中考中的动态几何问题分析_压轴题_整理

专题08 动态几何类压轴题一、单选题1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =．线段PE 的两个端点都在AB 上，且1PE =，P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积DPEC S 四边形的大小变化的情况是（ ）A ．一直减小B ．一直增大C ．先增大后减小D ．先减小后增大【答案】C【分析】 设PD=x ，AB 边上的高为h ，求出h ，并运用相似三角形的性质求出AD ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【详解】在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，5AB ∴===，设PD x =，则1205x ≤≤，AB 边上的高为h ，125AC BC h AB ==， //PD BC ， ADP ACB ∆∆∽∴， ∴PD AD BC AC=， 43AD x ∴=，53PA x = 221415122242333(4)2()23235353210△△APD CBE S S x x x x x x ∴+=+-=-+=-+， ()22233323()()32103210276△△△四边形ABC APD CBE DPEC S x S x S S ∴+-----+=-==， ∵203-<，∴32x≤<时，DPECS四边形随x的增大而增大，31225x<≤时，DPECS四边形随x的增大而减小，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题．2．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（）A．5.5B．6C．7.5D．8【答案】C【分析】以BC为边作等边△BCF，连接DF，可证△BCE≌△FCD，可得BE=DF，则DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小，即可求解．【详解】如图，以BC为边作等边△BCF，连接DF，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，∴∠ABC=60°，BC=3，∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∵△BCF是等边三角形，∴CF=BC=BF=3，∠BCF=∠DCE =60°，∴∠BCE=∠DCF，且BC=CF，DC=CE，∴△BCE≌△FCD(SAS)，∴ BE= DF，∴DF ⊥AB 时，DF 的长最小，即BE 的长最小，如图，此时作FD AB '⊥，∵FBD '∠=180°-60°-60°=60°，D F AB '⊥，∴ 1 1.52BD BF '==， ∴7.5AD AB BD '=+='，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键．二、解答题3．如图，在等腰直角三角形△ABC ，∠ABC=90°，AB=6，P 是射线AB 上一个动点，连接CP ，以CP 为斜边构造等腰直角△CDP （C 、D 、P 按逆时针方向），M 为CP 的中点，连接AD ，MB ．（1）当点P 在线段AB 上运动时，求证：△CDA ∽CMB ；（2）设AP x =，△ADP 的面积为y ．①当012x <<时，求y 关于x 的函数表达式；②记D 关于直线AC 的对称点为D ，若D 在△APC 的内部，求y 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①2134y x x =-+；②189y << 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质得BCM ACD ∠=∠，CB CM CA CD =，即可证明结论； （2）①分类讨论，当06x <≤时，或当612x <<时，过点D 作DE AB ⊥于点E ，根据（1）的相似三角形，得到AD=AP ，并且用x 表示出长度，即可求出函数表达式；②当点D 在APC △内部时，06x <<，过点P 作PN AC ⊥于点N ，利用面积法表示出PN 的长，得到x 的范围，即可求出y 的范围．【详解】解：（1）∵ABC 和CDP 是等腰直角三角形，∴45ACB DCP ∠=∠=︒，∴ACB ACP DCP ACP ∠-∠=∠-∠，即BCM ACD ∠=∠，∵ABC 和CDP 是等腰直角三角形，∴CB CA ==，CP CD = ∵M 是CP 的中点， ∴12CM CP =，∴21CM CD ==， ∴CB CM CA CD =， ∴CDA CMB ；（2）①∵M 是CP 中点， ∴12BM MC PC ==，若06x <≤，如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，∵AP x =，∴6PB x =-，∴PC = ∵DC DA MC MB=，∴2DC DA DP PC ==== ∵DE AB ⊥，∴12AE EP x ==，∴162DE x ===-， ∴21111632224ADP S AP DE x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-=-+ ⎪⎝⎭； 若612x <<，如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，6BP x =-，PC =DC DA DP ====12AE EP x ==，162DE x ===-， ∴21111632224ADP S AP DE x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-=-+ ⎪⎝⎭， 综上：2134y x x =-+； ②当点D 在APC △内部时，06x <<，点P 越往右，点D 离AC 越近，当点D 在PC 上时，过点P 作PN AC ⊥于点N ，∴DCA ACP PCB ∠=∠=∠，∴CP 为ACB ∠的角平分线，∴PN PB =，∵1131822ABC APC BPC S S S AC PN BC PB PN =+=⋅+⋅=+=，∴6PN PB ==，∴12AP AB PB =-=-，当126x -<<时，点D 在APC △内部，则根据2134y x x =-+，求出189y <<． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定，二次函数的几何运用，利用分类讨论的思想进行求解．4．如图，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+与抛物线2y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴，交直线AB 于点Q ，连接BP ，设点P 的横坐标为m ，△PQB 的边PQ 与PQ 边上的高之差为d ．（1）求此抛物线解析式.（2）求点Q 的横坐标（用含m 的代数式表示）；（3）∠BQP 为锐角.①求d 关于m 的函数关系式；②当△AOB 的顶点到PQ 的最短距离等于d 时，直接写出m 的值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）22m m -；（3）①d m =-；②m =【分析】 （1）由直线解析式求解出A 、B 的坐标，再代入抛物线解析式求解即可；（2）由于PQ 垂直于y 轴，则P 、Q 的纵坐标相等，因此求出P 的纵坐标，再代入直线解析式求解Q 的横坐标即可；（3）①根据题中对d 的定义，分别求出PQ ，以及PQ 边上的高，再作差即可；②根据△AOB 的顶点到PQ 的最短距离等于d 时建立关于m 的一元二次方程求解，并注意运用条件判断合适的值即可．【详解】（1）由直线3y x =-+可知，A(3，0)，B(0，3)，将A(3，0)，B(0，3)代入2y x bx c =-++得： 9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）由题可知，P 、Q 的纵坐标相等，∵P 的横坐标为m ，且P 是抛物线上任意一点，∴P 的纵坐标为223y m m =-++，∴Q 的纵坐标为223y m m =-++，又∵Q 在直线上，∴将223y m m =-++代入3y x =-+得： 2233m m x -++=-+，解得：22x m m =-，∴Q 的横坐标为22m m -；（3）①由题意，()B P d PQ y y =--，由（2）可知： 2232Q P m P m m m m Q x x =-==---，()222332B P y m m m y m -+=+--=- ∴()B P d PQ y y m =--=-，∴d m =-；②由题可知：△AOB 为等腰直角三角形，其顶点为O ，则O 到PQ 的距离为223m m -++，当△AOB 的顶点到PQ 的最短距离等于d 时， 223m m m -++=-，解得：32m =， ∵∠BQP 为锐角，∴32m -=． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合运用，理解二次函数的性质，仔细分析题中表达的数量关系是解题关键．5．已知一次函数4y x =+的图象与二次函数()2y ax x =-的图象相交于()1,A b -和B ，点P 是线段AB 上的动点（不与A 、B 重合），过点P 作PC x ⊥轴，与二次函数()2y ax x =-的图象交于点C ．（1）求a 、b 的值；（2）如图1，M 为APC ∠内一点，且1PM =，E ，F 分别为边PA 和PC 上两个动点，求MEF 周长的最小值；（3）若PAC △是直角三角形，求点C 的坐标．【答案】（1）3b =，1a =；（2（3）()2,0C 或()3,3．