset P={a，b，c，d，e，f}定理5 设P为相对于T的连续偏序集，T⊆P，T≠，则对于T的任一非空子集D，P为相对于D的连续偏序集.【相关文献】[1]GIERZG.ACompendiumofContinuousLattice[M].NewYork：Springer-Verlag，1980.[2]GIERZ G，HOFMANN K H，KEIMEL K，et al.Continuous Lattices andDomains[M].Cambridge：Cambridge University Press，2003.[3]徐罗山.相容连续偏序集及其定向完备化[J].扬州大学学报（自然科学版），2000，3（1）：1-10.XULS.Consistentlycontinuousposetsandtheirdirected completions[J].Journal of Yangzhou University（Natural Science Edition），2000，3（1）：1-10（in Chinese）.[4]白仲林.一致连续偏序集理论[J].西北师范大学学报（自然科学版），1996，32（2）：31-32. 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点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题1分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T答案：③2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：②3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案：①4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：②5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：③7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案：④8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案：④9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案：②10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案：④11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d答案：②12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d答案：④13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案：①16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案：③17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：④18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R答案：①20、在实数空间中，有理数集Q的边界()∂是（）Q①φ②Q③R -Q④R答案：④21、在实数空间中，整数集Z的内部Z 是（）①φ②Z③R-Z④R答案：①22、在实数空间中，整数集Z的边界()∂是（）Z①φ②Z③R-Z④R答案：②23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案：③24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（）①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)答案：③25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案：④26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ③27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ①28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =答案：①30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =- ③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X = ③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d=B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}答案：①33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-答案：③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基. ① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案：③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案：④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭答案：②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ）①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A答案：③39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集答案：①40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案：④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个答案：④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9答案：④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案：③45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案：③46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ） ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案：②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=答案：③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案：②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=答案：②50、设{1,23}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案：①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=答案：②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=答案：④53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =答案：②54、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④55、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④56、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④57、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④58、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④59、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ）① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案：②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案：②65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案：③66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案：①67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）①离散空间②不一定是连通空间③平庸空间④连通空间答案：④68、实数空间R中的连通子集E为( )①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案：④69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为( )①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案：③70、实数空间R中的连通子集E为( )①开区间②闭区间③区间④区间或一点答案：④71、下列叙述中正确的个数为（）（Ⅰ）单位圆周1S是连通的；（Ⅱ）{0}R-是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R-是连通的（Ⅳ）2R和R同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②72、实数空间R( )①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③73、整数集Z作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③74、有理数集Q作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③75、无理数集作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③作为实数空间R的子空间（）76、正整数集Z+①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③作为实数空间R的子空间（）77、负整数集Z-①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③78、2维欧氏间空间2R（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③79、3维欧氏间空间3R（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）①平庸性②连通性③离散性④第一可数性公理答案：②81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）①第一可数性公理②连通性③第二可数性公理④平庸性答案：②82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）①第一可数性公理②可分性③第二可数性公理④离散性答案：②83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）①平庸性②可分性③离散性④第二可数性公理答案：②84、设X是一个拓扑空间，若对于,,∀∈≠,均有{}{}x y X x yx y≠, 则X是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：①85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：①86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间答案：①87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：④88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：④89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：④90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：④91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案：③93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案：③94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案：①95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案：②96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案：④97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案：④98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案：④ 100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案：④101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案：④ 102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（ ）① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 答案：③ 103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 答案：③ 104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对答案：③ 105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对答案：③106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集答案：② 107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集答案：② 108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集答案：② 109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案：①二、填空题（每题1分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ; 答案：{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ=３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.