济南市章丘市2017-2018学年度八年级下学期期末数学考试

八年级质量检测数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷，满分为48分；第Ⅱ卷，满分为102分．本试卷满分为150分．考试时间为90分钟．2.答题前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．3. 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域作答无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．第I 卷 选择题（共48分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则下列不等式正确的是a >b A. B. C. D. a -b <0a +8<b -8-5a <-5b a 4<b 42.下列从左到右的变形，是因式分解的是A. B. (3-x)(3+x)=9-x 2(y +1)(y -3)=(3-y)(y +1)C. D. 4yz -2y 2z +z =2y (2z -zy )+z -8x 2+8x -2=-2(2x -1)23.式子中是分式的有3x 2，4x -y ，x +y ，x 2+1π，5b 3a ( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4.已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是A. 八边形B. 九边形C. 十边形D. 十二边形5.四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是A. B. C. D. AB =CD AC =BD AB =BC AC ⊥BD6.下列分解因式正确的是A. B. a 2-9=(a -3)2-4a +a 2=-a(4+a)C. D. a 2+6a +9=(a +3)2a 2-2a +1=a(a -2)+17.如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，若，则菱形EF =3ABCD的周长是A. 12B. 16C. 20D. 248.如果不等式组有解，那么m 的取值范围是{x <5x >m A. B. C. D. m >5m ≥5m <5m ≤89.如图，在中，，将绕点C 按逆时针方向Rt △ABC ∠BAC =90∘Rt △ABC 旋转得到，点A 在边上，则的大小为48∘Rt △A'B'C'B'C ∠B'A. B. C. D. 42∘48∘52∘58∘10.若顺次连接四边形 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形一定是ABCD A. 矩形 B. 菱形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形11.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O ，过点O 作EF 垂直于BD 交分别于点，AB ，CD F ，E 连接请根据上述条件，写出一个正确结论”其中四位同学写出DF ，BE..的结论如下：小青：； 小荷：四边形DFBE 是正方形；小夏：OE =OF ；小雨：．S 四边形AFED =S 四边形FBCE ∠ACE =∠CAF 这四位同学写出的结论中不正确的是A. 小青B. 小荷C. 小夏D. 小雨12. 如图，在矩形中，点 ，分别在边， 上，且 ，将矩形沿直线ABCD E F AB BC AB AE 31=折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，对于下列结论：① EF B AD P BP EF Q ；②；③；④是等边三角形．其中正确的是BE EF 2=PE PF 2=EQ FQ 4=PBF △A.①②B.②③C.①③D.①④第 II 卷 非选择题（共102分）一、填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分.把答案填在题中的横线上）13.分解因式 ______．-a 2+4b 2=14.化简：______．a 2a -1-1a -1=15.如图，平行四边形ABCD 中，，∠B =30∘，AB =4，BC =5则平行四边形ABCD 的面积为______ ．16.如图，在矩形ABCD 中，，点P 和点Q 分别从点B 和点D 出发，按逆时针方向沿矩形BC =20cm ABCD 的边运动，点P 和点Q 的速度分别为和，则最快______ s 后，四边形ABPQ 成3cm/s 2cm/s 为矩形．17.如图，直线与直线交于点，则关于x 的不等式的y =x +b y =kx +6P(3，5)x +b >kx +6解集是______ ．18.如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去记正方形ABCD 的边为，按上述方法所作的正方形的边…a 1=1长依次为、、、，根据以上规律写出的表达式 ．a 2a 3a 4…a n a 2n 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.分解因式（6分）20.（6分） 解方程：.87178=----x x x 21.(6分)如图，平行四边形ABCD 中，平分交BC 的延长线于F 点，求AB =5，AD =3，AE ∠DAB CF 的长．22.（8分）解不等式组{2x -7<3(x -1)43x +3>1-23x )()(22x y b y x a -+-23.（8分）化简分式：，并从这四个数中取一个合适(x 2-2xx 2-4x +4-3x -2)÷x -3x 2-41，2，3，4的数作为的值代入求值．x 24.（10分）暑假期间，两名教师计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名教师全额收费，学生都按七折收费；乙.旅行社的优惠条件是：教师、学生都按八折收费请你帮他们选择一下，选哪家旅行社比较合.算．25.（10分）如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点，且．O ，AO =CO ，BO =DO ∠ABC +∠ADC =180∘（1）求证：四边形ABCD 是矩形．（2），若：：2，则的度数是多少？AC DF ∠ADF ∠FDC =3∠BDF26.（12分）在校园手工制作活动中，现有甲、乙两人接到手工制作纸花任务，已知甲每小时制作纸花比乙每小时制作纸花少20朵，甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同，求乙每小时制作多少朵纸花？①AB=BD.27.(12分)如图，在菱形ABCD中，，点E、F分别在边AB、AD上AE=DF△ADE△DBF若，（1）求证≌．②AB=BD.（2）探究：如图，在菱形ABCD中，，点E、F分别在BA、AD的延长线上若AE=DF，△ADE△DBF与是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．③AD=BD（3）拓展：如图，在□ABCD中，，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点.AE=DF，∠ADB=50∘，∠AFB=32∘∠ADEE、F分别在OA、AD的延长线上若，求的度数．八年级数学答案一、选择题：1. C2. D3. B4. C5. B6. C7. D8. C 9. A 10. C 11. B 12. D 二、填空题：13. 14.(2b +a)(2b -a)a +115. 10 16. 4 17. 18. x >32n -119...............2分)()(22y x b y x a ---=原式 =（x-y)(a 2 -b 2).............4分=(x-y)(a-b)(a+b)..............6分20. 去分母得：，..............2分x -8+1=8(x -7)整理得：，7x =49解得：，.............4分x =7经检验：为增根，原方程无解．..............6分x =721. 解：四边形ABCD 是平行四边形，∵，..............1分∴AD//BC ，AD =BC =3，..............2分∴∠DAE =∠F 平分，∵AE ∠DAB ，..............3分∴∠DAE =∠BAF ，..............4分∴∠BAF =∠F ，.............5分∴AB =BF =5． ..............6分∴CF =BF -BC =5-3=2 22. 解：，{2x -7<3(x -1)①43x +3>1-23x ②由得，，..............3分①x >-4由得，，..............6分②x >-1故不等式组的解集为：．.............8分x >-123. 解：(x 2-2xx2-4x+4-3x-2)÷x-3x2-4..............2分=[x(x-2)(x-2)2-3x-2)÷x-3x2-4=(xx-2-3x-2)÷x-3x2-4..............4分=x-3x-2×(x+2)(x-2)x-3，..............5分=x+2，∵x2-4≠0，x-3≠0且且，..............7分∴x≠2x≠-2x≠3可取代入，原式． ..............8分（代入，原式）∴x=1=3x=4=624. 