【分析】∠1∠∠A∠∠∠∠∠∠b∠∠∠∠∠A∠∠∠∠∠∠∠a∠∠∠(2)∠∠∠M∠∠∠∠AB∠PC ∠∠∠∠,M M '''∠∠∠∠ ,,M M PM PM ''''''∠∠∠MEF∠∠∠∠∠∠∠∠ M M '''∠∠∠∠∠∠∠290M PM APC ∠=∠'=''︒∠∠∠ M M ==''='∠3∠∠∠PAC=90°∠∠ACP=90°∠∠∠∠∠∠∠【详解】解：∠1∠∠A 在直线y=x+4∠∠∠b=-1+4=3∠∠A∠∠∠∠∠-1∠3∠∠∠A∠∠∠∠∠y=ax(x -2)∠∠∠3=-a(-1-2)∠∠3=3a∠∠a=1∠∠3b =∠ 1a =∠∠2∠∠∠∠∠∠∠M ∠∠∠∠AB ∠PC ∠∠∠∠'M ∠''M ∠∠∠∠'''M M ∠'PM ∠''PM ∠∠MEF ∠∠∠∠∠∠∠'''M M ∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠PM PM PM M PA APM MPC CPM ==∠=∠∠=∠''''''，，∠∠290M PM APC ∠=∠'=''︒,∠'''M M ===∠∠3∠∠(),4P m m +∠∠()2,2C m m m -∠ ∠∠∠PAC=90°∠∠222AP AC PC +=∠()()()()2222222112334m m m m m m ++++--=--∠ ∠∠1m =-∠∠∠∠∠2m =∠∠()2,0C ∠∠∠ACP=90°∠∠222AC PC AP +=∠()()()()2222221233421m m m m m m ++--+--=+∠ ∠∠1m =-∠∠∠∠∠3m =∠4m =∠∠∠∠∠∠()3,3C ∠∠∠()2,0C ∠()3,3∠【点睛】 本题考查二次函数与一次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理的应用是解题关键．6．如图所示，直线AB 交x 轴于点(),0A a ，交y 轴于点()0,B b ，且a 、b ()240a -=． （1）如图1，若C 的坐标为()1,0-，且AH BC ⊥于点H ，AH 交OB 于点P ，试求点Р的坐标； （2）如图2，连接OH ，求证45OHP ∠=︒；（3）如图3，若点D 为AB 的中点，点M 为y 轴正半轴上一动点，连接MD ，过D 作DN DM ⊥交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，式子BDM ADN S S -△△的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．【答案】（1）P 的坐标为()0,1-；（2）见解析；（3）S △BDM -S △ADN 的值不发生改变，等于4【分析】（1）先依据非负数的性质求得a 、b 的值，从而可得到OA=OB ，然后再∠COB=∠POA=90°，∠OAP=∠OBC ，最后，依据ASA 可证明∠OAP ≌△OBC ，得出OP=OC ，从而得出点P 的坐标；（2）过O 分别作OM ⊥CB 于M 点，作ON ⊥HA 于N 点，利用AAS 证明∠COM ≌△PON ，得出OM=ON ，再根据角平分线得到判定即可得出HO 平分∠CHA ，从而求出∠OHP ；（3）连接OD ，易证∠ODM ≌△ADN ，从而有S △ODM =S △ADN ，由此可得S △BDM -S △ADN =S △BDM -S △ODM =S △BOD =12S △AOB ． 【详解】解：（1()240a -=∴a+b=0，a -4=0，∴a=4，b=-4，则OA=OB=4．∵AH ⊥BC ，则∠AHC=90°，∠COB=90°，∴∠HAC+∠ACH=∠OBC+∠OCB=90°，∴∠HAC=∠OBC ．在∠OAP 和∠OBC 中， 90COB POA OA OB OAP OBC ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△OAP ≌△OBC （AAS ）；∴OP=OC∵C 的坐标为()1,0-，∴OC=1∴OP=1∴P 的坐标为()0,1-（2）过O 分别作OM ⊥CB 于M 点，作ON ⊥HA 于N 点．在四边形OMHN 中，∠MON=360°-3×90°=90°，∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP ．在∠COM 和∠PON 中，90COM PON OMC ONP OC OP ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△COM ≌△PON （AAS ），∴OM=ON ．∵OM ⊥CB ，ON ⊥HA ，∴HO 平分∠CHA ，1452︒∴∠=∠=OHP CHA （2）S △BDM -S △ADN 的值不发生改变，等于4．理由如下：如图：连接OD ．∵∠AOB=90°，OA=OB ，D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD∴∠OAD=45°，∠MOD=90°+45°=135°，∴∠DAN=135°=∠MOD ．∵MD ⊥ND 即∠MDN=90°，∴∠MDO=∠NDA=90°-∠MDA ．在∠ODM 和∠ADN 中，,MDO NDA DOM DAN OD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ODM ≌△ADN （ASA ），∴S △ODM =S △ADN ， ∴12S ∆∆∆∆∆∆-=-==BDM ADN BDM ODM BOD AOB S S S S S ∴111144422S 22∆∆-=⨯⋅=⨯⨯⨯=BDM ADN S AO BO 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（2）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．7．如图，已知等边ABC 的边长为16，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线l 是经过点P 的一条直线，把ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B '．（1）如图1，当8PB =时，若点B '恰好在AC 边上，则AB '的长度为_________；（2）如图2，当10PB =时，若直线//l AC ，则BB '的长度为_______；（3）如图3，点P 在AB 边上运动过程中，若直线l 始终垂直于AC ，ACB '△的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当12PB =时，在直线l 变化过程中，求ACB '△面积的最大值．【答案】（1）8或0；（2）（3）面积不变，（4）最大为96+【分析】（1）证明△APB′是等边三角形即可解决问题．（2）如图2中，设直线l 交BC 于点E ．连接BB′交PE 于O ．证明△PEB 是等边三角形，求出OB 即可解决问题．（3）如图3中，结论：面积不变．证明BB′∥AC 即可．（4）如图4中，当B′P ⊥AC 时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC 于E ，求出B′E 即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵ABC 是等边三角形，∴60A ∠=︒，16AB BC CA ===，∵8PB =，∵8PB PB PA ==='，∵60A ∠=︒，∴APB '是等边三角形，∴8AB AP '==．当直线l 经过C 时，点B '与A 重合，此时0AB '=，故答案为8或0．（2）如图2中，设直线l 交BC 于点E ．连接BB '交PE 于O ．∵//PE AC ，∴60BPE A ∠=∠=︒，60BEP C ∠=∠=︒，∴PEB △是等边三角形，∵10PB =，且由于折叠，∴B ，B '关于PE 对称，∴BB PE '⊥，2BB OB '=，∴OP=12PB=5，∴OB =，∴BB '=故答案为（3）如图3中，结论：面积不变．连接BB ′，过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，∵B ，B '关于直线l 对称，∴BB '⊥直线l ，∵直线l AC ⊥，∴//AC BB '，∴ACB ACB S S '=△△，∵BC=AB=AC=16，∴BF=8，∴=，∴1162ACB ACB S S '==⨯⨯= （4）如图4中，∵点B 和B′关于经过点P 的直线对称，∴B′到点P 的距离与点B 到点P 的距离相等，当B P AC '⊥时，ACB '△的面积最大，设直线PB '交AC 于E ，在Rt APE 中，∵4PA =，60PAE ∠=︒，∴AE=2，∴PE ==∵BP=B′P=12，∴12EB EP B P '=++'=∴(11612962ACB S '=⨯⨯+=+△ 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．8．已知抛物线2122y x x =-与x 轴交于点O 、A 两点，顶点为B ．（1）直接写出：A 点坐标________ ，B 点坐标_______ ，△ABO 的形状是_______；（2）如图，直线y x m =+(m<0)交抛物线于E 、F(E 在F 右边)，交对称轴于M ，交y 轴于N ．