2017-2018学年安徽省蚌埠二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）判断圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切2．（5分）若直线l经过点P（2，3），且在x轴上的截距的取值范围是（﹣1，3），则其斜率的取值范围是（）A．k＜﹣3或k＞1B．﹣1＜k＜C．﹣3＜k＜1D．k3．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线4．（5分）一条光线从点A（2，4）射出，倾斜角为60°角，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（）A．x﹣y+4﹣2=0B．x﹣y﹣2﹣4=0C．x+y+4﹣2=0D．x+y﹣2﹣4=05．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 6．（5分）若圆x2+y2﹣2ax+3by=0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b=0一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（5分）已知点P（1，3）与直线l：x+y+1=0，则点P关于直线l的对称点坐标为（）A．（﹣3，﹣1）B．（2，4）C．（﹣4，﹣2）D．（﹣5，﹣3）8．（5分）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A．AC⊥BDB．AC=BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°9．（5分）已知棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半球底面上，四个顶点A，B，C，D都在半球面上，则半球体积为（）A．4B．2C．D．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．411．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条12．（5分）设点P（a，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点Q，使得∠OPQ=60°，则a的取值范围是（）A．[﹣]B．[]C．[]D．[]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）母线长为1的圆锥体，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为．14．（5分）一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm的正方形，则原图形的周长为cm．15．（5分）已知点P是圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0上的一点．直线l：3x﹣4y﹣5=0，若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有个．16．（5分）在平面内，?=?=?=6，若动点P，M满足||=2，=，则||的最小值是．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题10分，第18～22题每题12分）17．（10分）已知两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y﹣4a2﹣2=0．（1）若l1∥l2，求实数a的值；（2）若l1⊥l2，求实数a的值．18．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．19．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的点，QA，QB分别切圆M 与A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|的长度及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．20．（12分）已知四边形ABCD与四边形CDEF均为正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．（1）求证：ED⊥平面ABCD；（2）求二面角D﹣BE﹣C的大小．21．（12分）如图组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点．（1）求证：无论点C如何运动，平面A1BC⊥平面A1AC；（2）当C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．22．（12分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年安徽省蚌埠二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）判断圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【分析】根据题意，由圆的标准方程求出圆的圆心与半径，比较圆心距与两个圆的半径之和的大小，即可得答案．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2=1的圆心C1为（0，0），半径r1=1，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的圆心C2为（2，2），半径r2=3，则有2＜|C1C2|=2＜r1+r2=4，则两圆相交；故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判断，掌握圆与圆位置关系的判断方法即可．2．（5分）若直线l经过点P（2，3），且在x轴上的截距的取值范围是（﹣1，3），则其斜率的取值范围是（）A．k＜﹣3或k＞1B．﹣1＜k＜C．﹣3＜k＜1D．k【分析】利用斜率计算公式及其意义即可得出．【解答】解：取直线l与x轴的交点M（﹣1，0），N（3，0）．k PM==1，k PN==﹣3．∵直线l与线段MN相交，∴k＞1或k＜﹣3．故选：A．【点评】本题考查了斜率计算公式及其意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【分析】通过简单几何体和直观图说明A和B错误，根据正六棱锥的过中心和定点的截面知C错误，由圆锥的母线进行判断知D正确．【解答】解：A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B、如图（2）（3）所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了简单几何体的结构特征的应用，结合柱体、椎体和台体的结构特征，以及几何体的直观图进行判断，考查了空间想象能力．4．（5分）一条光线从点A（2，4）射出，倾斜角为60°角，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（）A．x﹣y+4﹣2=0B．x﹣y﹣2﹣4=0C．x+y+4﹣2=0D．x+y﹣2﹣4=0【分析】利用点A（2，4）关于x轴的对称点A′（2，﹣4）在反射光线上，再根据入射光线x轴正方向成60°角，tan120°=﹣，得到反射光线所在的直线方程的斜率k=tan120°，由点斜式写出反射光线所在的直线方程．【解答】解：∵tan60°=，∴k=tan（180°﹣60°）=﹣，∵点A（2，4）关于x轴的对称点A′（2，﹣4）在反射光线上，设反射光线所在的直线方程y=﹣x+b，∴﹣4=﹣×2+b，解得b=2﹣4，故反射光线所在的直线方程y=﹣x+2﹣4，即x+y+4﹣2=0，故选：C．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点坐标的方法，用两点式求直线的方程，反射定律的应用．考查计算能力．5．