解：设x名学生，则在甲旅行社花费：，..............3分2×500+500x×0.7=350x+1000在乙旅行社的花费：，..............6分(x+2)×500×0.8=400x+800当在乙旅行社的花费少时：，350x+1000>400x+800解得；..............7分x<4在两家花费相同时：，350x+1000=400x+1800解得；............8分x=4当在甲旅行社的花费少时：，350x+1000<400x+800解得．.............9分x>4综上，可得当两名家长带领的学生少于4人时，应该选择乙旅行社；①当两名家长带领的学生为4人时，选择甲、乙两家旅行社都一样；②当两名家长带领的学生多于4人时，应该选择甲旅行社．.............10分③ 25. 证明：，(1)∵AO =CO ，BO =DO 四边形ABCD 是平行四边形，..............2分∴，∴∠ABC =∠ADC ，∵∠ABC +∠ADC =180∘，..............4分∴∠ABC =∠ADC =90∘四边形ABCD 是矩形；..............5分∴解：：：2，(2)∵∠ADC =90∘，∠ADF ∠FDC =3，.............7分∴∠FDC =36∘，∵DF ⊥AC ，..............8分∴∠DCO =90∘-36∘=54∘四边形ABCD 是矩形，∵，∴CO =OD ，..............9分∴∠ODC =∠DCO =54∘． ..............10分∴∠BDF =∠ODC -∠FDC =18∘26. 解：设乙每小时制作x 朵纸花，..............1分依题意得： ..............6分120x -20=160x 解得：，..............10分x =80经检验，是原方程的解，且符合题意．..............11分x =80答：乙每小时制作80朵纸花． .............12分27. (1) ∵菱形ABCD∴AD=AB………………1分又∵AB=BD∴AB=AD=BD∠DAE=∠BDF=60°……3分又∵AE=DF∴△ADE≌△DBF…………4分△ADE△DBF(2)解：探究：和全等．..............5分∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD．∵AB=BD，∴AB=AD=BD．..............6分∴△ABD.为等边三角形∴∠DAB=∠ADB=60∘．∴∠EAD=∠FDB=120∘...............7分∵AE=DF，∴△ADE△DBF≌；..............8分（3）拓展：∵点O在AD的垂直平分线上，∴∠DAO=∠ADB=50∘∴OA=OD．.............9分∴∠EAD=∠FDB．∵AE=DF，AD=DB，∴△ADE△DBF.≌ ..............10分∴∠DEA=∠AFB=32∘.∴∠EDA=18∘． ..............12分。

2017-2018学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1．要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x=2 D．x=﹣12．五边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°3．多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）24．如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（）A．AE=CF B．BE=FD C．BF=DE D．∠1=∠25．将长度为5cm的线段向上平移8cm所得线段的长度是（）A．3cm B．8cm C．5cm D．11cm6．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°7．下列语句：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式有意义的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．化简﹣的结果是（）A．m+3 B．m﹣3 C．D．9．若不等式2x+4＜a的解集是x＜2，那么a必须满足（）A．a=8 B．a＞8 C．a＜8 D．a=010．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BD于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（）A．10 B．16 C．18 D．2011．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α12．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2018的坐标是（）A．（0，0）B．（0，2）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）二、填空题（每小题4分，共24分）13．若m=2，则m2﹣4m+4的值是．14．若分式的值为零，则x= ．15．如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE= 度．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=．将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，则AM的长是．17．若无解，则m的值是．18．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．三、解答题（共3小题，满分34分）19．（18.00分）（1）分解因式：ax2﹣ay2；（2）解不等式组：；并把不等式组的解集在数轴上表示出来．（3）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=620．（8.00分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．21．（8.00分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF．求证：AE∥CF，AE=CF．22．（8.00分）如图，平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（2，2），C（1，1）．（1）将△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，写出点C1的坐标为；（2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转180°后得到△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为；（3）若将△ABC绕点P按顺时针方向旋转90°后得到△A3B3C3，则点P的坐标是．23．（12.00分）某校为美化校园，计划对面积为l800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲，乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？24．（12.00分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．求证：（1）AC=EF；（2）四边形ADFE是平行四边形；（3）AC⊥DF．25．（12.00分）旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题．如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′CM′（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2=MN2．（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等）2017-2018学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷参考答案一、选择题（每小题4分，共48分）1．A；2．B；3．A；4．A；5．C；6．C；7．B；8．A；9．A；10．D；11．C；12．D；二、填空题（每小题4分，共24分）13．0； 14．﹣1； 15．37； 16．2； 17．3； 18．112；三、解答题（共3小题，满分34分）19．20．21．22．23．24．25．。

