高中数学课件 极大值与极小值2

判别 f (x0 ) 是极大、极小值的方法． 若 x0 满足f (x0 )＝0，且在 x0 的两侧 f (x) 的导数异号，则 x0 是 f (x) 的极值点，f (x0 )是 极值，并且如果 f (x) 在 x0 两侧满足“左正右负”，则 x0是 f (x) 的极大值点，f (x0 ) 是极大 值；如果 f (x) 在 x0 两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f (x) 的极小值点，f (x0 ) 是极小值．
数学建构
1．极大值．
一般地，若存在 ＞0 ，当x (x1－，x1＋），都有 f (x) ≤ f (x1)，则称 f (x1) 为函数 f (x)
的一个极大值． 2．极小值．
一般地，若存在 ＞0 ，当x (x1－，x1＋），都有 f (x) ≥ f (x2 )，则称 f (x2 )为函数 f (x)
5.3.2 极大值与极小值
情境问题
函数的导数与函数的单调性的关系是什么？
设函数 y＝f (x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y＞0 ，那么函 数y＝f (x)为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内 y＜0 ，那么函数 y＝f (x) 为在这个区间内的减函数．
学生活动
用导数求函数单调区间的步骤是什么？ 1．探究1：函数 f (x) 的导数 f (x) ． 2．探究2：令 f (x)＞0 ，解不等式得 x 的范围就是递增区间． 3．探究3：令 f (x)＜0 ，解不等式得 x 的范围就是递减区间．
数学构建
求可导函数 f (x) 的极值的步骤．
①确定函数的定义区间，求导数 ；
②求方程 f (x)＝0 的根；
③用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查
在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f (x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正， 那么 f (x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f (x) 在这个根处无极值．

极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统
称极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函
数的局部性质.
思考? 极大值一定比极小值大吗？
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极
小值，哪些是极大值？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6)
附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左
侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0.
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点 , f(a)叫做函数
y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函
数y=f(x)的极大值.
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表：
x
0
f (x)
f (x)
(0 , 2)
2
0
━
4 单调递减↘
-
(2 , 3)
3
+
4
单调递增↗
3
1
由上表可知，在区间[0, 3]上，当x=2时，函数f(x)有极

小值f(2)= - .
又由于 f(0)=4 , f(3)=1，

所以，函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值4，最小值- .
解: (3) f(x)的大致图像如图所示.
方程 f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数
y=f(x)的图像与直线y=a的交点个数.
由(1)及图可得，当x=-2时，

f(x)有最小值f(-2)=− .

②求函数 f ( x )在区间端点 f (a )、f (b) 的值；
③将函数 f ( x )在各极值与 f (a )、f (b) 比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值．
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例题讲解
4 ] 例2 求函数 y x 2 x 5在区间 [2,2上的最大值与
最小值． 3 y 4 x 4x 解： 3 令 y 0 ，有 4 x 4 x 0 ，解得 x 1,0,1 当x 变化时，y, y 的变化情况如下表： x y -2 (-2,-1) — 13 -1 0 4 (-1,0) + 0 0 5 (0,1) — 1 0 4 (1,2) + 2 13
点, 注2: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 但函数的驻点却不一定 是极值点.
例如,
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y x ,
3
y x 0 0, 但x 0不是极值点.
6
y
f ( x ) 0
f ( x ) 0
y f ( x ) 0
f ( x ) 0
o
x0
x
o
x0
x
求极值的步骤:
(不是极值点情形)
(1) 求出导数 f ( x );
(2) 求出f ( x )的全部驻点，即方程 f ( x ) 0 的根 ;
(3) 考察 f ( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点 ;
(4) 求出各极值点处的函数 值.
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例1 求函数 f ( x) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值 . 解 (1) f ( x) 3 x 2 6 x 9 3( x 1)( x 3)

方法归纳
(1)含参数的函数最值问题的两类情况 ①能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问 题． ②对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质 是讨论导函数大于 0，等于 0，小于 0 三种情况．若导函数恒不等 于 0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导 函数可能等于 0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定 最值．
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
(2)f′(x)＝12＋cos x，令 f′(x)＝0，
又 x∈[0,2π]，解得 x＝23π 或 x＝43π.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x
0 0，23π
23π
32π，34π
43π
34π，2π 2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值
f(x) 0
π3＋
3 2
23π－
3 2
π
∴当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0；
当 x＝2π 时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
方法归纳
导数法求函数最值 (1)求 f′(x)，令 f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为 0 的点， 同时还要找出导数不存在的点． (2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数为 0 的点及 区间端点的函数值，其中最大者便是 f(x)在[a，b]上的最大值，最小 者便是 f(x)在[a，b]上的最小值．
(2)函数 y＝xln x 的最小值为( ) A．－e－1 B．－e