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．6．（5分）若圆x2+y2﹣2ax+3by=0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b=0一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由已知圆的圆心在第三象限，建立关于a、b的不等式组解出a＜0且b ＞0，由此算出直线x+ay+b=0经过x轴负半轴一点和y轴正半轴一点，可得它不经过第四象限．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2ax+3by=0的圆心为（a，﹣）∴圆心位于第三象限，得a＜0且﹣＜0，解得a＜0且b＞0又∵直线x+ay+b=0，在x轴的截距为﹣b＜0，在y轴的截距为﹣＞0∴直线x+ay+b=0经过x轴负半轴一点和y轴正半轴一点由此可得直线经过一、二、三象限，不经过第四象限故选：D．【点评】本题给出含有参数a、b的圆的圆心在第三象限，求直线x+ay+b=0经过的象限．着重考查了直线的方程、圆的方程等知识，属于基础题．7．（5分）已知点P（1，3）与直线l：x+y+1=0，则点P关于直线l的对称点坐标为（）A．（﹣3，﹣1）B．（2，4）C．（﹣4，﹣2）D．（﹣5，﹣3）【分析】设点P关于直线l的对称点坐标为Q（a，b），可得+1=0，=1，联立解得a，b．【解答】解：设点P关于直线l的对称点坐标为Q（a，b），则+1=0，=1，联立解得a=﹣4，b=﹣2．∴点P关于直线l的对称点坐标为（﹣4，﹣2）．故选：C．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A．AC⊥BDB．AC=BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．由BD∥PN，∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．∴，，而AN≠DN，PN=MN，∴BD≠AC．B错误．故选：B．【点评】本题考查了线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角，属于基本知识的考查．9．（5分）已知棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半球底面上，四个顶点A，B，C，D都在半球面上，则半球体积为（）A．4B．2C．D．【分析】先求正方体的底面对角线的长，再求球的半径，然后求半球的体积．【解答】解：正方体的顶点A、B、C、D在半球的底面内，顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，底面ABCD的中心到上底面顶点的距离就是球的半径=，半球的体积：×π×（）3=2π．故选：B．【点评】本题考查球内接多面体的知识，考查空间想象能力，是基础题10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．4【分析】由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的三棱锥，其体积V=×（×2×2）×2=，故选：B．【点评】本题考查的知识点棱锥的体积与表面积，空间几何体的三视图，难度中档．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条第11页（共24页）【分析】先画出正方体，然后根据题意试画与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线，从而发现结论．【解答】解：在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，当M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点．如图：故选：D ．【点评】本题主要考查立体几何中空间直线相交问题，同时考查学生的空间想象能力．12．（5分）设点P （a ，1），若在圆O ：x 2+y 2=1上存在点Q ，使得∠OPQ=60°，则a 的取值范围是（）A ．[﹣]B ．[]C ．[]D ．[]【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点Q （a ，1），要使圆O ：x 2+y 2=1上存在点N ，使得∠OPQ=60°，则∠OQP 的最大值大于或等于60°时一定存在点P ，使得∠OPQ=60°，而当QP 与圆相切时∠OQP 取得最大值，QP 与圆相切时∠OQP取得最大值，。
2017-2018学年安徽省安庆市怀宁二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（5分×12题=60分）1．（5分）现有以下说法，其中正确的是（）①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①②B．②③C．③④D．②④2．（5分）设集合M是由不小于的数组成的集合，，则下列关系中正确的是（）A．a∈M B．a∉M C．a=M D．a≠M3．（5分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）=|x|，B．，C．，g（x）=x+1 D．，4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣D．f（x）=﹣|x| 5．（5分）如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（∁I A∩B）∩C B．（∁I B∪A）∩C C．（A∩B）∩∁I C D．（A∩∁I B）∩C 6．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣6，6）上的偶函数，f（x）在[0，6）上是单调函数，且f（﹣2）＜f（1）则下列不等式成立的是（）A．f（﹣1）＜f（1）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（﹣4）C．f（﹣2）＜f （0）＜f（1）D．f（5）＜f（﹣3）＜f（﹣1）7．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）若lg2=a，lg3=b，则等于（）A．B．C．D．9．（5分）若函数f（x）=（a﹣3）•a x是指数函数，则f（）的值为（）A．2 B．2 C．﹣2D．﹣210．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0，x∈R），B={x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊊C⊊B的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）函数的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）已知函数f（x）=是R上的减函数则a的取值范围是（）A．（0，3） B．（0，3]C．（0，2） D．（0，2]二、填空题（5分×4题=20分）13．（5分）函数y=+的定义域是．14．（5分）已知f（x）=，则f（log43）=．15．（5分）函数f（x）=2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是．16．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，则函数f（x）的解析式为．三、解答题（10分+12分×5题=70分）17．（10分）求值．（1）（﹣3）+0.002﹣10（﹣2）﹣1+（﹣）0；（2）计算．18．（12分）已知全集U={x|﹣5≤x≤3}，A={x|﹣5≤x＜﹣1}，B={x|﹣1≤x＜1}，求∁U A，∁U B，（∁U A）∩（∁U B）．19．（12分）（1）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））=16x﹣25，求f（x）．