2017-2018学年山东省济南市章丘市八年级（下）期中数学试卷一．单项选择题（每题4分，共60分）1．若x＜y，则下列不等式中不成立的是（ ）A．x﹣1＜y﹣1B．3x＜3y C．＜D．﹣2x＜﹣2y2．下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，下列说法中错误的（ ）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°B．如果c2＝a2﹣b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°C．如果（c+a）（c﹣a）＝b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°D．如果∠A：∠B：∠C＝3：2：5，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°4．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）A．B．C．D．5．下列由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xC．（x+8）（x﹣8）＝x2﹣64D．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+46．小名把分式中的x、y的值都扩大2倍，却搞不清分式的值有什么变化，请帮他选出正确的答案（ ）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小一半7．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AE，则∠BAE的度数是（ ）A．45°B．50°C．55°D．60°8．﹣（a+3）（a﹣3）是多项式（ ）分解因式的结果．A．a2﹣9B．a2+9C．﹣a2﹣9D．﹣a2+99．把直线a沿箭头方向平移1.5cm得直线b．这两条直线之间的距离是（ ）A．1.5cm B．3cm C．0.75cm D． cm10．小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：南、爱、我、济、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A．我爱美B．济南游C．我爱济南D．美我济南11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（ ）A．35°B．40°C．45°D．50°12．当与的和为时，x的值为（ ）A．﹣5B．5C．±5D．无解13．某工厂计划生产1500个零件，但是在实际生产时，……，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）A．每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成B．每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成C．每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成D．每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成14．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣4）﹣2b≥0的解集为（ ）A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≤3D．x≥315．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（ ）A．6B．12C．32D．64二．填空题（每题4分，共24分）16．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是 °．17．分解因式：3x2﹣75＝ ．18．关于x的不等式﹣2x+a≥5的解集如图所示，则a的值是 ．19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′是直线y＝x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为 ．20．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝42°，则∠ABC＝ °．21．若分式方程：2﹣＝无解，则k＝ ．三．解答题（共66分）22．（8分）化简（1）（2）23．（8分）分解因式（1）3a3﹣6a2b+3ab2（2）a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）24．（6分）解不等式（组）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．25．（10分）某市文化宫学习十九大有关优先发展交于的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）求文化宫第一批购进书包的单价是多少？（2）商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？26．（10分）先阅读理解，再解答问题．解不等式：＞1解：把不等式＞1进行整理，得﹣1＞0，即＞0．则有（1），或（2）．解不等式组（1），得＜x＜1；解不等式组（2），得其无解．所以原不等式的解集为＜x＜1．请根据以上解不等式的方法解不等式：＜2．27．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△DOE，∠DOE＝90°，OD＝3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC＝5，∠ACB+∠ODE＝180°，∠B＝∠OED，BC＝DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N），在图（1）画出△OMN；（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中△OMN的边NM重合，画出平移后的三角形A′B′C′；（3）求OE的长．28．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝2，点D在线段BC上．①求证：∠BCE+∠BAC＝180°；②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．2017-2018学年山东省济南市章丘市八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（每题4分，共60分）1．若x＜y，则下列不等式中不成立的是（ ）A．x﹣1＜y﹣1B．3x＜3y C．＜D．﹣2x＜﹣2y【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【解答】解：若x＜y，则x﹣1＜y﹣1，选项A成立；若x＜y，则3x＜3y，选项B成立；若x＜y，则＜，选项C成立；若x＜y，则﹣2x＞﹣2y，选项D不成立，故选：D．【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．2．下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，下列说法中错误的（ ）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°B．如果c2＝a2﹣b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°C．如果（c+a）（c﹣a）＝b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°D．如果∠A：∠B：∠C＝3：2：5，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的各种判定方法逐项分析即可．【解答】解：A、因为∠C﹣∠B＝∠A，∠C+∠B+∠A＝180°，所以2∠C＝180°，即∠C＝90°，故选项正确；B、因为c2＝a2﹣b2，所以如果a2＝b2+c2，则△ABC是直角三角形，且∠A＝90，不是∠C＝90°，故该选项错误；C、因为（c+a）（c﹣a）＝b2，所以C2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，故选项正确；D、因为∠A：∠B：∠C＝3：2：5，所以∠A＝54°，∠B＝36°，∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，故选项正确；故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，解题的关键是熟记直角三角形的各种判定方法，并能够灵活运用．4．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）A．B．C．D．【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：，由①得：x＞1，由②得：x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2，表示在数轴上，如图所示：故选：C．【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．下列由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xC．（x+8）（x﹣8）＝x2﹣64D．