海天考研数学摸底考试试卷

海天考研数学摸底考试试卷

满分：150分 时间：150分钟

一、

选择题（每小题10分，共50分）

1、 设()232x

x

f x =+-，则当0x →时，有【 】

（A ）()f x 与x 是等价无穷小 （B ）()f x 与x 同阶但非等价无穷小 （C ）()f x 是比x 高阶的无穷小

（D ）()f x 是比x 低阶的无穷小

2、设()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是【 】 （A ）1

lim ()()h h f a f a h →+∞⎡

⎤+-⎢⎥⎣

⎦

存在

（B ）0

(2)()

lim

h f a h f a h h →+-+存在

（C ）0

()()

lim

2h f a h f a h h →+--存在

（D ）0

()()

lim

h f a f a h h

→--存在

3、设在[]0,1上()0f x ''>，则(0),(1),(1)(0)(0)(1)f f f f f f ''

--或几个数的大小顺序为

【 】

（A ）(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- （B ）(1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> （C ）(1)(0)(1)(0)f f f f ''->> （D ）(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->

4、设()f x 是连续函数，且满足关系式21

()()f x f t dt e =+，则()f x =【 】

（A ）

(

)

1

2

e +

（B ）

(

)

123

e +

（C ）（D ）1

e

5、设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数0000(,)(,)x y f x y f x y ''和都存在，则【 】 （A ）

00(,)(,)

lim (,)x y x y f x y →存在

（B ）0

0lim (,)x x f x y →及0

0lim (,)y y f x y →都存在

（C ）(,)f x y 在点00(,)x y 处必连续 （D ）(,)f x y 在点00(,)x y 处必可微 6、设有平面闭区域

(){}(){}1,|,,,|0,D x y a x a x y a D x y x a x y a =-≤≤≤≤=≤≤≤≤，则

(cos sin )D

xy x y dxdy +=⎰⎰【 】

（A ）1

2

cos sin D x ydxdy ⎰⎰

（B ）1

2

D xydxdy ⎰⎰

（C ）1

4

(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰

（D ）0

7、设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得

C ，记110010001P ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则【 】

（A ）1C P AP -=. （B ）1C PAP -=. （C ）T C P AP =. （D ）T C PAP =. 8、设A 为m n ⨯阶矩阵，下列命题中正确的是【 】

（A ）若A 中有n 阶子式不为零，则0Ax =仅有零解. （B ）若A 中有n 阶子式不为零，则Ax b =有唯一解. （C ）若A 中有m 阶子式不为零，则0Ax =仅有零解. （D ）若A 中有m 阶子式不为零，则Ax b =有唯一解.

9、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p (0

(A) 2)1(3p p -． (B) 2

)1(6p p -.

(C) 2

2

)1(3p p -． (D) 2

2

)1(6p p -．

10、设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[1,3]-上的均匀分布的概率密度，若

12()0()(0,0)()0

af x x f x a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩为概率密度，则,a b 应满足【 】

A 、234a b +=

B 、324a b +=

C 、1a b +=

D 、2a b += 二、填空题（每小题8分，共40分） 1、设常数0k >，函数()ln x

f x x k e

=-

+在()0,+∞内零点的个数为 2、已知2

1,,y y x y x ===是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 3、若11sin(1)1

lim

()2x x x b e a x

-→--=-，则a= ，b=

4、设(,,)f x υω有二阶连续偏导数，(,,)u f x xy xyz =，则

2u

z y

∂=∂∂ 5、曲线2

1x y =-和直线1y x =+所围成平面图形的面积是 6、设函数()y y x =由方程2

2

cos()xy x y =所确定，则

dy

dx

= 7、若=1a (1,3,4,－2)T ，=2a (2,1,3,t )T ，=3a (3,－1,2,0)T 线性相关，则=t . 8、设二维随机变量(,)X Y 服从2

2

(,,,,0)N μμσσ，则2()E XY =.

三、计算题

1、求下列极限。（本题10分） ()

t a n

2

l i m s i n x x x π

→

2、计算下列不定积分（本题10分）

2(1)x

x xe dx e +⎰

3、（本题10分）设抛物线2

y ax bx c =++通过点（0，0），且当[0,1]x ∈时，0y ≥，试确定a 、b 、c 的值，使得抛物线2

y ax bx c =++与直线1,0x y ==所围图形的面积为4

9

，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小。