（2）已知，求f（x）的解析式．20．（12分）已知函数是奇函数．（1）求m的值；（2）判定f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明．21．（12分）函数f（x）的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0，f（1）=﹣2．（1）求证：f（x）是奇函数．（2）求证：f（x）在R上是减函数．（3）解不等式：f（2x﹣1）＜﹣4．22．（12分）已知定义在R上的函数是奇函数．（1）求a的值；（2）判断f（x）的单调性（不需要写出理由）；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．2017-2018学年安徽省安庆市怀宁二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（5分×12题=60分）1．（5分）现有以下说法，其中正确的是（）①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①②B．②③C．③④D．②④【分析】利用集合中元素的确定性能求出结果．【解答】解：在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意集合中元素的确定性的合理运用．2．（5分）设集合M是由不小于的数组成的集合，，则下列关系中正确的是（）A．a∈M B．a∉M C．a=M D．a≠M【分析】a不是集合M中的元素．【解答】解：∵集合M是由不小于的数组成的集合，，∴a不是集合M中的元素，故a∉M．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意元素与集合的关系的合理运用．3．（5分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）=|x|，B．，C．，g（x）=x+1 D．，【分析】分别判断两个函数定义域和对应法则是否一致即可．【解答】解：A．函数g（x）==|x|，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数．B．函数f（x）==|x|，g（x）=x，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数．C．函数f（x）=x+1的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．D．由，解得x≥1，即函数f（x）的定义域为{x|x≥1}，由x2﹣1≥0，解得x≥1或x≤﹣1，即g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤﹣1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选：A．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为相等函数，判断的标准是判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同．4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣D．f（x）=﹣|x|【分析】由题意知A和D在（0，+∞）上为减函数；B在（0，+∞）上先减后增；c在（0，+∞）上为增函数．【解答】解：∵f（x）=3﹣x在（0，+∞）上为减函数，∴A不正确；∵f（x）=x2﹣3x是开口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（0，+∞）上先减后增，∴B不正确；∵f（x）=﹣在（0，+∞）上y随x的增大而增大，所它为增函数，∴C正确；∵f（x）=﹣|x|在（0，+∞）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，∴D不正确．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性，解题时要认真审题，仔细解答．5．（5分）如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（∁I A∩B）∩C B．（∁I B∪A）∩C C．（A∩B）∩∁I C D．（A∩∁I B）∩C 【分析】先根据图中的阴影部分的元素属于哪个集合，不属于哪个集合进行判定，然后利用集合的交集和补集表示即可．【解答】解：根据题图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C则阴影部分所表示的集合是（A∩∁I B）∩C故选：D．【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算等基础知识，以及识图能力的考查．6．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣6，6）上的偶函数，f（x）在[0，6）上是单调函数，且f（﹣2）＜f（1）则下列不等式成立的是（）A．f（﹣1）＜f（1）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（﹣4）C．f（﹣2）＜f （0）＜f（1）D．f（5）＜f（﹣3）＜f（﹣1）【分析】由条件判断函数在[0，6]上是单调减函数，可得f（1）＞f（3）＞f（5），从而得出结论．【解答】解：由题意可得，函数f（x）在[﹣6，0]上也是单调函数，再根据f（﹣2）＜f（1）=f（﹣1），可得函数f（x）在[﹣6，0]上是单调增函数，故函数f（x）在[0，6]上是单调减函数，故f（﹣1）=f（1）＞f（﹣3）=f（3）＞f（5），故选：D．【点评】本题主要考查偶函数的单调性规律，属于中档题．7．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A．【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．8．（5分）若lg2=a，lg3=b，则等于（）A．B．C．D．【分析】利用对数的运算性质，用lg2和lg3表示lg12和lg15，再把所给的值代入即可．【解答】解：==，∵lg2=a，lg3=b，∴=，故选：A．【点评】本题考查了对数的运算性质，对于这类有条件的求值问题，一般需要把所给的式子用已知的条件表示出来，是基础题．9．（5分）若函数f（x）=（a﹣3）•a x是指数函数，则f（）的值为（）A．2 B．2 C．﹣2D．﹣2【分析】根据指数函数的定义可得a﹣3=1，a＞0，a≠1，先求出函数解析式，将x=代入可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=（a﹣3）•a x是指数函数，∴a﹣3=1，a＞0，a≠1，解得a=8，∴f（x）=8x，∴f（）==2，故选：B．【点评】本题主要考查了指数函数的定义：形如y=a x（a＞0，a≠1）的函数叫指数函数，属于考查基本概念．10．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0，x∈R），B={x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊊C⊊B的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分解求解集合A，B，根据集合的基本运算即可求．【解答】解：集合A={x|x2﹣3x+2=0，x∈R）={1，2}集合B={x|0＜x＜5，x∈N}={1，2，3，4}，由A⊊C⊊B，可知集合C一定函数：1，2这两个元素，可能有3或者4，∴集合C的个数为2个故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．11．（5分）函数的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．【解答】解：函数的定义域为：x＞2或x＜﹣2，y=log2x是增函数，y=x2﹣4，开口向上，对称轴是y轴，x＞2时，二次函数是增函数，由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为（2，+∞）．