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A、属于因式分解，故本选项符合题意；B、不属于因式分解，故本选项不符合题意；C、不属于因式分解，故本选项不符合题意；D、不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．6．小名把分式中的x、y的值都扩大2倍，却搞不清分式的值有什么变化，请帮他选出正确的答案（ ）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小一半【分析】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【解答】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得＝＝，可见新分式是原分式的倍；故选：D．【点评】解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．7．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AE，则∠BAE的度数是（ ）A．45°B．50°C．55°D．60°【分析】由于AB＝AC，∠B＝40°，根据等边对等角可以得到∠C＝40°，又AC边的垂直平分线交BC 于点E，根据线段的垂直平分线的性质得到AE＝CE，再根据等边对等角得到∠C＝40°＝∠CAE，再根据三角形的内角和求出∠BAC即可求出∠BAE的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，∴AE＝CE，∴∠CAE＝∠C＝40°，∴∠BAE＝∠BAE﹣∠CAE＝60°．故选：D．【点评】此题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用角的等量代换是正确解答本题的关键．8．﹣（a+3）（a﹣3）是多项式（ ）分解因式的结果．A．a2﹣9B．a2+9C．﹣a2﹣9D．﹣a2+9【分析】直接利用多项式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：∵﹣（a+3）（a﹣3）＝﹣（a2﹣9）＝﹣a2+9，∴﹣（a+3）（a﹣3）是多项式（﹣a2+9）分解因式的结果．故选：D．【点评】此题主要考查了因式分解，正确应用平方差公式是解题关键．9．把直线a沿箭头方向平移1.5cm得直线b．这两条直线之间的距离是（ ）A．1.5cm B．3cm C．0.75cm D． cm【分析】作出两直线间的距离的线段，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．【解答】解：如图，设两直线间的距离为h，∵平移方向与a的夹角为30°，∴h＝×1.5＝0.75cm．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．10．小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：南、爱、我、济、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A．我爱美B．济南游C．我爱济南D．美我济南【分析】将原式进行因式分解即可求出答案．【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2＝（x2﹣y2）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，济，南，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我济南”，故选：C．【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（ ）A．35°B．40°C．45°D．50°【分析】首先在△ABB'中根据等边对等角，以及三角形内角和定理求得∠ABB'的度数，然后在直角△BB'C中利用三角形内角和定理求解．【解答】解：∵AB＝AB'，∴∠ABB'＝∠AB'B＝＝＝55°，在直角△BB'C中，∠BB'C＝90°﹣55°＝35°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键．12．当与的和为时，x的值为（ ）A．﹣5B．5C．±5D．无解【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意得： +＝，去分母得：x+3+x﹣3＝10，解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故选：B．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13．某工厂计划生产1500个零件，但是在实际生产时，……，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）A．每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成B．每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成C．每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成D．每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成【分析】设实际每天生产零件x个，则原计划每天生产零件（x﹣5）个，根据提前10天完成任务，列方程即可．【解答】解：，由分式方程可知，实际每天比原计划多生产5个，实际提前10天完成．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．14．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣4）﹣2b≥0的解集为（ ）A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≤3D．x≥3【分析】先把（3，0）代入y＝kx+b得b＝﹣3k，则不等式化为k（x﹣4）+6k≥0，然后在k＜0的情况下解不等式即可．【解答】解：把（3，0）代入y＝kx+b得3k+b＝0，则b＝﹣3k，所以k（x﹣4）﹣2b≥0化为k（x﹣4）+6k≥0，因为k＜0，所以x﹣4+6≤0，所以x≤﹣2．故选：B．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．15．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（ ）A．6B．12C．32D．64【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得到根据勾股定理即可解答．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2＝2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A7＝＝32，△B7B6A7是直角三角形，∠B7B6A7＝90°，∴B6B7＝＝＝32．故选：C．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．二．填空题（每题4分，共24分）16．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是　50或80　°．【分析】由于不明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论．【解答】解：分两种情况：①当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝（180°﹣80°）÷2＝50°；②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，故它的底角度数是50或80．故答案为50或80．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意80°的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键．17．分解因式：3x2﹣75＝　3（x+5）（x﹣5）　．【分析】首先提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：3x2﹣75＝3（x2﹣25）＝3（x+5）（x﹣5）．故答案为：3（x+5）（x﹣5）．【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．18．关于x的不等式﹣2x+a≥5的解集如图所示，则a的值是　3　．【分析】先把a当作已知条件求出x的取值范围，再根据不等式的解集为x＜﹣1即可得出a的值．【解答】解：解不等式﹣2x+a≥5得x≤，∵由图可知，不等式的解集为x≤﹣1，∴＝﹣1，解得a＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′是直线y＝x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为　5　．【分析】根据平移的性质知BB′＝AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．【解答】解：如图，连接AA′、BB′．∵点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，∴点A′的纵坐标是4．