若EM -FN=MN ，求m 的值；（3）在(2)的条件下，y 轴上有一动点P ，当∠EPF 最大时，请直接写出此时P 点坐标___________【答案】（1）（4,0），（2，-2），等腰直角三角形；（2）52m =-；（3）（052-） 【分析】（1）令2122y x x =-中y=0，求出A 的坐标，由22112(2)242y x x x =--+=，求出顶点B 坐标，利用勾股定理的逆定理判定△ABO 是等腰直角三角形；（2）过点E 作EG ⊥y 轴于G ，过点F 作FH ⊥y 轴于H ，过点M 作MC ⊥y 轴于C ，设y x m =+（m ＜0）交x 轴于D ，先求出∠OND=45°，利用锐角三角函数可得FN=sin 45HF ︒，MN=sin 45CM ︒，EN=sin 45EG ︒，联立解析式求出点E 、F 的横坐标，最后根据已知等式即可列出方程，求出m ； （3）作以EF 为弦且与y 轴相切的圆D ，切点为P ，连接EP 、FP ，利用圆周角定理和三角形外角的性质先证此时∠EPF 最大，然后确定点P 的坐标，设点P 的坐标为（0，p ），用含p 的式子表示出DP 和DF ，列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）令2122y x x =-中y=0，得21202x x -=， 解得x=0或x=4，∴A （4，0）； ∵22112(2)222y x x x =-=--， ∴顶点B 坐标为（2，-2）；连接AB 、OB ，∴22416OA ==，()()22224820AB =-+-=-，()()22220820OB =-+-=-，∴222OA AB OB =+，AB=OB ，∴△ABO 是等腰直角三角形，故答案为：（4,0），（2，-2），等腰直角三角形；（2）过点E 作EG ⊥y 轴于G ，过点F 作FH ⊥y 轴于H ，过点M 作MC ⊥y 轴于C ，设y x m =+（m ＜0）交x 轴于D将x=0代入y x m =+中，解得y=m ；将y=0代入y x m =+中，解得x=-m∴点N 的坐标为（0，m ），点D 的坐标为（-m ，0）∴ON=OD∴△OND 为等腰直角三角形∴∠OND=45°∴FN=sin 45HF ︒，MN=sin 45CM ︒，EN=sin 45EG ︒， ∴EM=EN －)EG CM - ∵抛物线2122y x x =-的对称轴为直线x=2 ∴CM=2 联立2122y x x y x m⎧=-⎪⎨⎪=+⎩消去y ，解得：x 1=3x 2=3+∴点F的横坐标为3-E的横坐标为3+∴HF=3-EG=3+∴3，MN=)321+=∵EM -FN=MN ，1+3-=解得：52m =-， 经检验，52m =-是原方程的解； （3）如下图所示，作以EF 为弦且与y 轴相切的圆D ，切点为P ，连接EP 、FP ，先证此时∠EPF 最大，在y 轴上任取一点P '，连接EP FP ''、，FP '与圆D 交于点C∴∠EPF=∠ECF∵∠ECF是△EP C'的外角∠∴∠ECF＞EP C'∴∠EPF＞EP F'∠即此时∠EPF最大，然后确定点P的坐标，设点P的坐标为（0，p），如下图所示，连接DP、DF，作EF的中垂线ST，交EF于S，交y轴于T，过点S作SK⊥y轴于K由（2）知52m =- ∴点E 的坐标为（5，52），点F 的坐标为（1，32-） ∴点S 的坐标为（3，12）， ∴OK=12，SK=3 由（2）知：∠SNO=45°，∵∠TSN=90°∴∠STK=45°∴△TSK 、△TDP 为等腰直角三角形∴TK=SK=3，TP=DP∴TP=TK ＋OK －OP=72p - ∴DP=72p -， ∴点D 的坐标为（72p -，p ）∴∵DP=DF∴72p -解得：52-或p=52∵∴ES=12EF=SK ∴以EF 为直径的圆与y 轴相离∴点P 必在以EF 为直径的圆的外边∴△EPF 为锐角三角形∴点D 在△EPF 内部，也必在S 的左上方∴点D 的纵坐标大于0，即p ＞0∴52∴点P 的坐标为（052）． 【点睛】此题考查的是二次函数、一次函数和圆的综合大题，掌握二次函数图象及性质、求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定及性质、圆周角定理、锐角三角函数是解题关键．9．如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ∴==142ADB SDB AC ∴=⋅= 12ADB S AB DH =⋅DH ∴=AH ==1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH ⊥CB 于H∵EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒∴ACD EHD ． ∴AC EH CD DH = 即44EH x x EH=--． ∴()444x EH x -=+ ．∵EH ⊥CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∴)44x EB x -==+，AB =∴)44x AE x -=+ ∵EF AD ⊥，90C ∠=︒∴AFG ADC ∠=∠ ．∵EDB ADC ∠=∠∴AFG EDB ∠=∠．∵45FAE B ∠=∠=︒∴AFE BDE ． ∴AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+． 整理得，()2402y x x =-+<≤；（3）在Rt △MDB 中，DB=4-x,所以MD=MB=(4).2x - 在Rt △ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+ 所以tan ∠DAB=44DM x AM x-=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论△CDF 与△AGE 相似:①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan ∠FDC=tan ∠DAB,得44y x x x-=⋅+ 结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0.解得-4 或--4 （舍去）, 如果∠CFD=∠DAB ，由tan ∠CFD=tan ∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x -4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y x x x-=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得或3-（舍去） 如果∠CFD=∠DAB,44x x y x -=+与y=2x -4 整理，得238160.x x -+=此方程无解.综上，CD 的值为-4、8-． 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．10．如图，直线443y x =-+和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是()2,0-．（1）试说明ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，MON △的面积为S ． ①求S 与t 的函数关系式；②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在4S =的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当MON △为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）①22455S t t =-+（02t <<），22455S t t =-（25t <≤）；②存在，(t s =；③5s 或25.8s 【分析】 （1）先求解,B C 的坐标，再求解,BC AB 的长度，从而可证明结论；（2）①过点N 作⊥ND x 轴于D ，则4sin 5ND BN OBC t =⋅∠=，分两种情况讨论，当02t <<时，当25t <≤时，分别画出符合题意的图形，再利用三角形的面积公式得到函数解析式即可；②分两种情况讨论，把4S =分别代入②中的两个函数解析式，再解方程即可得到答案；③分三种情况讨论；90∠=︒NMO 或90NOM ∠=︒或90MNO ∠=︒，再利用图形的性质与锐角三角函数可得答案．【详解】解：（1）将0y =代入443y x =-+，得3x =，∴点B 的坐标为3,0；将0x =代入443y x =-+，得4y =， ∴点C 的坐标为()0,4．在Rt OBC 中，∵4OC =，3OB =，∴5BC ==．又()2,0A -，∴5AB =，∴AB BC =，∴ABC 是等腰三角形．（2）∵5AB BC ==，故点M 、N 同时开始运动，同时停止运动．过点N 作⊥ND x 轴于D ， 则4sin 5ND BN OBC t =⋅∠=， ①当02t <<时（如图），2OM t =-，∴12S OM ND =⋅ ()14225t t =-⋅ 22455t t =-+． 当25t <≤时（如图），2OM t =-，∴12S OM ND =⋅ ()14225t t =-⋅ 22455t t =-． ②存在4S =的情形．当02t <<时∴ 224455t t -+=， 22100,t t ∴-+=()22411044036∴=--⨯⨯=-=-＜0，所以方程无解；当25t <≤时， ∴ 224455t t -=．解得11t =21t =（不合题意，舍去）．15t =+<，故当4S =时，(t =秒．③当MN x ⊥轴时，MON △为直角三角形．3cos 5MB BN MBN t =⋅∠=， 又5MB t =-． ∴355t t =-， ∴258t =． 当点M 、N 分别运动到点B 、C 时，MON △为直角三角形，5t =．当90MNO ∠=︒时，不合题意，舍去，故MON △为直角三角形时，258t =秒或5t =秒． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，分类讨论的思想，掌握分类讨论思想解决问题是解题的关键．11．如图，点O 在线段AB 上，OA =1，OB =3，以点O 为圆心、OA 为半径作∠O ，点M 在上运动．连接MB ，以MB 为腰作等腰Rt∠MBC ，使∠MBC =90°，M ，B ，C 三点按逆时针顺序排列．