故选：C．【点评】本题考查复合函数的单调性的求法，忽视函数的定义域是易错点，考查计算能力．12．（5分）已知函数f（x）=是R上的减函数则a的取值范围是（）A．（0，3） B．（0，3]C．（0，2） D．（0，2]【分析】由f（x）为R上的减函数可知，x≤1及x＞1时，f（x）均递减，且（a ﹣3）×1+5≥，由此可求a的取值范围．【解答】解：因为f（x）为R上的减函数，所以x≤1时，f（x）递减，即a﹣3＜0①，x＞1时，f（x）递减，即a＞0②，且（a﹣3）×1+5≥③，联立①②③解得，0＜a≤2．故选：D．【点评】本题考查函数单调性的性质，本题结合图象分析更为容易．二、填空题（5分×4题=20分）13．（5分）函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠2} ．【分析】根据使函数y=+的解析式有意义的原则，构造不等式组，解不等式组可得函数的定义域．【解答】解：要使函数y=+的解析式有意义自变量x须满足：解得x≥﹣1，且x≠2故函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠2}故答案为：{x|x≥﹣1，且x≠2}【点评】本题考查的知识点是函数的定义或及其求法，其中根据使函数y=+的解析式有意义的原则，构造不等式组，是解答的关键．14．（5分）已知f（x）=，则f（log43）=3．【分析】判断出0＜log43＜1，根据分段函数的式子求解，再利用对数运算求解．【解答】解：∵f（x）=，0＜log43＜1∴f（log43）=4=3，故答案为：3【点评】本题考察了分段函数，对数的运算，属于中档题．15．（5分）函数f（x）=2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1）．【分析】根据指数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，利用指数幂的运算性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，则函数f（x）的解析式为．【分析】根据f（x）是奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，即可求解x＞0的解析式．【解答】解：f（x）是奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，那么：x＞0时，﹣x＜0，可得f（﹣x）=﹣x2+x，即f（x）=x2﹣x，故答案为：．【点评】本题考查了函数解析式的求法，利用了奇偶性，属于基础题．三、解答题（10分+12分×5题=70分）17．（10分）求值．（1）（﹣3）+0.002﹣10（﹣2）﹣1+（﹣）0；（2）计算．【分析】（1）（2）根据指数，对数的运算性质计算即可．【解答】（1）原式=+﹣+1=+﹣10（+2）+1=．（2）原式==1+1+（lg5）2+2lg5lg2+（lg2）2=2+（lg5+lg2）2=3．【点评】本题考查了指数、对数的互化，考查指数，对数的运算性质，是一道基础题．18．（12分）已知全集U={x|﹣5≤x≤3}，A={x|﹣5≤x＜﹣1}，B={x|﹣1≤x＜1}，求∁U A，∁U B，（∁U A）∩（∁U B）．【分析】由补集的定义，求得∁U A，∁U B，再计算（∁U B）∩（∁U B）．【或计算A∪B，根据（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）求得运算结果】．【解答】解：全集U={x|﹣5≤x≤3}，A={x|﹣5≤x＜﹣1}，B={x|﹣1≤x＜1}，由补集的定义，得∁U A={x|﹣1≤x≤3}，∁U B={x|﹣5≤x≤﹣1，或1≤x≤3}；∴（∁U A）∩（∁U B）={x|1≤x≤3}．【或方法二：∵A∪B={x|﹣5≤x≤1}，∴（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）={x|1≤x≤3}】．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．19．（12分）（1）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））=16x﹣25，求f（x）．（2）已知，求f（x）的解析式．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用换元法求解求解f（x）的解析式．【解答】解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），则f（f（x））=k（kx+b）+b=k2x+kb+b，∴k2x+kb+b=16x﹣25．∴，∴或，∴f（x）的解析式为：f（x）=4x﹣5或，（2）由题意，设，t ≥1， 则=t ﹣1，x=（t ﹣1）2，那么f （t ）=（t ﹣1）2+2（t ﹣1）=t 2﹣1，∴f （x ）的解析式为：f （x ）=x 2﹣1．【点评】本题考查了函数解析式的求法，利用了待定系数法和换元法，属于基础题．20．（12分）已知函数是奇函数．（1）求m 的值；（2）判定f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明．【分析】（1）由奇函数的定义可得f （﹣x ）=﹣f （x ），化简整理，可得m ；（2）f （x ）在（1，+∞）上单调递减．运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论．【解答】解：（1）函数是奇函数， 可得f （﹣x ）=﹣f （x ），即有ln=﹣ln =ln ， 可得=， 即为1﹣m 2x 2=1﹣x 2，即m 2=1，可得m=1或﹣1，当m=1时，显然不成立；当m=﹣1时，f （x ）=ln为奇函数，则m=﹣1；（2）f （x ）在（1，+∞）上单调递减．证明：设x 1，x 2∈（1，+∞），且x 1＜x 2，﹣=， x 1，x 2∈（1，+∞），且x 1＜x 2，可得x 2﹣x 1＞0，x 1﹣1＞0，x 2﹣1＞0，则＞＞0，则ln＞ln，即为f（x1）＞f（x2），可得f（x）在（1，+∞）上单调递减．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，考查对数的运算性质，以及推理能力，属于中档题．21．（12分）函数f（x）的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0，f（1）=﹣2．（1）求证：f（x）是奇函数．（2）求证：f（x）在R上是减函数．（3）解不等式：f（2x﹣1）＜﹣4．【分析】（1）赋值x=y=0，可求得f（0）=0，再赋值y=﹣x即可得到f（x）+f（﹣x）=0，利用奇偶性的定义可判断f（x）奇偶性；（2）利用单调性的定义，令x1＜x2，作差f（x1）﹣f（x2），利用恒等式进行转化，转化为f（x2﹣x1），利用当x＞0时，f（x）＜0，判断符号，即可证得f（x）在R上是减函数；（3）利用f（x+y）=f（x）+f（y），即可求得f（2）的值，利用f（x）的单调性，求解不等式的解集．【解答】解：（1）∵f（x）+f（y）=f（x+y），∴令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0，再令y=﹣x，得f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴y=f（x）是R上的奇函数；（2）令x1＜x2，∵f（x+y）=f（x）+f（y），且y=f（x）是R上的奇函数，∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1），∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＜0，∴f（x2﹣x1）＜0，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x1）＞f（x2），∴y=f（x）是R上的减函数；（3）f（1）=﹣2，f（x+y）=f（x）+f（y），可得f（2）=f（1）+f（1）=﹣4，f（2x﹣1）＜﹣4=f（1）+f（1）=f（2）由（2）知，f（x）在R上是减函数∴2x﹣1＞2，2x＞3，∴不等式的解集为．