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矩阵证明题

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矩阵证明题简单应用题能力：1．试证：设A ，B ，AB 均为n 阶对称矩阵，则AB =BA ．2．试证：设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--．3．已知矩阵 )(21I B A +=，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1-B . 4. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，T AA I =，证明A 是对称矩阵.5． 设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．6．设A k =0,其中A 为方阵,k 为大于1的某个正整数,证明(E-A )-1=E +A +A 2+…+A k-1.7．若A 为非退化矩阵,并且AB=BA ,试证： A -1B=BA -1。

8．设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.9．设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .10．n 阶方阵A 满足A 2-3A-2E=0，其中A 给定，证明A 可逆.11．设A 、B 均为n 阶方阵，且A 2=A,B 2=B ，证明(A+B)2=A+B 的充分必要条件是AB=BA=0.12．若A 为非退化矩阵,并且AB=BA ,试证： A -1B=BA -1。

13．设A 是n 阶方阵，且（A +E ）2=0，证明A 可逆.14．设矩阵A 可逆，证明（A *）-1=|A -1|A .参考答案1．试证：设A ，B ，AB 均为n 阶对称矩阵，则AB =BA ．1．证 因为A T = A ，B T = B ，(AB )T = AB ——得3分所以 AB = (AB )T = B T A T = BA ——得5分2．试证：设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 2．证 因为 ))((2A A I A I ++- ——得2分=322A A A A A I ---++ =3A I -= I所以 21)(A A I A I ++=-- ——得5分3．已知矩阵 )(21I B A +=，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1-B . 3. 证 因为)2(41)(41222I B B I B A ++=+=，且A A =2，即 )(21)2(412I B I B B +=++， ——得3分 得I B =2，所以B 是可逆矩阵，且B B=-1. ——得5分 4. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，T AA I =，证明A 是对称矩阵.4. 证 因为AI A ==T T IA AAA ==T A ——得4分所以A 是对称矩阵. ——得5分5．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．5．证 因为 B B A A ==T T ，，且T T T )()()(BA AB BA AB +=+ ——得2分T T T T B A A B +=AB BA +=BA AB += ——得5分所以 AB ＋BA 是对称矩阵． 6．设A k =0,其中A 为方阵,k 为大于1的某个正整数,证明(E-A )-1=E +A +A 2+…+A k-1.6．证：因为A k =O , 所以E -A k =E . ——得2分又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),即 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E ,所以 (E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1 ——得5分7．若A 为非退化矩阵,并且AB=BA ,试证： A -1B=BA -1。

7．证：因为A 为非退化矩阵,并且AB=BA ，所以两边右乘1-A 得：B ABA =-1， ——得3分 再两边左乘1-A 得：B A BA 11--= ——得5分8．设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.8．证：因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , ——得4分从而B T AB 是对称矩阵 ——得5分9．设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .9．证：充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵. ——得3分必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以AB =(AB )T =B T A T =BA . ——得5分10．n 阶方阵A 满足A 2-3A-2E=0，其中A 给定，证明A 可逆10．证：由A 2-3A-2E=0可得：A(A-3E)=2E ， ——得3分即E E A A =-2)3(所以A 可逆，且2)3(1E A A -=-——得5分11．设A 、B 均为n 阶方阵，且A 2=A,B 2=B ，证明(A+B)2=A+B 的充分必要条件是AB=BA=0.12．若A 为非退化矩阵,并且AB=BA ,试证： A -1B=BA -1。

13．设A 是n 阶方阵，且（A +E ）2=0，证明A 可逆.14．设矩阵A 可逆，证明（A *）-1=|A -1|A ..综合应用题能力：1．设n 阶方阵T E A αα-=,其中0≠α是n 维列向量,证明：（1）A A =2的充要条件为1=ααT ； （2）当1=ααT 时，矩阵A 不可逆。

2．设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，证明：(1) 矩阵A 可逆； (2) 矩阵E A 2-与E A +不同时可逆。