答案： R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案： ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =的内部为 ;答案：{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案：{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =的内部为 ;答案：φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;答案：开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;答案：闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；答案：不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ； 答案：可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯ 也具有性质P ，则性质P 称为 ; 答案：有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;答案：第一可数性公理31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;答案：第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：可遗传性质33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个 ；答案：稠密子集34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ； 答案：可分空间35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；答案：Lindel Öff 空间36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：对于开子空间可遗传性质37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P,则称性质P为 ;答案：对于闭子空间可遗传性质38、设X是一个拓扑空间，如果则称X是一个T空间;答案：X中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设X是一个拓扑空间，如果则称X是一个T空间;1答案：X中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点40、设X是一个拓扑空间，如果则称X是一个T空间;2答案：X中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交41、正则的T空间称为；1T空间答案：3T空间称为；42、正规的1T空间答案：4T空间称为；43、完全正则的1T空间或Tychonoff空间答案：3.544、设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个 .答案：紧致空间45、设X是一个拓扑空间，Y是X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个 .答案：紧致子集46、设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个 .答案：可数紧致空间47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .答案：列紧空间48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .答案：序列紧致空间三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂；（２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ） 答案:√理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-= ，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ） 答案：×理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ） 答案：√理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）答案：√理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ= ，并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )答案：√理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ） 答案：√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满 足第一可数性公理.10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）答案：√理由：由于X 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B ，因为Y 是X 的子空间，则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基，从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）答案：√理由：由于X 满足第一可数性公理，所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ，因为Y 是X 的子空间，则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y在点x的一个可数邻域基，从而X的子空间Y也满足第一可数性公理.12、设{1,2,3}T空间.( )T，则(,)X T是X=，{,,{2},{3},{2,3}}Xφ=3答案：×理由：因为{1,3}是X的一个闭集，对于点２和{1,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是T空间.3注：也可以说明X不是T空间．113、设{1,2,3}T空间.( )X T是X=，{,,{1},{2},{1,2}}T Xφ=，则(,)3答案：×理由：因为{2,3}是X的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是T空间.3T空间．注：也可以说明X不是1T空间.( ) 14、设{1,23}X T是T，则(,)=XφX=，，{,,{1},{3},{1,3}}1答案：×T 理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X不是1空间．注：也可以考虑点２和点３.T空间.( ) 15、设{1,23}X T是T，则(,)X=，，{,,{1},{3},{1,3}}=Xφ4答案：×T 理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X不是1T空间.空间．故(,)X T是4注：也可以考虑点２和点３.16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）答案：√理由：因为3T 空间是正则的1T 空间，所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈，{}y 是X 中的闭集，由于X 是正则空间，从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，所以X 是2T 空间. 17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）答案：√理由：因为4T 空间是正规的1T 空间，所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ，由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间，故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，这说明X 是正则空间，因此X 是3T 空间.18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )答案：√理由：设A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖，由于A 和B都是X 的紧致子集，从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B的覆盖，故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃，所以A B ⋃是紧致子集.19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案：√理由：设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集，则对于任何x X ∈，若x A ∉，则易知x 不是A 的凝聚点，因此A A =，从而A 是一个闭集.四．名词解释(每题2分)1．同胚映射答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的内点答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域，则称点x 是集合A 的一个内点.3、集合A 的内部答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.4．拓扑空间(,)T X 的基答案：设(,)T X 是一个拓扑空间，B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并，则称B 是拓扑T 的一个基.5．闭包答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包.6、序列答案：设X 是一个拓扑空间，每一个映射:S Z X +→叫做X 中的一个序列.7、导集答案：设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.8、不连通空间答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.9、连通子集答案：设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集.10、不连通子集答案：设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个不连通空间，则称Y是X的一个不连通子集.11、A空间1答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为A空间.112、A空间2答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为A空间.213、可分空间答案：如果拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间.14、T空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必T空间.有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是0 T空间：15、1答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中每T空间.一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是1 T空间：16、2答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点各自T空有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X是2间.17、正则空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间.18、正规空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正规空间.19、完全正则空间：答案：设X 是一个拓扑空间，如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =，则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.20、紧致空间答案：设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间.21、紧致子集答案：设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个紧致子集.22、可数紧致空间答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间.23、列紧空间答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个列紧空间.24、序列紧致空间答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂，从而({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂. 2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z → 也是连续映射.答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---= 是X 的开集，所以:g f X Z → 是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:。