【点评】本题考查了抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，函数的最值问题．函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．本题证明函数单调性的关键是运用恒等式进行合理的转化．利用函数的单调性去掉“f”，转化为具体不等式进行求解．属于中档题．22．（12分）已知定义在R上的函数是奇函数．（1）求a的值；（2）判断f（x）的单调性（不需要写出理由）；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由f（x）在R上为奇函数，可得f（0）=0，解方程可得a；（2）由指数函数的单调性，可得f（x）的单调性；（3）由题意可得f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），又f（x）在R上为减函数，可得t2﹣2t＞k﹣2t2，即有3t2﹣2t＞k，运用二次函数的最值求法，可得t的范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即，∴；（2）f（x）在R上为减函数；（3）∵f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）∵f（x）为奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），又f（x）在R上为减函数，∴t2﹣2t＞k﹣2t2，∴3t2﹣2t＞k，又，当t=时，上式取得最小值﹣，∴．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．。
蚌埠二中2018-2019学年第二学期期中考试高一数学试题一、选择题。
1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据诱导公式化角，再根据两角和正弦公式求结果.【详解】,选C. 【点睛】本题考查诱导公式以及两角和正弦公式，考查基本求解能力，属基础题.2.已知是公差为的等差数列，为的前n项和，若，，成等比数列，则（）A. B. 35 C. D. 25【答案】C【解析】【分析】根据条件求首项，再根据等差数列求和公式得结果,【详解】因为，，成等比数列，所以，因此,选C.【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本求解能力，属基础题.3.在中，已知，，，则的度数是A. B. C. D. 或【答案】B【解析】根据正弦定理求解.【详解】由正弦定理得，因为,所以B为锐角，即，选B.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.4.若，则（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．5.已知数列中，，且，则数列通项公式为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：∵a n=3a n-1+4，∴a n+2=3（a n-1+2），∵a1+2=3，∴a n+2是公比为3首项是3的等比数列，即a n+2=3×3n-1，a n=3n-2．考点：数列的性质和应用．6.函数在区间上的最小值是（）A. B. C. -1 D.【解析】【分析】由同角三角函数关系将其转化为关于的函数问题，运用二次函数求出最小值【详解】,,故故当时，函数取得最小值即当时，故选D【点睛】本题考查了同角三角函数关系，将其转化为关于的二次函数问题，注意的取值范围，较为基础7.若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大自然数n是A. 46B. 47C. 48D. 49【答案】A【解析】【分析】首先判断出a23＞0，a24＜0，进而a1+a46=a23+a24＞0，所以可得答案．【详解】∵{a n}是等差数列，并且a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0可知{a n}中，a23＞0，a24＜0，∴a1+a46=a23+a24＞0所以，故使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是46，故答案为：A【点睛】等差数列的性质灵活解题时技巧性强，根据等差数列的概念和公式，可以推导出一些重要而便于使用的变形公式．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果．8.中有：若，则；若，则定为等腰三角形；若，则定为直角三角形；若，，且该三角形有两解，则b的范围是以上结论中正确的个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理以及三角形内角范围判断选择.【详解】若，则；若，则或，即或，为等腰三角形或直角三角形；若，则所以,即定为直角三角形；由正弦定理得，因为三角形有两解，所以，所以结论中正确的个数有两个，选B.【点睛】本题考查正弦定理以及诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9.对函数的表述错误的是A. 最小正周期为B. 函数向左平移个单位可得到C. 在区间上递增D. 点是的一个对称中心【答案】D【解析】【分析】先根据二倍角公式以及辅助角公式化函数为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质判断选择.【详解】因为,所以最小正周期为，向左平移个单位可得到,因为,所以，即递增，因为时，，所以点不是的对称中心，综上选D.【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10.已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列和等比数列的通项公式求得a n和b n，从而得，进而利用等比数列求和公式求解即可. 【详解】由a n+1﹣a n2，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又因为＝1，所以a n＝+（n﹣1）d＝2n﹣1．＝•22n﹣2＝22n﹣2．所以b2n﹣1设，所以＝22n﹣2，所以4，所以数列{∁n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10项的和为（410﹣1）．故选：D．【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，属于基础题.11.已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得等比数列的首项和公比，得到，分析数列的单调性得到的最值，从而列不等式求解即可.【详解】由，得，当时，取最大值1，当时，取最小值，所以，，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性，结合首项和公比即可判断，属于中档题.12.已知函数，若在区间内有零点，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】将化简可得，由得，当时，，由题意知存在，，即，所以，由知，当时，，，，…，所以选D.点睛：本题主要考查了三角函数的化简，考查了三角函数的零点问题以及学生计算能力，难度一般；考查其性质时，首先应将其化为三角函数的一般形式，在化简过程中应注意降幂公式及辅助角公式的熟练运用，易得，由的范围，可得，即的取值范围，解出，根据可得结果.二、填空题。