（1）当点M 在AB 上时，sin∠ACB =________________；（2）当BM 与∠O 相切时，求AM 的长；（3）连接AC ，求AC 长的取值范围．【答案】（1或2；（2）3；（3）46AC ≤≤． 【分析】（1）分当M 在AB 上和点M 和A 重合两种情况解答即可；（2）先证明△BMD ∽△BAM,然后根据相似三角形的性质列式解答即可；（3）如图：以B 为顶点、OB 为边向上方作等腰Rt △OBP ，连接CP ，OM ，有△BOM ≌△BPC （SAS ），PC=OM=1，则点C 在以点P 为圆心、1为半径的圆上，转化为“圆外一点到圆上的最值问题”，作射线AP ，交OP 于C 1、C 2两点，然后求得AC 1和AC 2的长即可解答．【详解】（1）①如图：当M 在AB 上时∵OA=OM=1∴AB=AO+OB=4,BM=OB -OM=2∵MB 为腰作等腰Rt∠MBC∴BC=BM=2=∠sin∠ACB =AB AC ==; ②如图：当M 和点A 重合时，AB=BC=4∴==∠sin∠ACB =AB AC ==综上，sin∠ACB 或2； （2）如图：∵BM 与∠O 相切∴∠BMO=90°==∠AB 是直径∠∠AMD=90°∠∠BMD+∠DMO=90°，∠AMO+∠DMO=90°，∴∠BMD=∠AMO∠OA=OM∠∠OAM=∠AMO∠∠OAM=∠BMD∠∠MBA=∠MBD∠△BMD ∽△BAM∴DM MB AM AB ===设AM=x ，则DM=2x2= ，解得x=3或x=-3（舍）；（3）以B 为顶点、OB 为边向上方作等腰Rt △OBP ，连接CP ，OM ，∴△BOM ≌△BPC （SAS ）∴PC=OM=1则点C 在以P 为圆心的M 上、1为半径的圆上，即求转化为“圆外一点到圆上的最值问题”，∴5=作射线AP ，交OP 于C 1、C 2两点，则A C 1=AP -P C 1=4, A C 2=AP+P C 2=6,∴46AC ≤≤．【点睛】本题属于几何综合题，考查了圆的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及锐角的三角函数，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．12．如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与点C 和点A 重合），连接PB ，过点P作PF ⊥PB 交射线DA 于点F ，连接BF ．已知AD =CD=3，设CP 的长为x ．（1）线段BP 的最小值为________，当1x =时，AF =____________．（2）当动点P 运动到AC 的中点时，AP 与BF 的交点为G ，FP 的中点为H ，求线段GH 的长度． （3）若点P 在射线CA 上运动，点P 在运动的过程中，①试探究∠FBP 是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP 的大小；若改变，请说明理由．②若△AFP 是等腰三角形，直接写出x 的值．【答案】（1）2；（2；（3）①不发生变化，30； ②3或 【分析】（1）当BP 最小时，即BP AC ⊥，根据相似三角形的性质，可求得BP 的值，当x=1时，可得到BPN PMF ，由此可得出tan FBP ∠的值，继而得到AF 的值；（2）先证明BP 垂直平分AP ，得到PF =GH 是Rt FGP △的中线，即可得到GH 的长； （3）①过点P 作PN BC ⊥交AD 于点M ，可证明FMP PNB ，设,2x PC x PN ==，可求得NC 、MP 、BN 的长，tan =3FP MP FBP BP BN ∠==，即可求得∠FBP 的大小； ②分三种情况讨论即:当FA=FP ，AP=AF ，PA=PB 时，分别根据等腰三角形的性质解题．【详解】（1）当BP 最小时，A 与F 重合，即BP AC ⊥， 33AD CD ==6,30AC DAC ACB ∴=∠=∠=︒,在Rt ABC 与Rt APB △中，BAC PAB ∠=∠ABCAPB ∴ AB BP AC BC∴=36∴=2BP ∴= 作PM BC ⊥于N ，交AD 于M ，当x=1时，1522PN MP CN BN ====，， 90BNP PMF BPF ∠=∠=∠=︒,90,90FPM PFM FPM BPN ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，PFM BPN ∴∠=∠，BPNPFM ∴，3MP FM BP BN NP FP ∴===，MF ∴=2663AF AM MF BN MF ∴=-=-=-==，故答案为：2，3； （2）P 为AC 的中点，3AP PC AB ∴===60ABP APB BAP ∴∠=∠=∠=︒在t R ABF 和t R PBF 中，AB=BP ，BF=BFt R ABF ∴≅t R PBF90AG PG AGB PGB ∴=∠=∠=︒，BF ∴垂直平分AP ，在t R BFP 中，303PBF BP ∠=︒=，PF ∴=取PF 的中点H ，连接GH ， H 为PF 中点，GH ∴为Rt PGF △的中线，12GH PF ∴==； （3）①不发生变化，30FBP ∠=︒，理由如下，作PM BC ⊥于点N ，交AD 于M ，,PBN FPM BPN PFM ∠=∠∠=∠，FMP PNB ∴，设,,,3,22x x CP x PN NC x MP BN x =∴===-=，3FP MP BP BN ∴== 30FBP ∴∠=︒；②当FA FP =时，BA BP =，ABP ∴为等边三角形,3AP AB ∴==，3x CP ∴==；当PA PF =时，12090APF ∠=︒>︒不符合题意；当AP=AD 时，75AFP APF ∠=∠=︒，75CBP CPB ∴∠=∠=︒，CP CB ∴==，即x =；综上所述，当3x =或AFP 是等腰三角形． 【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识，是重要考点，灵活运用分类讨论思想是解题关键．13．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于点()1,0A -、()3,0B ，与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC 与OP ，交于点D ，求当PD OD的值最大时点P 的坐标； （3）点F 与点C 关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P 的纵坐标为2时，过点P 作直线//PQ x 轴，点M 为直线PQ 上的一个动点，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，在线段ON 上任取一点K ，当有且只有一个点K 满足135FKM ∠=︒时，请直接写出此时线段ON 的长．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）315,24⎛⎫⎪⎝⎭；（3）7+3+【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）过P 作PG ∥y 轴，交BC 于点G ，则可构造出相似三角形，将PD OD 转换为PG OC求解即可； （3）分两种情况讨论，连接FM ，以FM 为斜边，作等腰直角△FHM ，当以H 为圆心FH 为半径作圆H ，与x 轴相切于K ，此时有且只有一个点K 满足∠FKM=135°，设点H （x ，y ），由“AAS”可证△FHE ≌△HMQ ，可得HE=QM=y -3，HQ=EF=x -2，由勾股定理可求y 的值，可求点M 坐标，即可求解．【详解】（1）将()1,0A -、()3,0B 代入抛物线解析式得：030933a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）如图所示，作PG ∥y 轴，交BC 于点G ，则△DPG ∽△DOC ， ∴PD PG OD OC=， 由题可知：()0,3C ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，将()3,0B ，()0,3C 代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为：3BC y x =-+，3OC =，设P 的坐标为()223m,m m -++，则G 的坐标为()3m,m -+， ∴23PG m m =-+， ∴223932433m PD PG m m OD OC ⎛⎫--+ ⎪-+⎝⎭===， ∴当32m =时，PD OD 有最大值，将32m =代入抛物线解析式得：154y =， ∴点P 的坐标为31524⎛⎫⎪⎝⎭，；（3）①当M 在F 右侧时，如图所示，连接FM ，以FM 为斜边构造等腰直角△FHM ，当以H 为圆心，FH 为半径作圆H ，与x 轴相切于K 时，此时有且只有一个K 点满足∠FKM=135°，此时，连接HK ，交PM 于点Q ，延长CF 交于HK 于E ，则HK ⊥x 轴，设H （x ，y ），由题可知，抛物线的对称轴为直线x=1，∵点F 与点C 关于抛物线的对称轴对称，∴点F 的坐标为（2，3），CF ∥x 轴，∴CF ∥PM ，∴HK ⊥CF ，HK ⊥PM ，∴∠FEH=∠HQM=90°，∵∠FHE+∠MHE=90°，∠FHE+∠HFE=90°，∴∠HFE=∠MHQ ，又∵HF=HM ，∴△HFE ≌△MHQ （AAS ），∴HE=QM=y -3，HQ=FE=x -2，而HQ=HK -QK=y -2，∴y -2=x -2，即：x=y ，∴FE=y -2，∵222FH FE HE =+，FH=HK=y ，∴()()22223y y y =-+-，解得：5y =，5y =-（舍去）∴532QM =-=，523FE =-=，∴点M 的坐标为()72,，∴7ON =+；②当M 在F 左侧时，如图所示，同①的过程，可证得△HFE ≌△MHQ ，此时设H 的坐标为（x ，y ），显然有，HE=QM=y -3，HQ=FE=2-x ，而HQ=HK -QK=y -2，∴y -2=2-x ，即：4-y=x ，∴FE=y -2，∵222FH FE HE =+，FH=HK=y ，∴()()22223y y y =-+-，同理解得：5y =，∴532QM =-=，523FE =-=，∴点M 的坐标为()32,-，∴3ON =+综上，线段ON 的长为7+3+【点睛】本题考查二次函数综合问题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，圆的相关性质，以及相似三角形的判定与性质等，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键． 