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一、填空题：
1.已知集合{}
=≤≤，{}
B=，则A B=
1,2,3,4
A x x
|12
I▲．
2.已知复数z满足i1i
z⋅=+（i是虚数单位），则z=▲．
3.袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为▲．
4.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为▲．
考点：球的相关知识．
5.如图所示的流程图，输出y的值为3，则输入x的值为▲．
6.一组数据2,,4,6,10x 的平均值是5，则此组数据的标准差是 ▲ ．
7.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 2且过点2),则曲线C 的标准方程
为 ▲ ．
【答案】221y x -=
【解析】 试题分析：因为曲线C 2，所以曲线为等轴双曲线，其方程可以设为22x y λ-=．因为过点
8.已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a
的取值范围是 ▲
．
9.已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ▲ ．
10.在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-u u u r u u u r ，则||CD =u u u r ▲ ．
11.已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f = ▲ ．
1 3 x
y
O （第11题）
· 1- 1
12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．
13.设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则 数列{b n }的公比为 ▲ ．
则221133
60a a a a ++=，所以23311()6()10a a a a ++=，则31322a a =-±，又2223332111()b a a q b a a ===，且1q >，所以
14.在△ABC 中，BC =2，AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点 在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为 ▲ ．
二、解答题：
15.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ．
（1）求证：AB ∥EF ；
（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．
平面CDEF ，所以BC ⊥平面CDEF ．因为BC ⊂平面BCF ，平面BCF ⊥平面CDEF ．
16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=u u u r u u u r ．
（1）求22a c +的值；
（2）求函数2()3cos cos f B B B B =+的值域．
17.某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆 弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．
边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧BC 的弧形小路，在路的一侧．．
边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计） （1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s ；
（2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大．
由于22BOC BAC θ∠=∠=，所以弧BC 的长为502100θθ⨯=．……………………3分
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
2
2
22
1(0)
y
x a b
a b
+=>>的离心率为1
2
，过椭圆右焦点F作
两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，7
AB CD
+=．（1）求椭圆的方程；
（2）求AB CD
+的取值范围．
参数，一般取直线的斜率，①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知7AB CD +=，
将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，
19.已知函数2()()e x f x x a =-在2x =时取得极小值．
（1）求实数a 的值；
（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值； 若不存在，说明理由．
02
m n
<<<时，
24
24
(2)e e
(2)e e
m
n
m n
n m
⎧-=
⎨
-=
⎩
，两式相除得22
(2)e(2)e
m n
m m n n
-=-．
20.各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++L ，12
111n n
T a a a =+++L ，且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ． （1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；
（2）设12n n c na =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ． 时，114
2k c c c c =≥，（*）式不成立．
