3.3p值检验法和第二类错误

若显著性水平 α ≥ p = 0.237, 则对应的临界值 z0 ≤ 1.983， 这表示观察值 z 0 ＝ 1.983落在拒绝域内 (如
（ 1 ）若p值 ≤ α， 则在显著性水平 α下拒绝 H 0 ; （2 ）若 p值 > α， 则在显著性水平 α下接受 H 0 . 有了这两条结论就能方 便的去定 H 0的拒绝域 . 这种 利用 p值来确定检验拒绝域的 方法,称为 p值检验法 .
（2）右侧检验的P值
H 0 : μ ≤ μ 0 , H1 : μ > μ 0
检验统计量T大于样本观察值t 的概率，即： P = P{ T >t |H0为真} （3）双侧检验的P值
H 0 : μ = μ 0 , H1 : μ ≠ μ 0
检验统计量T的样本观察值为t，其P值为： P = 2P{ T >t |H0为真} 或P = 2P{ T <t |H0为真} 如果检验统计量T在H0为真下的分布为关于y轴对称， 则双侧P值为： P = P{ |T |>t |H0为真}
=[
1 e 2π
−
( Zα
2
− 2
nδ
σ
)2
−
nδ
1 e 2π
)2
−
( Zα
2
+
δ σ
2
n
)2
](δ σ
2
n
σ
)
− 1 显 然 δ >0时 ， [ e 2π
( Zα −
2
σ
2
−
− 1 e 2π
( Zα +
2
n
)2
] > 0,
dW (δ ) < 0, W (δ ) 关 于 δ 单 减 dδ
δ < 0时 ， [
一、p值检验法
一、p值检验法
1.假设检验方法 临界值法. p值检验法 2.P值的统计意义( P-Value，Probability，Pr) 定义 假设检验问题的 p值( probabilit y value )是由 检验统计量的样本观察 值得出的原假设可被拒 绝
的最小显著性水平 .
任一检验问题的 p值可以根据检验统计量 的
Z ~ N (0,1)
Z ~ N (0,1)
α ≥ 0.0238
α ≤ 0.0237
o
图1
z 0 = 1.983
o
图2
z 0 = 1.983
图1), 因而拒绝 H 0 ; 又显著性水平 α < p = 0.237, 则对应的临界值 z0 > 1.983, 这表示观察值 z 0 ＝ 1.983 因而接受 H 0 . 不落在拒绝域内图( 2)，
= Pμ ≠ μ0
(1.1)
第II 类错误 : 在假设H0实际上不真时, 接受H0的错误, 谓之"取伪"
μ0 − μ X − μ μ0 − μ < ( -Zα < +Zα ) σ σ σ 2 2
n n n
= Pμ ≠ μ0
μ0 − μ X − μ μ0 − μ < ( -Zα < +Zα ) σ σ σ 2 2
据的强度作出判断 .
二、第二类错误的计算
2 假设总体 X ~ N ( μ , σ ) ，(X1, X2, …, Xn)是来 自总体 X 的样本，σ 2 已知，这里要检验的假设是
H0：μ ≠ μ 0，H1：μ = μ 0 ． 当H0成立时，检验统计量
X − μ0 u= ~ N (0, 1) ． σ/ n
n n n
μ0 − μ μ0 − μ = Φ( +Zα ) − Φ ( -Zα ) σ σ 2 2
n n
第二类错误的概率与μ的具体取值有关
令 μ = μ 0 + δ ， 则 = Φ (-
δ δ + Z α )- Φ (σ σ 2
n n
-Z α )
2
对δ求导数得：
d W (δ ) δ δ 1 )- φ (-Z α )]() = [φ ( Z α σ σ σ 2 2 dδ n n n
1 e 2π
−
( Zα
2
− 2
nδ
σ
)2
−
1 e 2π
−
( Zα
2
+
δ σ
2
n
)2
d W (δ ) > 0, W (δ ) 关 于 δ 单 增 ] < 0， dδ
μ 越 靠 近 μ 0， 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 会 越 大
3.P值的计算 一般地，用T 表示假设检验的统计量，当H0为真时， 检验统计量T的具体分布是确定。通过样本数据计算出 该统计量T的样本观察值t，从而求出P值。具体地说： （1）左侧检验的P值
H 0 : μ ≥ μ 0 , H1 : μ < μ 0
检验统计量T小于样本观察值t 的概率，即： P = P{ T < t |H0为真}
用临界值法来确定 H 0的拒绝域时，例如当 α = 0.05 时知道要拒绝 H 0， 再取 α = 0.01也要拒绝 H 0，但不 能知道将 α再降低一些是否也要拒 绝H 0 . 而p值法 给出了拒绝 H 0的最小显著性水平 . 因此p值法比 临界值法给出了有关拒 绝域的更多的信息 .