14．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点O 为对角线AC 的中点，动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 运动，同时动点Q 从点B 出发沿BA 向点A 运动，点P 运动速度为每秒2个单位长度，点Q 运动速度为每秒1个单位长度，当点P 到达点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动，连结PQ ，设点P 运动时间为t （t ＞0）秒．（1）cos∠BAC= ．（2）当PQ⊥AC时，求t的值．（3）求△QOP的面积S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围．（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点时，请直接写出t的值．【答案】（1）35；（2）1813t=秒；（3）22434512(0)552434512(5)552S t t tS t t t⎧=-+<<⎪⎪⎨⎪=-+-<≤⎪⎩；（4）当2t=或t=秒时，线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点．【分析】（1）利用勾股定理先求得AC的长，即可求解；（2）在Rt△ABC中，利用余弦函数构建方程即可求解；（3）过P作PE⊥AQ于点E，过O作OF⊥AQ于点F，分52t<<，52t=和552t<≤三种情况讨论，利用三角形面积公式即可求解；（4）分线段PQ的垂直平分线经过点C时，经过点A时，经过点B时，三种情况讨论，求得结论即可．【详解】（1）在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，10=，∴63 cos105ABBACAC∠===；故答案为：35；（2）当PQ⊥AC时，∵AP=2t，AQ=6t-，∴在Rt△ABC中，∴23cos 65AP t PAQ AQ t ∠===-， 解得：1813t =秒， 经检验，1813t =是方程的解， ∴1813t =(秒)； （3）过P 作PE ⊥AQ 于点E ，过O 作OF ⊥AQ 于点F ，在Rt △ABC 中，AB =6，BC =8，AC 10=， ∴4sin 5BC BAC AC ∠==，4sin 25PE PE PAE AP t ∠===，4sin 55OF OF OAF AO ∠===， ∴PE=85t ，OF=4， ①当502t <<时， ()()2POQ AOQ APQ 1184346461222555t S S S t t t t =-=-⨯--⨯=-+， 即24341255S t t =-+(502t <<)； ②当52t =时，POQ 不存在； ③当552t <≤时，()()2POQ APQ AOQ 1814346641225255t S S S t t t t =-=-⨯--⨯=-+-， 即24341255S t t =-+-(552t <≤)；综上，△QOP 的面积S 关于t 的函数表达式是22434512(0)552434512(5)552S t t t S t t t ⎧=-+<<⎪⎪⎨⎪=-+-<≤⎪⎩； （4）①当线段PQ 的垂直平分线经过点C 时，PC=QC=102t -，在Rt △QBC 中，222QB BC QC +=，∴()2228102t t +=-，解得：203t -=(负值已舍)； ②当线段PQ 的垂直平分线经过点A 时，AQ=AP ，即62t t -=，解得：2t =；③当线段PQ 的垂直平分线经过点B 时，过P 作PG ⊥BC 于点G ，3sin 5AB PG ACB AC PC ∠===，4cos 5BC PG ACB AC GC ∠===， ∴PG=()36102655t t -=-，CG=()48102855t t -=-， BG= BC -CG=888855t t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 在Rt △BPG 中，222BG PG BP +=， 即22286655t t t ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得：215721800t t -+=， ()2247241518056160b ac =-=--⨯⨯=-<，方程无解，∴线段PQ 的垂直平分线不会经过点B ，综上，当2t =或203t -=秒时，线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 的某个顶点． 【点睛】本题考查了矩形性质，解直角三角形，线段垂直平分线性质等知识，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．15．问题探究：如图，在Rt △ABC 和Rt △DEC 中，∠ACB =∠DCE =90°，∠CAB =∠CDE =60°，点D 为线段AB 上一动点，连接BE ．（1）求证：△ADC ∽△BEC ．（2）求证：∠DBE =90°．拓展延伸：把问题探究中的“点D 为线段AB 上一动点”改为“点D 为直线AB 上一动点”，其他条件不变，若点M 为DE 的中点，连接BM ，且有AD =1，AB =4，请直接写出BM 的长度．【答案】（1）见解析；（2）见解析；拓展延伸：BM ．【分析】（1）先证得∠ACD =∠BCE ，再利用tan 60BC CE AC CD ︒===AC BC CD CE=，即可证明结论； （2）由（1）的结论得∠CAD =∠CBE ，即可证明；拓展延伸：分D 在线段AB 上和D 在BA 延长线上两种情况讨论，利用△ADC ∽△BEC 的 性质求得BE 的长，再利用直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）∵∠ACB =∠DCE =90°，∴∠ACD+∠BCD =∠BCE+∠BCD =90°，∴∠ACD =∠BCE ，∵∠CAB =∠CDE =60°，∴tan 60BC CE AC CD ︒===AC BC CD CE=， ∴△ADC ∽△BEC ；（2）由（1）得：∠CAD =∠CBE ，∴∠CBE +∠CBA =∠CAD +∠CBA =90°，∴∠DBE =90°；拓展延伸：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =60°，AB =4，∴AC=2，BC =由（1）得：△ADC ∽△BEC ， ∴AC AD BC BE=， ∵AD =1，∴由（2）得：∠DBE =90°，∵点M 为DE 的中点，∴BM=12DE ； ①当D 在线段AB 上时，如图：在Rt △BDE 中，BD=AB -AD=4-1=3，，∴DE ==∴BM=12 ②当D 在BA 延长线上时，如图：在Rt △BDE 中，BD=AB+AD=4+1=5，，∴DE ==∴BM=12综上，BM【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明△ADC ∽△BEC 是本题的关键．16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝12cm ，点D 为AB 上的点，且BD ＝34AB ，如果点P 在线段BC 上以3cm /s 的速度由B 点向终点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向终点A 运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）如（图一）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由．（2）如（图二）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等（点P 不与点B 和点C 重合），连接点A 与点P ，连接点B 与点Q ，并且线段AP ，BQ 相交于点F ，求∠AFQ 的度数．（3）若点Q 的运动速度为6cm /s ，当点Q 运动几秒后，可得到等边△CQP ？【答案】（1）BPD CQP ≌，证明见解析；（2）60︒（3）43【分析】 （1）根据时间和速度求得BP 、CQ 的长，根据SAS 判定两个三角形全等．（2）利用第（1）小题的方法可证得ABP BCQ ≌，BAP CBQ ∠=∠，根据三角形外角性质可得APB PAC C ∠=∠+∠，根据等边三角形性质和三角形内角和定理可得18060BFP CBQ APB ∠=︒-∠-∠=︒，根据对顶角性质可得AFQ ∠的度数．（3）设点Q 运动时间是x 秒，根据CP CQ =列一元一次方程，根据任意一角为60︒的等腰三角形是等边三角形，即可求出答案．【详解】（1）BPD CQP ≌．