实变函数面试题要求：时间5分钟，自选一题，抽问一题1.叙述集合序列上下限集的定义，简单说一下两者的关系。

2.简述Bernstein 定理。

3.给出聚点的定义。

4.叙述波尔察诺—魏尔斯特拉斯定理。

5. cantor 集是如何构成的？它的势是多少？6. 1R 中任何非空的有界开集是如何构成的？7. ),(+∞-∞的势比[0,)+∞的势大，对吗？不对的话，它们的势有何关系？8. 无穷集合最小的势是多少？9. 什么是完备集？完备集和自密集之间有什么关系？10. 可数集就是元素能数得清楚的集合，对吗？11. [0,1]的有理数可排列为12,,......,n r r r 因而可按大小重新排列，对吗？为什么？12. 任意闭集的并一定是闭集吗？举例说明.13. 任意开集的交一定是开集吗？举例说明.14. 用简单例子，描述测度的定义。

15. 简单说说为什么可数点集的测度为0. 测度为0的集合一定可数吗？16.可测函数的定义是什么？17.请简要叙述简单函数的定义。

18.请列举出可测函数的运算性质。

19.什么是可测函数列{}()m f x 在E 上几乎处处收敛到f ？20. 可测函数列可测函数列{}()m f x 在E 上几乎处处收敛到f ，与{}()m f x 在E 上一致几乎收敛于f 有什么关系？21.请说出()f x 在0x 点相对于E 连续的定义。

22.请说出()f x 在E 上处处连续的定义。

23.区间连续函数一定是可测函数吗？反之成立吗？24.什么是()n f x 在E 上依测度收敛于()f x ？25.几乎处处收敛的可测函数序列必定依测度收敛吗？反之成立吗？26.依测度收敛与几乎处处收敛的关系是什么？依测试收敛中能找到几乎处处收敛的子序列吗？27.依测度收敛的可测函数序列在几乎处处相等意义下有唯一的极限，这种说法正确吗？28.闭区间[,]a b 上任一有界可测函数都是L-可积的，此结论正确吗？29.Lebesgue 积分的性质有哪些？30. 闭区间[,]a b 上R-可积与L-可积的关系是什么？31.在什么条件下，L-积分与求极限可以交换顺序？32.在什么条件下，L-积分与求和可以交换顺序？33.请叙述Lebesgue 有界控制收敛定理。

第1章 集 合1.1 集合1.1.1基本知识点：集合、元素、基数、包含、子集、集合相等、空集、全集、幂集等。

基本理论：两个集合相等的充分必要条件是它们的元素相同；如果有限集合A有n 个元素，则幂集合2A 有2n 个元素。

基本计算：判断一个元素是否属于某个集合；判断两个集合是否具有包含关系；求一个集合的幂集；1.1.2重点与难点(1) 集合与元素：集合是一个不能精确定义的基本概念，通常把具有某种共同性质的事物归纳成一个整体，就形成一个集合，一般用大写字母,,A B C 等表示集合的名称。

把组成集合的事物称为元素，一般用小写字母,,a b c 等表示。

(2)集合的表示方法：集合通常有两种表示方法，即列举法、描述法。

(3)包含与子集：对任意两个集合A 和B ，若对任意的a A ∈，必有a B ∈，则称A被B 包含，或者B 包含A ，记作A B ⊆。

若A B ⊆则称A 是B 的子集。

(4)空集、全集和幂集：不包含任何元素的集合称为空集，记作φ。

在一定范围内所有集合均为某一集合的子集，则称该集合为全集，记为U 。

由集合A 的所有子集所构成的集合称为集合A 的幂集，记为2A 。

典型题解例1：下面是用列举法表示的集合：}{moon earth sun A ，，= }{z c b a B ，，，， = }4321{ ，，，，=C有时列出集合中所有元素是不现实或不可能的，如上面的B 和C ，但只要在省略号前或后列出一定数量的元素，能使人们一看就能了解那些元素属于这个集合就可以。

例2：下面是用描述法表示的集合：{|11000}A x x N x x =∈≥≤且 }01|{2=-∧∈=x R x x B例3：集合{,,,,}a a b b c 与集合{,,}a b c 没有区别，集合{,,}a b c 与集合{,,}c b a 没有区别，即{,,,,}{,,}a a b b c a b c =，{,,}{,,}a b c c b a =。