p值表示反对原假设 H 0的依据的强度 , p值越
若p值 > 0.1, 一般来说没有理由拒绝 . 研究者可以使用任意希 望的显著性 基于 p值， 水平来作计算 .
许多研究者在 在杂志上或在一些技术 报告中， 讲述假设检验的结果时 , 常不明显地论及显著性 水平以及临界值 , 代之以简单地引用假设 检验的
p值, 利用或让读者用它来评 价反对原假设的依
例1 设总体 X ~ N ( μ ,σ 2 )， μ未知, σ 2 = 100， 现有样本 x1 , x 2 ,Λ , x 52 ,算得 x = 62.75. 现在来检验假设
H 0 : μ = μ0 = 60, H 1 : μ > 60.
Hale Waihona Puke 采用U检验法,检验统计量为
U=
X − μ0
σ/ n
.
以数据代入, 得U的观察值为
样本观察值的以及检验 统计量在 H 0下一个特定的
参数值 (一般是 H 0与H 1所规定的参数的分界 对应的分布求出.
点)
1) 一种概率，一种在原假设为真的前提下出现观察样本 以及更极端情况的概率。 2) 拒绝原假设的最小显著性水平。 3) 观察到的(实例的) 显著性水平。 4) 表示对原假设的支持程度，是用于确定是否应该 拒绝原假设的另一种方法。
小，反对 H 0的依据越强、越充分 (譬如对于某 个检验问题的检验统计 量的观察值的 p值 = 0.0009 ， 如此地小, 以至于几乎不可能在 H 0为真时出现 目前的观的值， 我们就 这说明拒绝 H 0的理由很强， 拒绝 H 0 .
一般 , 若p值 ≤ 0.01， 称推断拒绝 H 0的依据很强 或称检验是高度显著的; 若0.01 < p值 ≤ 0.05,称判断拒绝 H 0的依据是强 的或称检验是显著的； 若0.05 < p值 ≤ 0.1, 称推断拒绝 H 0的理由是弱 的, 检验是不显著的;
对于给定的显著性水平 α ，拒绝域为 ． W = {u | u |≥ Zα / 2 }
第I 类错误 : 在假设H0实际上为真时, 拒绝H0的错误, 谓之"弃真" 错误, 其概率记为 P {拒绝H0 H0真} ≤ α
错误, 其概率记为 P {接受H0 H0不真}
X − μ0 σ σ P(| |<Zα | μ ≠ μ0 ) = Pμ ≠ μ0 ( μ0 - Zα < X < μ 0 + Zα ) 2 2 2 σ/ n n n
62.75 − 60 z0 = = 10 / 52
1.983.
概率 P{ Z ≥ z0 } = P{ Z ≥ 1.983} = 1 − Φ(1.983) = 0.023.
此即为图中标准正态曲线下位于z0 右边的尾部 面积.
此概率称为U检验法的右边检验的 p值.
记为 p值＝ P { Z ≥ z0 } = 0.237.