证明：点P 在线段BC 上以3cm /s 的速度由B 点向终点C 运动，经过1s 后，∠133BP =⨯=，∠点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，∠3CQ BP ==，∠AB ＝BC ＝AC ＝12cm ，BD ＝34AB ， ∠ABC 是等边三角形，60B C ∠=∠=︒，31294BD =⨯=， ∠1239PC BC BP =-=-=，在BDP △和CPQ 中，BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠BPD CQP ≌（SAS ）．（2）解：∠点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，∠BP CQ =，∠AB ＝BC ＝AC ，∠ABC 是等边三角形，60BAC ABC C ∠=∠=∠=︒，∠在ABP △和BCQ △中，AB BC ABC C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABP BCQ ≌，∠BAP CBQ ∠=∠；在BPF △中，180()BFP CBQ APB ∠=︒-∠+∠，∵=CBQ APB CBQ CAP C ∠+∠∠+∠+∠，∵=60CBQ CAP BAP CAP ∠+∠∠+∠=︒，60C ∠=°，∴=6060=120CBQ APB ∠+∠︒+︒︒，∴180()=180120=60BFP CBQ APB ∠=︒-∠+∠︒-︒︒，∴=60AFQ BFP ∠∠=︒（对顶角相等）．（3）解：设点Q 运动时间是x 秒，若CP CQ =，可列方程：1236x x -=， 解得：43x =． ∵在CQP 中，CP CQ =，=60C ∠︒， ∴当43x =秒时，CQP 是等边三角形（任意角是60︒的等腰三角形是等边三角形）． ∴当点Q 运动43秒后，可得到等边CQP ． 【点睛】。

《中考压轴题》专题24：动态几何之双（多）动点形成的函数关系问题一、选择题1.如图1，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B-A-D-C和B-C-D方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平房单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是A．当t=4秒时，S=43B．AD=4C．当4≤t≤8时，S=23t D．当t=9秒时，BP平分梯形ABCD的面积2.如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为A．B．C．D，3.如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是A ．AE=6cmB ．4sin EBC 5∠=C ．当0＜t ≤10时，22y t 5=D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形4.如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm ，已知y 与t 的函数关系的图形如图2（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm ；②当0＜t≤5时，22y t 5=；③直线NH 的解析式为5y t 272=-+；④若△ABE 与△QBP 相似，则t=294秒。

一、选择题 二、填空题 三、解答题1．（2016广西来宾市）如图，在矩形ABCD 中，AB =10，AD =6，点M 为AB 上的一动点，将矩形ABCD 沿某一直线对折，使点C 与点M 重合，该直线与AB （或BC ）、CD （或DA ）分别交于点P 、Q ．（1）用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹） （2）如果PQ 与AB 、CD 都相交，试判断△MPQ 的形状并证明你的结论；（3）设AM =x ，d 为点M 到直线PQ 的距离，2y d =，①求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；②当直线PQ 恰好通过点D 时，求点M 到直线PQ 的距离．【答案】（1）作图见解析；（2）△MPQ 是等腰三角形；（3）10． 【分析】（1）作线段CM 的垂直平分线即可；（2）由矩形的性质得出AB ∥CD ，CD =AB =10，得出∠QCO =∠PMO ，由折叠的性质得出PQ 是CM 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出CQ =MQ ，由ASA 证明△OCQ ≌△OMP ，得出CQ =MP ，得出MP =MQ 即可；（3）①作MN ⊥CD 于N ，如图2所示：则MN =AD =6，DN =AM =x ，CN =10﹣x ，在Rt △MCN 中，由勾股定理得出222(2)6(10)d x =+-，即可得出结果；②当直线PQ 恰好通过点D 时，Q 与D 重合，DM =DC =10，由勾股定理求出AM ，得出BM ，再由勾股定理求出CM ，即可得出结果．【解析】（1）如图1所示：（2）△MPQ是等腰三角形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，CD=AB=10，∴∠QCO=∠PMO，由折叠的性质得：PQ是CM的垂直平分线，∴CQ=MQ，OC=OM，在△OCQ和△OMP中，∵∠QCO=∠PMO，OC=OM，∠COQ=∠MOP，∴△OCQ≌△OMP（ASA），∴CQ=MP，∴MP=MQ，即△MPQ 是等腰三角形；考点：四边形综合题；动点型；探究型；压轴题．2．（2016吉林省）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=82cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以2cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，x= ；（2）当点M落在AD上时，x= ；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）4；（2）163；（3）2221(04)27163264 (4)23161664 (8)3x xy x x xx x x⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪-+<<⎪⎩．【分析】（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，由此即可解决问题．（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E，先证明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得PA DEAC DC==23，由此即可解决问题．（3）分三种情形①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，②当4＜x≤163时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．③当163＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，分别计算即可解决问题．（3）①当0＜x ≤4时，如图2中，设PM 、PQ 分别交AD 于点E 、F ，则重叠部分为△PEF ，∵AP =2x ，∴EF =PE =x ，∴y =S △PEF =12•PE •EF =212x ． ②当4＜x ≤163时，如图3中，设PM 、MQ 分别交AD 于E 、G ，则重叠部分为四边形PEGQ ．∵PQ =PC =822x -，∴PM =16﹣2x ，∴ME =PM ﹣PE =16﹣3x ，∴y =S △PMQ ﹣S △MEG =2211(822)(163)22x x ---=2732642x x -+-．③当163＜x ＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ ，∴y =S △PMQ =212PQ =21(822)2=21664x x -+．综上所述2221 (04)27163264 (4)23161664 (8)3x x y x x x x x x ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪-+<<⎪⎩．考点：三角形综合题；分类讨论；分段函数；动点型；压轴题．3．（2016江苏省苏州市）如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，AD =8cm ，点P 从点B 出发，沿对角线BD 向点D 匀速运动，速度为4cm /s ，过点P 作PQ ⊥BD 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点N 落在射线PD 上，点O 从点D 出发，沿DC 向点C 匀速运动，速度为3m /s ，以O 为圆心，0.8cm 为半径作⊙O ，点P 与点O 同时出发，设它们的运动时间为t （单位：s ）（0＜t ＜85）． （1）如图1，连接DQ 平分∠BDC 时，t 的值为 ；（2）如图2，连接CM ，若△CMQ 是以CQ 为底的等腰三角形，求t 的值； （3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O 始终在QM 所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM 与⊙O 相切时，求t 的值；并判断此时PM 与⊙O 是否也相切？说明理由．【答案】（1）1；（2）4049；（3）①证明见解析；②t =43s 时，⊙O 与直线QM 相切，PM 与⊙O 不相切．【分析】（1）先利用△PBQ ∽△CBD 求出PQ 、BQ ，再根据角平分线性质，列出方程解决问题．