3．如果)(21E B A +=，证明A 2=A 的充要条件是B 2=E 。

4．设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.5．设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵.6．若方阵A 满足O E A A =-+422，证明E A -可逆，并求出E A -的逆矩阵.参考答案1．设n 阶方阵T E A αα-=,其中0≠α是n 维列向量,证明：（1）A A =2的充要条件为1=ααT ； （2）当1=ααT 时，矩阵A 不可逆。

1．证：（1） T T T T E A αααααααα)(2+--=， ——得2分 故A A =2的充要条件为1=ααT ； ——得4分（2） 由（1）得A A =2，若A 可逆，A A A A 121)(--=， 则E A =，矛盾。

——得8分2．设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，证明：(1) 矩阵A 可逆； (2) 矩阵E A 2-与E A +不同时可逆。

2．证：（1）E E A A 2)(=-，)(211E A A -=-； ——得4分 （2） 0|||2||2|2=+-=--E A E A E A A ，|2|E A -与||E A +至少有一个为零。

——得8分3．如果)(21E B A +=，证明A 2=A 的充要条件是B 2=E 。

3．证：（必要性）)(21,2E B A A A +== ， 42)(41)(2122E B B E B E B ++=+=+∴，化简即得：B 2=E 。

——得4分 （充分性）)(21,2E B A E B +== A E B E B B E B A =+=++=+=∴42242)(41222——得8分 4．设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.4．证：由A 可逆可知：0||||,0||1||,0||1*1≠=≠=≠--n A A A A A ，即*1,A A -也可逆。

——得4分E A A A A A E A A A AA ||)()(,||11*1*11**-----==≠=||/||)(|,|/)(1*11*A A EA A A A A A ===∴---所以*11*)()(--=A A ——得8分5．设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵.5．证：因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1, ——得2分而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.——得6分(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A . ——得8分6．若方阵A 满足O E A A =-+422，证明E A -可逆，并求出E A -的逆矩阵.6．证：由O E A A =-+422可得E E A A A =-+-332，——得2分即E E A E A =+-)3)(( ——得6分所以E A -可逆，且)3()(1E A E A +=-- ——得8分发展应用题能力：1．设A 为n m ⨯矩阵，证明：存在s n ⨯非零矩阵B ，使O AB =的充分必要条件为秩n A r <)(。

2．试证明： )()(B r A r B O O A r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 3．设A 为n 阶满秩方阵(n ≥2),A *为A 的伴随矩阵,求证(A *)*=|A | n －2A .4．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:(1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1.5．设A 为m ⨯n 矩阵，B 为n 阶矩阵，且r(A)=n ，试证：（1）若AB=O ，则B=O ；（2）若AB=A 则B=E 。

6．设A 、B 为m ⨯n 矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B)。

7．如果A 是1)(,1)(),2(=-=≥*A r n A r n n 试证且阶矩阵 参考答案1．设A 为n m ⨯矩阵，证明：存在s n ⨯非零矩阵B ，使O AB =的充分必要条件为秩n A r <)(。

1．证：充分性：n A r <)( ，0=∴Ax 存在一个基础解系)(;21,A r n s s j j -==其中，，β，令），，，（s B βββ 21=，易知B 就是s n ⨯非零矩阵。

——得5分必要性：设），，，（s B βββ 21=，因B 是s n ⨯非零矩阵，故至少有一个j β是非零向量。

O AB = ，则s j j ，，21,=β都是线性方程组0=Ax 的解。

0=∴Ax 有非零解，即n A r <)(。

——得10分2．试证明： )()(B r A r B O O A r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 2．证：设A 的列向量组为n ααα,...,,21，其极大无关组为is i i ααα,...,,21，即s A r =)( 设B 的列向量组为m βββ,...,,21，其极大无关组为jt j j βββ,...,,21，即t B r =)( 将is i i ααα,...,,21扩充为⎥⎦⎤⎢⎣⎡O A 的列向量is i i ααα''',...,,21，则is i i ααα''',...,,21也是⎥⎦⎤⎢⎣⎡O A 的极大无关组；将jt j j βββ,...,,21扩充为⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O 的列向量jt j j βββ''',...,,21，则jt j j βββ''',...,,21也是⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O 的极大无关组；易知is i i ααα''',...,,21jt j j βββ''',...,,21线性无关。