又∵点A的对应点在直线y＝x上一点，∴4＝x，解得x＝5．∴点A′的坐标是（5，4），∴AA′＝5．∴根据平移的性质知BB′＝AA′＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣﹣平移．根据平移的性质得到BB′＝AA′是解题的关键．20．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝42°，则∠ABC＝　52　°．【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质可得BF＝CF，进而可得∠FCE＝26°，然后可算出∠ABC的度数．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵∠ACF＝48°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠ABC＝2∠FCE，∵∠ACF＝42°，∴3∠FCE＝120°﹣42°＝78°，∴∠FCE＝26°，∴∠ABC＝52°，故答案为52．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．21．若分式方程：2﹣＝无解，则k＝　0、﹣2　．【分析】根据分式方程两边同乘（x﹣2），可得整式方程，根据分式方程无解，可得x＝2，把x＝2代入整式方程，可得答案．【解答】解：方程两边同乘（x﹣2），得2（x﹣2）﹣（1﹣kx）＝﹣1，即（2+k）x＝4，∴k＝﹣2时，整式方程无解，∵分式方程无解，∴x＝2，把x＝2代入2（x﹣2）﹣（1﹣kx）＝﹣1得1﹣2k＝1，∴k＝0，2x﹣4﹣1＝0，整式方程无解，综上所述，k＝0或﹣2，故答案为：0、﹣2．【点评】本题考查了分式方程的解，先去分母转化成整式方程，由分式方程无解，可得x＝2，把x＝2代入整式方程，解出k值．三．解答题（共66分）22．（8分）化简（1）（2）【分析】（1）根据分式的减法和除法可以解答本题；（2）根据分式的减法可以解答本题．【解答】解：（1）＝＝＝；（2）＝＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．23．（8分）分解因式（1）3a3﹣6a2b+3ab2（2）a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）【分析】（1）先提公因式法、则利用完全平方公式进行因式分解；（2）先提公因式法、则利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：（1）原式＝3a（a2﹣2ab+b2）＝3a（a﹣b）2；（2）原式＝（x﹣y）（a2﹣9b2）＝（x﹣y）（a﹣3b）（a+3b）．【点评】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、完全平方公式和平方差公式是解题的关键．24．（6分）解不等式（组）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：解：解不等式（1）得x≥﹣1；解不等式（2）得x＜5；所以原不等式的解集是﹣1≤x＜5．在数轴上的表示为．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（10分）某市文化宫学习十九大有关优先发展交于的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）求文化宫第一批购进书包的单价是多少？（2）商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？【分析】（1）求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“数量是第一批购进数量的3倍”；等量关系为：6300元购买的数量＝2000元购买的数量×3．（2）根据盈利＝总售价﹣总进价，进而求出即可．【解答】解：（1）设第一批购进书包的单价为x元．依题意，得，整理，得20（x+4）＝21x，解得x＝80．检验：当x＝80时，x（x+4）≠0，∴x＝80是原分式方程的解．答：第一批购进书包的单价为80元，（2）＝300+1050＝1350答：商店共盈利1350元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系．26．（10分）先阅读理解，再解答问题．解不等式：＞1解：把不等式＞1进行整理，得﹣1＞0，即＞0．则有（1），或（2）．解不等式组（1），得＜x＜1；解不等式组（2），得其无解．所以原不等式的解集为＜x＜1．请根据以上解不等式的方法解不等式：＜2．【分析】利用题中的解法，把原不等式化为＜0．再利用有理数的性质得到，或，然后解两个不等式组即可．【解答】解：原不等式进行整理，得＜0，即＜0．则有（1），或（2），解不等式组（1），得x＞，解不等式组（2），得x＜，所以原不等式的解集为x＜或x＞．【点评】本题考查了解不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．27．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△DOE，∠DOE＝90°，OD＝3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC＝5，∠ACB+∠ODE＝180°，∠B＝∠OED，BC＝DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N），在图（1）画出△OMN；（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中△OMN的边NM重合，画出平移后的三角形A′B′C′；（3）求OE的长．【分析】（1）利用旋转的性质，在x轴的负半轴上截取OM＝OD，在y轴的正半轴上截取ON＝OE，从而得到△OMN；（2）把B点平移到N点、C点平移到M点，再确定A点的对应点A′，从而得到三角形A′B′C′；（3）设OE＝x，则ON＝x，作MF⊥A′B′于点F，如图，利用已知条件、平移和旋转的性质得到B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥OB′，B′F＝B′O＝OE＝x，FC′＝OC′＝OD＝3，A′C′＝AC＝5，则利用勾股定理可计算出A′F＝4，然后在Rt△A′B′O中利用勾股定理得到x2+82＝（4+x）2，于是解方程求出x即可得到OE的长．【解答】解：（1）如图，△OMN为所作；（2）如图，△A′B′C′为所作；（3）设OE＝x，则ON＝x，作MF⊥A′B′于点F，如图，由作图可知B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥OB′，∴B′F＝B′O＝OE＝x，FC′＝OC′＝OD＝3，∵A′C′＝AC＝5，∴A′F＝＝4，∴A′B′＝x+4，A′O＝5+3＝8．在Rt△A′B′O中，x2+82＝（4+x）2，解得x＝6，即OE＝6．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．28．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝2，点D在线段BC上．①求证：∠BCE+∠BAC＝180°；②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．【分析】（1）先判断出△ABD≌△ACE得出∠ACE＝∠ABD＝60°，即可得出结论；（2）先判断出BD＝CE，进而得出四边形ADCE的周长＝BC+2AD，判断出AD⊥BC时，周长最小，即可得出结论；（3）先判断出△ABD≌△ACE，进而得出∠ADB＝∠AEC，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝60°．∴∠BCE+∠BAC＝180°，（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE四边形ADCE的周长＝AD+DC+CE+AE＝AD+DC+BD+AE＝BC+2AD，∴当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，即AD⊥BC时，周长最小，∵AB＝AC，∴，（3）解：∠BCE+∠BAC＝180°，理由如下：如图2，记AD，CE的交点为F，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE．∴∠ADB＝∠AEC，∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECD．∵∠BAC＝∠FAE，∠BCE+∠ECD＝180°，∴∠BCE+∠BAC＝180°．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角的和差，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键．。