集合论小结1集合代数的基本概念集合的表示法列元素与谓词表示集合的表示法：列元素与谓词表示集合与元素的关系：属于、不属于集合与集合的关系包含相等不等真包含集合与集合的关系：包含、相等、不等、真包含空集与全集文氏图要求:属于与不属于的判断.包含、相等、真包含的判断.包含相等真包含的判断掌握空集及全集的概念和运算特征.会使用文氏图2基本计算1. 绝对补∼、幂集P(A)并交补2.∪、交∩、相对补−、对称差⊕运算顺序：11 类运算优先于2类运算2 类运算之间先后顺序由括号确定1 类运算之间由右向左进行注意：先化简集合，去掉重复元素尽量运用已知结果：包含的等价条件等3集合恒等式与并与交运算有关的算律：交换、结合、幂等、吸收、分配、同、零律交换、结合、幂等、吸收、分配、同一、零律 与补有关的算律DM律、矛盾律、排中律、双重否定律律矛盾律排中律双重否定律与对称差有关的算律交换、结合、同一、有逆、消去律与对称差与交有关的算律分配律4其他重要等式或包含关系A⊆A∪BA∩B⊆A∅⊆A−B⊆A，(A−B)∪B=A∪BA−B=A∩∼BA−B=A⇔A∩B=∅B AA⊆B⇔A∪B=B⇔A∩B=A⇔A−B=∅⇔∼B⊆∼A⇔∼A∪B=E5基本证明包含X⊆Y 的证明命题演算法、包含传递法、反证法命题演算法包含传递法反证法恒等式X=Y 的证明命题演算法、恒等代换法、反证法注意：先分析证明的前提和结论注意当且仅当“⇔”必须证明两个方向注意“⇔”和“⇒”的区别6关系与函数关系与函数的基本概念关系与函数的基本计算关系的基本证明7关系与函数的基本概念有序对与笛卡儿积集合关系与函数集合、关系与函数关系的表示关系的性质等价关系与划分偏序关系与偏序集函数的定义与实例函数的性质8有序对与笛卡儿积有序对及其性质:有序性相等的充要条件笛卡儿积及其性质不交换、不结合对于交和并的分配律,y y<x,y>∈A×B⇔x∈A∧∈B<x,y>∉A×B⇔x∉A∨y∉B:|||计数性质: | A×B|=|A| ⋅|B|9集合关系与函数集合、关系与函数集元素为有序对单值性合关系f或者空集dom f ⊆A函数fdom f =A单射f:A→B双射dom f=A从ran f⊆B ran f⊆B一对一f:A→B满射f:A→B单值A到B的关系fA=B对ran f=BA上的关系f:A→B实例I A,特征函数χB,10I A, E A, D A, L A, ∅, R⊆特殊关系自然映射g单调函数关系的表示集合表达式可表示任意关系R关系矩阵表示有穷集A到B的关系或A上的关系布尔矩阵加法——逻辑加关系图表示有穷集A上的关系要求：熟悉关系的表示，并进行表示的转换11关系的性质五种性质的定义自反性、反自反、对称、反对称、传递自反性反自反对称反对称传递五种性质的判别充分必要条件I A⊆R, R∩I A=∅, R=R−1, R∩R−1⊆I A, R◦R⊆R关系矩阵与关系图的特征（P117表7.1）72性质与运算的关系（P118表7.2）12等价关系与划分等价关系的定义和判别重要等价关系的实例I A, E A, 整数集上的模n相等关系等价类与商集划分的定义集合上的等价关系与划分的一一对应13偏序关系与偏序集偏序关系的定义其判别偏序关系的定义及其判别重要偏序关系的实例整除关系、包含关系偏序集与哈斯图的对应偏序集的特殊元素极大元、极小元、最大元、最小元极大元极小元最大元最小元上界、下界、最大下界、最小上界14函数的定义与实例数的定义函数的定义f从A到B的函数:A→B, 所有函数构成B A重要函数的实例常函数:A→A集合A上的恒等函数IA集合B 的特征函数χ:A→{0,1}，B⊆AB自然映射g:A→A/R, g(a)=[a]15函数的性质f:A→B为单射当且仅当)f(x2) ⇒x1x2 或x1≠x2 ⇒f(x1) ≠f(x2))=)=22)) f(x1实数函数f:R→R为单射的，一般是严格单调的f:A→B为满射的当且仅当ran f= BBf:A→B为双射的当且仅当f 既是单射也是满射的合成运算可以保持函数的单射、满射、双射性质只有双射函数才有反函数16关系与函数的基本计算关系计算A×Bdom R = {x | ∃y (xRy) }, ran R = { y| ∃y (xRy) }, fld R = dom R∪ran RR=R−1 = {<x,y>| yRx}R◦S = {<x, y>| ∃t (xRt ∧tSy) }S{|S)}R0=I A,R n=R n−1◦Rr(R)=R∪I A, s(R)=R∪R−1,t(R)=R∪R2∪R3∪…商集A/R17关系与函数的基本计算（续）函数计算A ={f|B{ f | f:A→B}值f(x)像f(A)f g(x)= g(f(x))双射函数f:A→B的反函数f −1:B→A给定A,B，构造双射函数f:A→B18基本证明含关系运算的等式证明含关系运算的等式方法：集合相等的证明方法使用：相关运算的定义注意：⇒和⇔号的区别注意：“”和“”号的区别证明关系的四种性质(自反,对称,反对称,传递)方法：命题演算的方法使用：关系性质定义的蕴涵式注意：前提和结论20基本证明（续）明数证明函数f : A→B的性质 方法单射性存在x1和x2，f(x1)=f(x2) ⇒x1= x2 B满射性对任意y∈B 证明存在x∈A使得f(x)=y 双射性单射+满射21组合学小结22知识点小结技组合解题技巧组合存在性定理组合计数模型组合计数方法组合计数定理组合计数符号组合恒等式证明、组合数求和23组合解题技巧组合计数与组合模型的一一对应组合计数方法组合计数定理组合证明数学归纳法一一对应24组合存在性定理鸽巢原的简单式鸽巢原理的简单形式n+1个物体放到n个盒子里，则存在一个盒子至少含有2个或者2个以上的物体.