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高等数学之一--关于矩阵的习题

高等数学之一--关于矩阵的习题

行初等变换
(E B)
阶方阵,B是 矩阵,且 第17题 设A是n阶方阵 是n×r 矩阵 且r(B)=n. 题 是 阶方阵 试证:(1)如果 如果AB=O,那么 那么A=O; 试证 如果 那么 (2)AB=B,那么 那么A=E. 那么 因为AB=O, (AB)T=BTAT=O, 解: (1) 因为 又r(B)=n,所以 T)=n.因此矩阵方程 TAT=O(齐次线 所以r(B 因此矩阵方程B 所以 因此矩阵方程 齐次线 性方程组的矩阵形式),A 仅有零解.即 性方程组的矩阵形式 T仅有零解 即AT的所有元素 为零.即 所以A=O. 为零 即AT=O,所以 所以 (2) 因为 因为AB=B, (A-E)B=O,根据 则A-E=O,即 根据(1)则 根据 即 A=E.
Q ( E − A)( E + A + A2 + L + Ak −1 ) = E + A + A2 + L + Ak −1 − A − A2 − A3 − L − Ak −1 − Ak =E
所以A-E可逆 并且 可逆,并且 所以 可逆 并且(E-A)-1=E+A+A2+ … +Ak-1
阶方阵,且满足 第11题 设A为n阶方阵 且满足 2+2A-3E=O, 题 为 阶方阵 且满足A 证明(1) 可逆 并求A的逆 可逆,并求 的逆. 证明 A可逆 并求 的逆 (2)A-2E可逆 并求 可逆,并求 的逆. 可逆 并求(A-2E)的逆 的逆 证明: 证明 (1)
(A − E 1 → 0 0 0 2 1 1 2 1 1 A) = 3 3 2 3 4 2 → 3 1 2 1 1 2 2 0 2 1 1 2 2 1 0 0 3 1 0 2 4 → 0 1 0 − 1 0 1 0 − 3 0 0 1 2 1 1 2 2 3 2 3 4 2 2 1 1 2 1 0 0 −1 0 3 . 2 − 5 1 3
矩阵论试题及答案

矩阵论试题及答案

一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ； 当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。

矩阵练习题及答案

矩阵练习题及答案

矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。

7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。

对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。

8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。

对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。

9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。

对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。

考研线代证明题

考研线代证明题

考研线代证明题
以下是关于考研线代的证明题：
1. 设矩阵A与B等价，证明：存在可逆矩阵P，使得$A = P^{-1}BP$。

2. 设矩阵A与B相似，证明：存在可逆矩阵P，使得$A = P^{-1}BP$。

3. 设矩阵A与B合同，证明：存在可逆矩阵P，使得$A = P^{-1}BP$。

4. 设矩阵A与B等价，证明：存在可逆矩阵P，使得$A^T = P^{-1}BP$。

5. 设矩阵A与B相似，证明：存在可逆矩阵P，使得$A^T = P^{-1}BP$。

6. 设矩阵A与B合同，证明：存在可逆矩阵P，使得$A^T = P^{-1}BP$。

7. 设矩阵A与B等价，证明：存在可逆矩阵P，使得$A^2 = P^{-1}BP$。

8. 设矩阵A与B相似，证明：存在可逆矩阵P，使得$A^2 = P^{-1}BP$。

9. 设矩阵A与B合同，证明：存在可逆矩阵P，使得$A^2 = P^{-1}BP$。

以上题目仅供参考，具体题目可根据考研大纲和历年真题进行选择。