2017-2018学年山东省济南市章丘市八年级（下）期中数学试卷一．单项选择题（每题4分，共60分）1．若x＜y，则下列不等式中不成立的是（）A．x﹣1＜y﹣1B．3x＜3y C．＜D．﹣2x＜﹣2y2．下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，下列说法中错误的（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°B．如果c2＝a2﹣b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°C．如果（c+a）（c﹣a）＝b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°D．如果∠A：∠B：∠C＝3：2：5，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°4．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．5．下列由左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xC．（x+8）（x﹣8）＝x2﹣64D．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+46．小名把分式中的x、y的值都扩大2倍，却搞不清分式的值有什么变化，请帮他选出正确的答案（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小一半7．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AE，则∠BAE的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°8．﹣（a+3）（a﹣3）是多项式（）分解因式的结果．A．a2﹣9B．a2+9C．﹣a2﹣9D．﹣a2+99．把直线a沿箭头方向平移1.5cm得直线b．这两条直线之间的距离是（）A．1.5cm B．3cm C．0.75cm D．cm10．小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：南、爱、我、济、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．济南游C．我爱济南D．美我济南11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（）A．35°B．40°C．45°D．50°12．当与的和为时，x的值为（）A．﹣5B．5C．±5D．无解13．某工厂计划生产1500个零件，但是在实际生产时，……，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（）A．每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成B．每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成C．每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成D．每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成14．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣4）﹣2b≥0的解集为（）A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≤3D．x≥315．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（）A．6B．12C．32D．64二．填空题（每题4分，共24分）16．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是°．17．分解因式：3x2﹣75＝．18．关于x的不等式﹣2x+a≥5的解集如图所示，则a的值是．19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′是直线y＝x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为．20．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．若∠A ＝60°，∠ACF ＝42°，则∠ABC ＝ °．21．若分式方程：2﹣＝无解，则k ＝ ． 三．解答题（共66分）22．（8分）化简（1）（2） 23．（8分）分解因式（1）3a 3﹣6a 2b +3ab 2（2）a 2（x ﹣y ）+9b 2（y ﹣x ）24．（6分）解不等式（组）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 25．（10分）某市文化宫学习十九大有关优先发展交于的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元． （1）求文化宫第一批购进书包的单价是多少？（2）商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？26．（10分）先阅读理解，再解答问题．解不等式：＞1解：把不等式＞1进行整理，得﹣1＞0，即＞0．则有（1），或（2）．解不等式组（1），得＜x＜1；解不等式组（2），得其无解．所以原不等式的解集为＜x＜1．请根据以上解不等式的方法解不等式：＜2．27．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△DOE，∠DOE＝90°，OD＝3，点D在y 轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC＝5，∠ACB+∠ODE＝180°，∠B ＝∠OED，BC＝DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N），在图（1）画出△OMN；（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中△OMN的边NM重合，画出平移后的三角形A′B′C′；（3）求OE的长．28．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝2，点D在线段BC上．①求证：∠BCE+∠BAC＝180°；②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．2017-2018学年山东省济南市章丘市八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（每题4分，共60分）1．若x＜y，则下列不等式中不成立的是（）A．x﹣1＜y﹣1B．3x＜3y C．＜D．﹣2x＜﹣2y【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【解答】解：若x＜y，则x﹣1＜y﹣1，选项A成立；若x＜y，则3x＜3y，选项B成立；若x＜y，则＜，选项C成立；若x＜y，则﹣2x＞﹣2y，选项D不成立，故选：D．【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．2．下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，下列说法中错误的（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°B．如果c2＝a2﹣b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°C．如果（c+a）（c﹣a）＝b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°D．如果∠A：∠B：∠C＝3：2：5，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的各种判定方法逐项分析即可．【解答】解：A、因为∠C﹣∠B＝∠A，∠C+∠B+∠A＝180°，所以2∠C＝180°，即∠C＝90°，故选项正确；B、因为c2＝a2﹣b2，所以如果a2＝b2+c2，则△ABC是直角三角形，且∠A＝90，不是∠C＝90°，故该选项错误；C、因为（c+a）（c﹣a）＝b2，所以C2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，故选项正确；D、因为∠A：∠B：∠C＝3：2：5，所以∠A＝54°，∠B＝36°，∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，故选项正确；故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，解题的关键是熟记直角三角形的各种判定方法，并能够灵活运用．4．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：，由①得：x＞1，由②得：x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2，表示在数轴上，如图所示：故选：C．【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．下列由左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xC．（x+8）（x﹣8）＝x2﹣64D．