2017-2018学年安徽省蚌埠市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．πB．2πC．4πD．8π2．（5分）若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则（）A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直3．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中OA=OB=1，则原平面图形的面积为（）A．1B．C．D．24．（5分）已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是（）A．24πB．18πC．12πD．6π5．（5分）如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（）A．B．C．D．6．（5分）一个封闭立方体的六个面积各标出A，B，C，D，E，F这六个字母，现放成如图所示三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A，B，C对面的字母分别是（）A．D，E，F B．F，D，E C．E，F，D D．E，D，F 7．（5分）已知直线l1：x+my+7=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则实数m=（）A．m=﹣1或3B．m=﹣1C．m=﹣3D．m=1或m=﹣3 8．（5分）直线y=x﹣1的倾斜角是（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线l1；2x+y﹣2=0，l2：ax+4y+1=0，若l1⊥l2，则a的值为（）A．8B．2C．﹣D．﹣210．（5分）已知三点坐标A（0，﹣4），B（4，0），C（﹣6，2），点D，E，F分别为线段BC，CA，AB的中点，则直线EF的方程为（）A．x+5y+8=0B．x﹣y+2=0C．x+y=0D．x+y+4=0 11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上，且AM=BN．以下结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面，⑤MN与A1C1成30°．其中有可能成立的结论的个数为（）A．5B．4C．3D．212．（5分）直线y=k（x﹣1）与A（3，2）、B（0，1）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，3]C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）过点（﹣1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是．14．（5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，请你补充一个条件，使平面MBD⊥平面PCD．①DM⊥PC ②DM⊥BM③BM⊥PC ④PM=MC（填写你认为是正确的条件对应的序号）．15．（5分）一条光线从A（﹣，0）处射到点B（0，1）后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为．16．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；④如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．其中正确的命题有；（填写所有正确命题的编号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）三角形的三个顶点A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（1）求BC边所在的直线的方程；（2）求△ABC的面积．18．（12分）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）GH∥面ABC（2）平面EFA1∥平面BCHG．19．（12分）已知两直线l1：x﹣2y+4=0，l2：4x+3y+5=0．（1）求直线l1与l2的交点P的坐标；（2）若直线ax+2y﹣6=0与l1、l2可组成三角形，求实数a满足的条件；（3）设A（﹣1，﹣2），若直线l过点P，且点A到直线l的距离等于1，求直线l的方程．20．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA=AD．求证：（1）CD⊥PD；（2）EF⊥平面PCD．21．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．22．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D﹣ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．2017-2018学年安徽省蚌埠市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．πB．2πC．4πD．8π【分析】由三视图可知，该几何体为底面半径直径为2，高为2的圆柱的一半，求出体积即可．【解答】解：由三视图可知，该几何体为一圆柱通过轴截面的一半圆柱，底面半径直径为2，高为2．体积V==π．故选：A．【点评】本题的考点是由三视图求几何体的体积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积公式分别求解，考查了空间想象能力．2．（5分）若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则（）A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直【分析】借助正方体判定．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD⊥面AA1DD1，①，AA1⊂平面ABCD，AB⊂面AA1DD1，AA1⊥AB，AA1⊥平面ABCD；②DA1⊂平面ABCD，DC⊂面AA1DD1，DA1⊥DC，DA1不垂直平面ABCD．故选：C．【点评】本题考查了空间线线，线面、面面位置关系，属于基础题．3．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中OA=OB=1，则原平面图形的面积为（）A．1B．C．D．2【分析】根据斜二测画法规则，把直观图还原成原平面图，再求该平面图形的面积．【解答】解：根据斜二测画法规则，把直观图还原成原平面图形如图所示，则该平面图形是直角三角形，它的面积为S=O′A′•O′B′=×1×2=1．故选：A．【点评】本题考查了斜二测画直观图的应用问题，也考查了求平面图形面积的应用问题，是基础题．4．（5分）已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是（）A．24πB．18πC．12πD．6π【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为2，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的半径为：，∴外接球的表面积的值为4π•（）2=24π．故选：A．【点评】本题考查球的内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力，属于基础题．5．（5分）如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（）A．B．C．D．【分析】正视图和左视图可以得到A，俯视图可以得到B和D，结合三视图的定义和作法解答本题正确答案D．【解答】解：正视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，下面是正四棱柱或圆柱，俯视图可知下面是圆柱．故选D【点评】本题主要考查三视图，三视图的复原，可以直接解答，也可以排除作答，是基本能力题目．6．（5分）一个封闭立方体的六个面积各标出A，B，C，D，E，F这六个字母，现放成如图所示三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A，B，C对面的字母分别是（）A．