（2）由△QTM ∽△BCD ，得QM TQBD BC=列出方程即可解决． （3）①如图2中，由此QM 交CD 于E ，求出DE 、DO 利用差值比较即可解决问题． ②如图3中，由①可知⊙O 只有在左侧与直线QM 相切于点H ，QM 与CD 交于点E ．由△OHE ∽△BCD ，得OH OEBC BD=，列出方程即可解决问题．利用反证法证明直线PM 不可能由⊙O 相切．【解析】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =∠ADC =∠ABC =90°，AB =CD =6．AD =BC =8，∴BD 22AD AB +2268+=10，∵PQ ⊥BD ，∴∠BPQ =90°=∠C ，∵∠PBQ =∠DBC ，∴△PBQ ∽△CBD ，∴PB PQ BQ BC DC BD ==，∴48610t PQ BQ==，∴PQ =3t ，BQ =5t ，∵DQ 平分∠BDC ，QP ⊥DB ，QC ⊥DC ，∴QP =QC ，∴3t =8﹣5t ，∴t =1，故答案为：1．（2）解：如图2中，作MT ⊥BC 于T ．∵MC =MQ ，MT ⊥CQ ，∴TC =TQ ，由（1）可知TQ =12（8﹣5t ），QM =3t ，∵MQ ∥BD ，∴∠MQT =∠DBC ，∵∠MTQ =∠BCD =90°，∴△QTM ∽△BCD ，∴QM TQBD BC=，∴1(85)32108t t -=，∴t =4049（s ），∴t =4049s 时，△CMQ 是以CQ 为底的等腰三角形．（3）①证明：如图2中，由此QM 交CD 于E ，∵EQ ∥BD ，∴EC CQ CD CB =，∴EC =34（8﹣5t ），ED =DC ﹣EC =6﹣34（8﹣5t ）=154t ，∵DO =3t ，∴DE ﹣DO =154t ﹣3t =34t ＞0，∴点O 在直线QM 左侧．②解：如图3中，由①可知⊙O 只有在左侧与直线QM 相切于点H ，QM 与CD 交于点E ． ∵EC =34（8﹣5t ），DO =3t ，∴OE =6﹣3t ﹣34（8﹣5t ）=34t ，∵OH ⊥MQ ，∴∠OHE =90°，∵∠HEO =∠CEQ ，∴∠HOE =∠CQE =∠CBD ，∵∠OHE =∠C =90°，∴△OHE ∽△BCD ，∴OH OE BC BD =，∴30.84810t=，∴t =43，∴t =43s 时，⊙O 与直线QM 相切． 连接PM ，假设PM 与⊙O 相切，则∠OMH =12PMQ =22.5°，在MH 上取一点F ，使得MF =FO ，则∠FMO =∠FOM =22.5°，∴∠OFH =∠FOH =45°，∴OH =FH =0.8，FO =FM =0.82，∴MH =0.8(21)+，由OH HE BC DC =得到HE =35，由EC CQ BD CB =得到EQ =53，∴MH =MQ ﹣HE ﹣EQ =4﹣35﹣53=2625，∴0.8(21)+≠2625，矛盾，∴假设不成立，∴直线PM 与⊙O 不相切．考点：圆的综合题；动点型；探究型；压轴题． 4．（2016河南省）如图1，直线43y x n =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点C （0，4），抛物线223y x bx c =++经过点A ，交y 轴于点B （0，﹣2）．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；（3）如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD ′P ′，且旋转角∠PBP ′=∠OAC ，当点P 的对应点P ′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）224233y x x =--；（2）PD =12或PD =72；（3）P （﹣5，4543+）或P （5，4543-+）或P （258，1132）． 【分析】（1）先确定出点A 的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由△BDP 为等腰直角三角形，判断出BD =PD ，建立m 的方程计算出m ，从而求出PD ； （3）分点P ′落在x 轴和y 轴两种情况计算即可．（3）∵∠PBP '=∠OAC ，OA =3，OC =4，∴AC =5，∴sin ∠PBP '=45，cos ∠PBP '=35，分两种情况讨论：①当点P '落在x 轴上时，过点D '作D 'N ⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD '=∠ND 'P '=∠PBP '，如图1，ND '﹣MD '=2，∴23244()()25335m m m ---=，∴m =5（舍），或m =﹣5； 如图2， ND '+MD '=2，∴23244()25335m m m -+=，∴m =5，或m =﹣5（舍），∴P（﹣5，4543+）或P （5，4543-+）；②当点P '落在y 轴上时，如图3，过点D ′作D ′M ⊥x 轴，交BD 于M ，过P ′作P ′N ⊥y 轴，∴∠DBD ′=∠ND ′P ′=∠PBP ′，∵P ′N =BM ，∴24243()5335m m m -=，∴m =258，∴P （258，1132）； 综上所述：P （﹣5，4543+）或P （5，4543-+）或P （258，1132）．考点：二次函数综合题；分类讨论；动点型；压轴题．5．（2016甘肃省天水市）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且B （1，0），C （0，3），将△BOC 绕点O 按逆时针方向旋转90°，C 点恰好与A 重合．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点P 为线段AB 上的任一动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连结CP ，求△PCE 面积S 的最大值；（3）设抛物线的顶点为M ，Q 为它的图象上的任一动点，若△OMQ 为以OM 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标．【答案】（1）223y x x =--+；（2）S △PCE 的最大值为32；（3）Q （91378-+，813732+），或（91378--，5913732-）． 【分析】（1）先求出点A 坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先求出S △PCE =S △PBC ﹣S △PBE ，即可求出最大面积；（3）先求出抛物线顶点坐标，由等腰三角形的两腰相等建立方程求出点Q 坐标．（3）∵二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标（﹣1，4），∵△OMQ 为等腰三角形，OM 为底，∴MQ =OQ ，∴222(1)(234)x x x ++--+-=222(23)x x x +--+，∴281870x x +-=，∴x =91378-±，∴y =813732+或y =5913732-，∴Q （91378-+，813732+），或（91378--，5913732-）． 考点：二次函数综合题；动点型；旋转的性质；最值问题；二次函数的最值；综合题． 6．（2015四川）如图，在△ABC 中，已知AB =AC =5，BC =6，且△ABC ≌△DEF ，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 、始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点． （1）求证：△ABE ∽△ECM ；（2）探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．此时，EF ⊥AC ，∴22221612EM=AE AM 455⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭．∴AEM 11161296S =AM EM 225525∆⋅⋅=⋅⋅=． ∴当线段AM 最短时，重叠部分的面积为9625．7．（2014年重庆市A 12分）已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =320，AE ⊥BD ，垂足是E ．点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ． （1）求AE 和BE 的长；（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程中，设A ′F ′所在的直线与直线AD 交于点P ．与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵AB =5，AD =203，∴由勾股定理得22222025BD AB AD 533⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.∵SBD 11S AB AD BD AE 22∆=⋅=⋅，∴1201255AE 2323⨯⨯=⨯，解得AE =4． ∴2222BE AB AE 543=-=-=.（2）当点F 在线段AB 上时，m 3=；当点F 在线段AD 上时，16m 3=. （3）存在，理由如下：①当DP =DQ 时，若点Q 在线段BD 的延长线上时，如答图1，有∠Q =∠1，则∠2=∠1+∠Q =2∠Q ．∵∠3=∠4+∠Q ，∠3=∠2，∴∠4+∠Q =2∠Q ． ∴∠4=∠Q ．∴A ′Q =A ′B =5． ∴F ′Q =4+5=9．在Rt △BF ′Q 中，2222593DQ 3⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得25DQ 3103=-或25DQ 3103=--（舍去）． 