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解答】解：A、属于因式分解，故本选项符合题意；B、不属于因式分解，故本选项不符合题意；C、不属于因式分解，故本选项不符合题意；D、不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．6．小名把分式中的x、y的值都扩大2倍，却搞不清分式的值有什么变化，请帮他选出正确的答案（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小一半【分析】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【解答】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得＝＝，可见新分式是原分式的倍；故选：D．【点评】解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．7．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AE，则∠BAE的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°【分析】由于AB＝AC，∠B＝40°，根据等边对等角可以得到∠C＝40°，又AC边的垂直平分线交BC于点E，根据线段的垂直平分线的性质得到AE＝CE，再根据等边对等角得到∠C＝40°＝∠CAE，再根据三角形的内角和求出∠BAC即可求出∠BAE的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，∴AE＝CE，∴∠CAE＝∠C＝40°，∴∠BAE＝∠BAE﹣∠CAE＝60°．故选：D．【点评】此题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用角的等量代换是正确解答本题的关键．8．﹣（a+3）（a﹣3）是多项式（）分解因式的结果．A．a2﹣9B．a2+9C．﹣a2﹣9D．﹣a2+9【分析】直接利用多项式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：∵﹣（a+3）（a﹣3）＝﹣（a2﹣9）＝﹣a2+9，∴﹣（a+3）（a﹣3）是多项式（﹣a2+9）分解因式的结果．故选：D．【点评】此题主要考查了因式分解，正确应用平方差公式是解题关键．9．把直线a沿箭头方向平移1.5cm得直线b．这两条直线之间的距离是（）A．1.5cm B．3cm C．0.75cm D．cm【分析】作出两直线间的距离的线段，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．【解答】解：如图，设两直线间的距离为h，∵平移方向与a的夹角为30°，∴h＝×1.5＝0.75cm．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．10．小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：南、爱、我、济、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．济南游C．我爱济南D．美我济南【分析】将原式进行因式分解即可求出答案．【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2＝（x2﹣y2）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，济，南，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我济南”，故选：C．【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（）A．35°B．40°C．45°D．50°【分析】首先在△ABB'中根据等边对等角，以及三角形内角和定理求得∠ABB'的度数，然后在直角△BB'C中利用三角形内角和定理求解．【解答】解：∵AB＝AB'，∴∠ABB'＝∠AB'B＝＝＝55°，在直角△BB'C中，∠BB'C＝90°﹣55°＝35°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键．12．当与的和为时，x的值为（）A．﹣5B．5C．±5D．无解【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意得：+＝，去分母得：x+3+x﹣3＝10，解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故选：B．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13．某工厂计划生产1500个零件，但是在实际生产时，……，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（）A．每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成B．每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成C．每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成D．每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成【分析】设实际每天生产零件x个，则原计划每天生产零件（x﹣5）个，根据提前10天完成任务，列方程即可．【解答】解：，由分式方程可知，实际每天比原计划多生产5个，实际提前10天完成．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．14．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣4）﹣2b≥0的解集为（）A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≤3D．x≥3【分析】先把（3，0）代入y＝kx+b得b＝﹣3k，则不等式化为k（x﹣4）+6k≥0，然后在k＜0的情况下解不等式即可．【解答】解：把（3，0）代入y＝kx+b得3k+b＝0，则b＝﹣3k，所以k（x﹣4）﹣2b≥0化为k（x﹣4）+6k≥0，因为k＜0，所以x﹣4+6≤0，所以x≤﹣2．故选：B．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．15．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（）A．6B．12C．32D．64【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得到A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A7＝＝32，再根据勾股定理即可解答．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2＝2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A7＝＝32，△B7B6A7是直角三角形，∠B7B6A7＝90°，∴B6B7＝＝＝32．故选：C．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．二．填空题（每题4分，共24分）16．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是50或80°．【分析】由于不明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论．【解答】解：分两种情况：①当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝（180°﹣80°）÷2＝50°；②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，故它的底角度数是50或80．故答案为50或80．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意80°的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键．17．分解因式：3x2﹣75＝3（x+5）（x﹣5）．【分析】首先提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：3x2﹣75＝3（x2﹣25）＝3（x+5）（x﹣5）．故答案为：3（x+5）（x﹣5）．【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．18．关于x的不等式﹣2x+a≥5的解集如图所示，则a的值是3．【分析】先把a当作已知条件求出x的取值范围，再根据不等式的解集为x＜﹣1即可得出a的值．【解答】解：解不等式﹣2x+a≥5得x≤，∵由图可知，不等式的解集为x≤﹣1，∴＝﹣1，解得a＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′是直线y＝x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为5．