D，E，F B．F，D，E C．E，F，D D．E，D，F【分析】本题可从图形进行分析，结合正方体，得到各个面上的字母，即可求得结果．【解答】解：第一个正方体已知A，B，C，第二个正方体已知A，C，D，第三个正方体已知B，C，F，且不同的面上写的字母各不相同，则可知C对面标的是E，B对面标的是D，A对面标的是F．故选：B．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的字母问题，此类问题可以制作一个正方体，根据题意在各个面上标上字母，再确定对面上的字母，本题是一个基础题．7．（5分）已知直线l1：x+my+7=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则实数m=（）A．m=﹣1或3B．m=﹣1C．m=﹣3D．m=1或m=﹣3【分析】由m（m﹣2）﹣3=0，解得m．经过验证即可得出．【解答】解：由m（m﹣2）﹣3=0，解得m=3或﹣1．经过验证都满足两条直线平行，∴m=3或﹣1．故选：A．【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）直线y=x﹣1的倾斜角是（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程求出斜率，根据斜率得出对应的倾斜角．【解答】解：直线y=x﹣1的斜率是1，所以倾斜角为45°，即．故选：B．【点评】本题考查了根据直线方程求斜率与倾斜角的应用问题，是基础题目．9．（5分）已知直线l1；2x+y﹣2=0，l2：ax+4y+1=0，若l1⊥l2，则a的值为（）A．8B．2C．﹣D．﹣2【分析】由直线方程分别求出l1、l2的斜率，再由l1⊥l2得斜率之积为﹣1，列出方程并求出a的值．【解答】解：由题意得，l1：2x+y﹣2=0，l2：ax+4y+1=0，则直线l1的斜率是﹣2，l2的斜率是﹣，∵l1⊥l2，∴（﹣）×（﹣2）=﹣1，解得a=﹣2，故选：D．【点评】本题考查直线垂直的条件应用，属于基础题．10．（5分）已知三点坐标A（0，﹣4），B（4，0），C（﹣6，2），点D，E，F分别为线段BC，CA，AB的中点，则直线EF的方程为（）A．x+5y+8=0B．x﹣y+2=0C．x+y=0D．x+y+4=0【分析】利用中点坐标公式求出E，F的坐标，用点斜式求出直线方程．【解答】解：由题意，E（﹣3，﹣1），F（2，﹣2），∴直线EF的方程为y+1=（x+1），即x+5y+8=0，故选：A．【点评】本题考查用点斜式求出直线方程，考查中点坐标公式，比较基础．11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上，且AM=BN．以下结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面，⑤MN与A1C1成30°．其中有可能成立的结论的个数为（）A．5B．4C．3D．2【分析】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，可得四边形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得结论成立；由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A1B1C1D1，故MN∥平面A1B1C1D1；MN∥FE，FE与AC所在直线相交时，MN与A1C1异面，FE与AC平行时，则平行，故②④可能成立；⑤EF与AC成30°时，MN与A1C1成30°．【解答】解：①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，∵AM=BN，∴NE=MF，∴四边形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF⊂面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正确；由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A1B1C1D1，∴MN∥平面A1B1C1D1，故③正确；MN∥FE，FE与AC所在直线相交时，MN与A1C1异面，FE与AC平行时，则平行，故②④可能成立；⑤EF与AC成30°时，MN与A1C1成30°．故选：A．【点评】本题考查线面平行、垂直，考查线面角的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）直线y=k（x﹣1）与A（3，2）、B（0，1）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，3]C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】求出直线y=k（x﹣1）过定点C（1，0），再求它与两点A（3，2），B（0，1）的斜率，即可取得k的取值范围．【解答】解：y=k（x﹣1）过C（1，0），而k AC==1，k BC==﹣1，故k的范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故选：D．【点评】本题考查直线的斜率，是基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）过点（﹣1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是2x+y=0或x+y﹣1=0．【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y﹣k=0，把点（﹣1，2）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线过原点时，方程为y=﹣2x，即2x+y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y﹣k=0，把点（﹣1，2）代入直线的方程可得k=﹣1，故直线方程是x+y﹣1=0．综上，所求的直线方程为2x+y=0，或x+y﹣1=0，故答案为：2x+y=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．14．（5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，请你补充一个条件①（或③），使平面MBD ⊥平面PCD．①DM⊥PC ②DM⊥BM③BM⊥PC ④PM=MC（填写你认为是正确的条件对应的序号）．【分析】由已知得BD⊥PA，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，进而BD⊥PC．由此得到当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，平面MBD⊥平面PCD．【解答】解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD．而PC属于平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．故答案为：①（或③）．【点评】本题考查面面垂直的条件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．15．（5分）一条光线从A（﹣，0）处射到点B（0，1）后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为2x+y﹣1=0．【分析】由反射定律可得点A（﹣，0）关于y轴的对称点A′（，0）在反射光线所在的直线上，再根据点B（0，1）也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程．【解答】解：由反射定律可得点点A（﹣，0）关于y轴的对称点A′（，0）在反射光线所在的直线上，再根据点B（0，1）也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程为，即2x+y﹣1=0，故答案为：2x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用两点式求直线的方程，属于基础题．