若点Q 在线段BD 上时，如答图2，有∠1=∠2=∠4， ∵∠1=∠3，∴∠3=∠4． ∵∠3=∠5+∠A ′，∠A ′=∠CBD ，∴∠3=∠5+∠CBD =∠A ′BQ ． ∴∠4=∠∠A ′BQ ． ∴A ′Q = A ′B =5．∴F ′Q =5-4=1． ∴22BQ 3110=+=. ∴25DQ 103=-. ②当QP =QD 时，如答图3，有∠P =∠1， ∵∠A ′=∠1，∠2=∠3， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠A ′． ∴QB =Q A ′． 设QB =Q A ′=x ，在Rt △BF ′Q 中，()22234x x +-=， 解得2525125x 3824=-=. ③当PD =PQ 时，如答图4， 有∠1=∠2=∠3，∵∠1=∠A ′，∴∠3=∠A ′．∴BQ =A ′B =5． ∴2510DQ 533=-=. 综上所述，当△DPQ 为等腰三角形时，DQ 的长为252512510310,10,,33243-- .【考点】1．轴对称、平移和旋转问题；2．矩形的性质；3．勾股定理；4．等腰三角形存在性问题；5．勾股定理；6．分类思想的应用．【分析】（1）由勾股定理求得BD 的长，根据三角形面积公式求出AE 的长，再应用勾股定理即可求得BE 的长．（2）根据平移的性质求解即可．（3）分DP =DQ （考虑点Q 在线段BD 的延长线和点Q 在线段BD 上两种情况），QP =QD ，PD =PQ 三种情况求解即可． 8．（2014年重庆市B 12分）如图1，在□ABCD 中，AH ⊥DC ，垂足为H ，AB ＝7，AD ＝7，AH 21.现有两个动点E 、F 同时从点A 出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC 方向匀速运动． 在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 与△ABC 在射线AC 的同侧，当点E 运动到点C 时，E 、F 两点同时停止运动． 设运转时间为t 秒． （1）求线段AC 的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；（3）当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，如图2，将△EFG 绕着点C 旋转一个角度(0360)αα︒<<︒．在旋转过程中，点E 与点C 重合，F 的对应点为F ′，G 的对应点为G ′． 设直线F ′G ′与射线DC 、射线AC 分别相交于M 、N 两点．试问：是否存在点M 、N ，使得△CMN 是以∠MCN 为底角的等腰三角形？若存在，请求出线段CM 的长度；若不存在，请说明理由．（3）存在．如图2，当等边△EFG 的顶点E 到达点C 时，AE =AC =7，AF =21，EF =14． △EFG 绕点C 旋转过程中，以∠MCN 为底角的等腰三角形△CMN 有两种情况：①当∠CMN 为等腰△CMN 的另一底角时，如答图1，过点C 作CI ⊥MN 于点I ，过N 作NJ ⊥CM 于点J ．在等边△CG ′I 中，易得77IG ',CI 322== .设IN a,CN MN b === ， 易得△ACH ∽△NCJ ，∴AC CH NC CJ =，即727b CJ=， ∴27CJ b 7=.∴47CM b 7=.在△CNI 中，由勾股定理得222CI IN CN +=，即22273a b 2⎛⎫+= ⎪⎝⎭，在△CMI 中，由勾股定理得222CI IM CM +=，即()2227473a b b 27⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 二者联立，解得49b 4=，∴47CM b 777==.二者联立，解得49b 4=，∴49CM b 4==.综上所述，线段CM 的长度为77或494. 【考点】1．双动点和面动旋转问题；2．勾股定理；3．线段垂直平分线的性质；4．等边、腰三角形的性质；5．由实际问题列函数关系式；6．旋转的性质；7．相似三角形的判定和性质；8．等腰三角形存在性问题；9．分类思想的应用．【分析】（1）由勾股定理求出DH 的长，证明点H 为DC 的中点，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得AC ＝AD ＝7．（2）分770t ,<t 4,4<t 733≤≤≤≤ 三种情况讨论即可．（3）分∠CMN 为等腰△CMN 的另一底角和∠CNM 为等腰△CMN 的另一底角两种情况讨论即可．。

中考数学压轴题专题十动态几何问题试题特点用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．方式趋势动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．热点解析一、点的运动【题1】（2011盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y＝43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．(1)求点A和点B的坐标；(2)过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【思路】(1)联立方程y＝－x＋7和y＝43x即可求出点A的坐标，令－x＋7＝0即可得点B的坐标．(2)①只要把三角形的面积用t表示，求出即可．应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况．（D只要把有关线段用t表示，找出满足AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件时t的值即可，应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线∠与AB相交）和P在CA上运动（此时直线∠与AO相交）时AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件．【失分点】以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形有多种可能，容易考虑不周．【反思】涉及的主要知识点有：一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定．【牛刀小试】1．（2010湖北咸宁）如图6，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向点A运动，当点M到达点B 时，两点同时停止运动．过点M作直线∠∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C －B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．(1)当t＝时，求线段QM的长．(2)当0<t<2时，如果以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值．(3)当t>2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究CQRQ是否为定值．若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．2．（2010湖南娄底）如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5，点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E，F．(1)求梯形ABCD的面积．(2)探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由．(3)探究二：四边形MNFF能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．3．(2010广西钦州)如图8，将OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点0运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了ts时，过点N作NP⊥BC，交OB 于点P，连接MP．(1)点B的坐标为_______；用含￡的式子表示点P的坐标为_______．(2)记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式(0<t<6)．并求t为何值时，S有最大值．(3)试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的13？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．二、线的运动【题2】（2010云南昭通）如图，已知直线l的解析式为y＝－x＋6，它与x轴，y 轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l．直线n与x轴，y轴分别相交于C，D两点．线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S．当直线n与直线l重合时，运动结束．(1)求A，B两点的坐标．(2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围．(3)直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切？②是否存在这样的T值，使得半圆面积S＝12S梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。