【分析】根据平移的性质知BB′＝AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．【解答】解：如图，连接AA′、BB′．∵点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，∴点A′的纵坐标是4．又∵点A的对应点在直线y＝x上一点，∴4＝x，解得x＝5．∴点A′的坐标是（5，4），∴AA′＝5．∴根据平移的性质知BB′＝AA′＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣﹣平移．根据平移的性质得到BB′＝AA′是解题的关键．20．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A ＝60°，∠ACF＝42°，则∠ABC＝52°．【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质可得BF＝CF，进而可得∠FCE＝26°，然后可算出∠ABC的度数．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵∠ACF＝48°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠ABC＝2∠FCE，∵∠ACF＝42°，∴3∠FCE＝120°﹣42°＝78°，∴∠FCE＝26°，∴∠ABC＝52°，故答案为52．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．21．若分式方程：2﹣＝无解，则k＝0、﹣2．【分析】根据分式方程两边同乘（x﹣2），可得整式方程，根据分式方程无解，可得x＝2，把x ＝2代入整式方程，可得答案．【解答】解：方程两边同乘（x﹣2），得2（x﹣2）﹣（1﹣kx）＝﹣1，即（2+k）x＝4，∴k＝﹣2时，整式方程无解，∵分式方程无解，∴x＝2，把x＝2代入2（x﹣2）﹣（1﹣kx）＝﹣1得1﹣2k＝1，∴k＝0，2x﹣4﹣1＝0，整式方程无解，综上所述，k＝0或﹣2，故答案为：0、﹣2．【点评】本题考查了分式方程的解，先去分母转化成整式方程，由分式方程无解，可得x＝2，把x＝2代入整式方程，解出k值．三．解答题（共66分）22．（8分）化简（1）（2）【分析】（1）根据分式的减法和除法可以解答本题；（2）根据分式的减法可以解答本题．【解答】解：（1）＝＝＝；（2）＝＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．23．（8分）分解因式（1）3a3﹣6a2b+3ab2（2）a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）【分析】（1）先提公因式法、则利用完全平方公式进行因式分解；（2）先提公因式法、则利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：（1）原式＝3a（a2﹣2ab+b2）＝3a（a﹣b）2；（2）原式＝（x﹣y）（a2﹣9b2）＝（x﹣y）（a﹣3b）（a+3b）．【点评】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、完全平方公式和平方差公式是解题的关键．24．（6分）解不等式（组）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：解：解不等式（1）得x≥﹣1；解不等式（2）得x＜5；所以原不等式的解集是﹣1≤x＜5．在数轴上的表示为．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（10分）某市文化宫学习十九大有关优先发展交于的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）求文化宫第一批购进书包的单价是多少？（2）商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？【分析】（1）求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“数量是第一批购进数量的3倍”；等量关系为：6300元购买的数量＝2000元购买的数量×3．（2）根据盈利＝总售价﹣总进价，进而求出即可．【解答】解：（1）设第一批购进书包的单价为x元．依题意，得，整理，得20（x+4）＝21x，解得x＝80．检验：当x＝80时，x（x+4）≠0，∴x＝80是原分式方程的解．答：第一批购进书包的单价为80元，（2）＝300+1050＝1350答：商店共盈利1350元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系．26．（10分）先阅读理解，再解答问题．解不等式：＞1解：把不等式＞1进行整理，得﹣1＞0，即＞0．则有（1），或（2）．解不等式组（1），得＜x＜1；解不等式组（2），得其无解．所以原不等式的解集为＜x＜1．请根据以上解不等式的方法解不等式：＜2．【分析】利用题中的解法，把原不等式化为＜0．再利用有理数的性质得到，或，然后解两个不等式组即可．【解答】解：原不等式进行整理，得＜0，即＜0．则有（1），或（2），解不等式组（1），得x＞，解不等式组（2），得x＜，所以原不等式的解集为x＜或x＞．【点评】本题考查了解不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．27．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△DOE，∠DOE＝90°，OD＝3，点D在y 轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC＝5，∠ACB+∠ODE＝180°，∠B ＝∠OED，BC＝DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N），在图（1）画出△OMN；（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中△OMN的边NM重合，画出平移后的三角形A′B′C′；（3）求OE的长．【分析】（1）利用旋转的性质，在x轴的负半轴上截取OM＝OD，在y轴的正半轴上截取ON ＝OE，从而得到△OMN；（2）把B点平移到N点、C点平移到M点，再确定A点的对应点A′，从而得到三角形A′B′C′；（3）设OE＝x，则ON＝x，作MF⊥A′B′于点F，如图，利用已知条件、平移和旋转的性质得到B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥OB′，B′F＝B′O＝OE＝x，FC′＝OC′＝OD＝3，A′C′＝AC＝5，则利用勾股定理可计算出A′F＝4，然后在Rt△A′B′O中利用勾股定理得到x2+82＝（4+x）2，于是解方程求出x即可得到OE的长．【解答】解：（1）如图，△OMN为所作；（2）如图，△A′B′C′为所作；（3）设OE＝x，则ON＝x，作MF⊥A′B′于点F，如图，由作图可知B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥OB′，∴B′F＝B′O＝OE＝x，FC′＝OC′＝OD＝3，∵A′C′＝AC＝5，∴A′F＝＝4，∴A′B′＝x+4，A′O＝5+3＝8．在Rt△A′B′O中，x2+82＝（4+x）2，解得x＝6，即OE＝6．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．28．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝2，点D在线段BC上．①求证：∠BCE+∠BAC＝180°；②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．【分析】（1）先判断出△ABD≌△ACE得出∠ACE＝∠ABD＝60°，即可得出结论；（2）先判断出BD＝CE，进而得出四边形ADCE的周长＝BC+2AD，判断出AD⊥BC时，周长最小，即可得出结论；（3）先判断出△ABD≌△ACE，进而得出∠ADB＝∠AEC，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝60°．∴∠BCE+∠BAC＝180°，（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE四边形ADCE的周长＝AD+DC+CE+AE＝AD+DC+BD+AE＝BC+2AD，∴当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，即AD⊥BC时，周长最小，∵AB＝AC，∴，（3）解：∠BCE+∠BAC＝180°，理由如下：如图2，记AD，CE的交点为F，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE．∴∠ADB＝∠AEC，∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECD．∵∠BAC＝∠FAE，∠BCE+∠ECD＝180°，∴∠BCE+∠BAC＝180°．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角的和差，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键．。