16．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；④如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．其中正确的命题有①③；（填写所有正确命题的编号）【分析】①由面面平行的性质定理判定真假；②可能n⊂α，即可判断出真假；③利用线面垂直的性质定理即可判断出真假；④由已知可得α与β相交或平行，即可判断出真假．【解答】解：①由面面平行的性质定理可得：①为真命题；②可能n⊂α，因此是假命题；③如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n，是真命题；④如果m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，又n∥β，那么α与β相交或平行，因此是假命题．综上可得：只有①③是真命题．故答案为：①③．【点评】本题考查了空间线面面面位置关系的判定及其性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）三角形的三个顶点A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（1）求BC边所在的直线的方程；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）求出直线BC的斜率，求出直线BC的方程即可；（2）求出A到BC的距离d，根据三角形的面积公式求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵A（4，0），B（6，7），C（0，3）．∴k BC==，∴BC边所在的直线的方程为y﹣3=x，即2x﹣3y+9=0；（2）A到BC的距离d==，|BC|==2，故S=d•|BC|=××2=17．【点评】本题考查了直线方程问题，考查三角形的面积公式，是一道基础题．18．（12分）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）GH∥面ABC（2）平面EFA1∥平面BCHG．【分析】（1）推导出GH∥B1C1∥BC，由此能证明GH∥面ABC．（2）推导出EF∥BC，A1E∥BG，由此能证明平面EFA1∥平面BCHG．【解答】证明：（1）∵在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，∴GH∥B1C1∥BC，∵GH⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴GH∥面ABC．（2）∵在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，∴EF∥BC，A 1G BE，∴四边形BGA1E是平行四边形，∴A1E∥BG，∵A1E∩EF=E，BG∩BC=B，A1E，EF⊂平面EFA1，BG，BC⊂平面BCHG，∴平面EFA1∥平面BCHG．【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）已知两直线l1：x﹣2y+4=0，l2：4x+3y+5=0．（1）求直线l1与l2的交点P的坐标；（2）若直线ax+2y﹣6=0与l1、l2可组成三角形，求实数a满足的条件；（3）设A（﹣1，﹣2），若直线l过点P，且点A到直线l的距离等于1，求直线l的方程．【分析】（1）联立方程组，能求出l1，l2的交点．（2）（i）当直线ax+2y﹣6=0过l1与l2的交点P时，不能构成三角形，当直线ax+2y ﹣6=0分别与l1、l2平行时，不能构成三角形，由此能求出结果．（3）若所求直线斜率存在，设所求的直线方程为y﹣1=k（x+2），由所求的直线与点A（﹣1，﹣2）的距离为1，利用点到直线距离公式求出，从而求出直线l的方程；若所求直线斜率不存在时，即l为x+2=0，满足题意．由此能求出直线l的方程．【解答】解：（1）由∴l1，l2的交点为P（﹣2，1）．（2）（i）当直线ax+2y﹣6=0过l1与l2的交点P时，不能构成三角形，∴a•（﹣2）+2×1﹣6≠0，解得a≠﹣2，（ii）当直线ax+2y﹣6=0分别与l1、l2平行时，不能构成三角形，∴综上所述：．（3）若所求直线斜率存在，设所求的直线方程为y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+（2k+1）=0∵所求的直线与点A（﹣1，﹣2）的距离为1，，得即所求的直线l的方程为4x+3y+5=0若所求直线斜率不存在时，即l为x+2=0，∵点A（﹣1，﹣2）到直线l为x+2=0的距离为1，∴直线x+2=0也满足题意．故所求的直线l的方程为4x+3y+5=0，或x+2=0．【点评】本题考查两直线交点坐标的求法，考查实数满足的条件的求法，考查直线方程的求法，涉及到直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．20．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA=AD．求证：（1）CD⊥PD；（2）EF⊥平面PCD．【分析】（1）由线面垂直得CD⊥PA，由矩形性质得CD⊥AD，由此能证明CD⊥PD．（2）取PD的中点G，连结AG，FG．由已知条件推导出四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF．再由已知条件推导出EF⊥CD，由此能证明EF⊥平面PCD．【解答】（本题满分8分）证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．（4分）（2）取PD的中点G，连结AG，FG．又∵G、F分别是PD、PC的中点，∴GF平行且等于CD，∴GF平行且等于AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF．∵PA=AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD．∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD=D，∴EF⊥平面PCD．（8分）【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查直线垂直于平面的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为：+=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．综上所述直线l的方程为：x+y+2=0或3x+y=0；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．22．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D﹣ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．【分析】（1）分别作出三角形的高，求出四个三角形的面积，然后求三棱锥D﹣ABC的表面积；（2）要证AC⊥平面DEF，先证AC⊥DE，再证AC⊥EF，即可．（3）M为BD的中点，连CM，设CM∩DE=O，连OF，只要MN∥OF即可，求出CN．【解答】解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=．设G为CD的中点，则CG=，AG=．∴，，．三棱锥D﹣ABC的表面积为．（2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．（3）存在这样的点N，当CN=时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE=O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM．∴当CF=CN时，MN∥OF．∴CN=．【点评】本题考查棱锥的结构特征，证明线面垂直，线面平行，考查逻辑思维能力，是中档题．。