应用关键选择鸽子——所有的配置构造鸽巢——配置的所有可能的模式模式数比配置数至少小125组合计数模型基础加法法则基础：加法法则,乘法法则（分类,分步处理） 计数模型选取问题：集合排列，集合组合，多重集排列,多重集组合非降路径问题基本公式非降路径问题：基本公式,带限制条件的公式不定方程的整数解：基本公式,各种类型的生成函数正整数的拆分：无序拆分,有序拆分放球问题各种子模型的计数公式放球问题：各种子模型的计数公式,求解方法计数模型之间的联系26非降路径问题从(0,0)到(m,n )点的非降路径数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n n m 从(a,b )到(m,n )点的非降路径数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+−b n b n a m 从(0,0)经过(a,b )点到(m,n )点的非降路径数⎞⎛−+−⎞⎛+b n a m b a ⎟⎟⎠⎜⎜⎝−⎟⎟⎠⎜⎜⎝b n b 从(0,0)到(m,n )点的有约束条件的非降路径数一一对应方法28正整数的拆分问题无序拆分基本模型将N 无序拆分成正整数α1, α2, …,αn ,不允重复10...2211≤≤=+++i n n x Nx x x ααα将N 无序拆分成正整数α1, α2, …,αn ,允许重复n n Nx x x =+++...2211ααα有序拆分ix ≤0 把N 有序拆分成r 个部分且允许重复的方案数，+的正整数解11)不定方程x 1+x 2+…x r =N 的正整数解：C (N -1,r -1)30放球问题放球问题：n 个球, m 个盒子球号组合问题盒号空否方法数N N N n 恰好拆分成m 个部分N N Y n 拆分成t 个部分t ≤m ()N Y N 正整数解n x x x m =+++...21⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−11m n ⎛N Y Y Y N N n 个不同的球恰好放到m ⎬⎫⎨⎧n ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝−−+11n m n 非负整数解n x x x m =+++...21m个相同盒子Y N Y n 个不同的球放到m 个相同盒子∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧mk k n 1⎭⎩m Y Y N n 个不同的球恰好放到m 个不同盒子n m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧m n m !31YYYm nn 个不同的球放到m 个不同盒子组合计数方法递推方程通过依赖关系导出递推方程,确定初值求解方法：公式法,换元法,迭代归纳法,递归树法,尝试法,生成函数法生成函数与指数生成函数分别对应于无序与有序计数问题如何根据问题得到生成函数和指数生成函数如何展开生成函数与指数生成函数得到a n32组合计数符号的研究内容定义基本递推公式及初值恒等式生成函数或指数生成函数对应的组合问题37恒等式证明与序列求和基本组合恒等式组合恒等式的证明方法恒等变换、数学归纳法、二项式定理、级数的求导与积分、组合分析、容斥原理求导与积分组合分析容斥原理序列的求和方法恒等式化简、级数求和、观察结果加归纳验证积分近似、积分近似38⎛基本组合恒等式⎞⎛−⎞⎛−⎞⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝112.1n n n r n n r n ⎟⎞⎜⎛+⎟⎞⎜⎛+++⎟⎞⎜⎛−++⎟⎞⎜⎛+=⎟⎞⎜⎛++⎟⎟⎠⎜⎜⎝−+⎟⎟⎠⎜⎜⎝=⎟⎟⎠⎜⎜⎝1...11.31.n n r n r n r n r r r ⎟⎟⎞⎜⎜⎛−−⎟⎟⎞⎜⎜⎛=⎟⎟⎞⎜⎜⎛⎟⎟⎞⎜⎜⎛⎟⎠⎜⎝⎟⎠⎜⎝⎟⎠⎜⎝−⎟⎠⎜⎝⎟⎠⎜⎝.4011r r n r n r l r n r r r =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝2...210.5n n n n n l n=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛±−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0...210.6n n n n n 39⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+0...110.7n r m r n m r n m r n m。

《近世代数》课程教案第一章 基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。

集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。

理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。

教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。

教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。

教学措施：网络远程。

教学时数：8学时。

教学过程：§1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。

集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。

定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。

（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。

（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。

若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,。

表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。

2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。