半导体器件物理6章p-n结的电流-电压方程
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第6章理想P-N结的电流－电压方程
在这之前，我们已经讨论了P-N结在平衡时的特性，包括内建电势差 的大小；利用一维的泊松方程求出的空间电荷区的电势分布；电场分布。之后，又讨论了在反向偏压情况下的空间电荷区的宽度变化及结电容变化。上述的所有结论都是在均匀掺杂和突变结近似的情况下得到的。有了这些知识之后，就很容易推导出理想P-N结的电流电压关系。在推导理想P-N结的电流－电压关系之前，我们做以下四个基本假设。
第四章我们通过例子计算了半导体内部的漂移电流密度，计算表明：很小的电场就能产生相对较大的电流。作为一级近似，我们假设电中性的P区和N区的电场为零（电中性条件成立也意味着 ）。在 的N区内有， 。还假设P-N结处于稳态， 。N区空穴的产生率 ，（因为我们假设无热激发和光激发。过剩载流子的产生一般由热激发和光照激发产生的。电子从满的价带得到能量后跃迁到导带后，同时产生了过剩的电子和过剩的空穴。）。综上所述，简化的条件是，在处于稳态的电中性N型半导体中，当 时有：
用同样的方法，也可以计算出 处的少子电子扩散电流密度：
利用式（6.19），可得
少子电子扩散形成的电流密度同样沿 方向。（从本质上说少子电子的扩散方向与空穴的扩散方向相反，而与空穴电流的方向一致）。
依照前述的假设，电子电流和空穴电流分别为连续函数，且空间电荷区的电子电流和空穴电流为常量。总电流为电子电流与空穴电流之和，且为常量。图6.7显示了上述电流的大小。那么，流过p-n结的总电流密度为：
图6.2是热平衡状态下的P-N结的导带能量图。冶金结 左边是P型半导体的导带；冶金结右边是N型半导体的导带。P型半导体导带比N型半导体导带的能量差高 ，P型半导体导带与N型半导体导带的势
垒高度是 。这个势垒高度阻止了N型半导体导带中存在的高密度电子向P型半导体导带的导带流动，维持了P-N结两侧各自区域载流子之间的分布平衡。
假设杂质完全电离，则N区热平衡时的多子浓度为：
P区热平衡时的少子电子浓度
将式（6.2）和(6.3)带入（6.1）式可得
上式将热平衡状态下P区结边缘处的少子电子浓度与N区结边缘处的多子电子浓度联系起来。同样，我们也可以将N区边缘处少子空穴浓度与P区边缘处的多字空穴浓度联系起来。
图6.1显示了热平衡状态P-N结边缘附近载流子的分布。
将式(6.15a)的边界c)的边界条件带入式(6.17)得
所以式(6.17)的解为
式(6.18)和式(6.19)分别完整的描述了N区的过剩少子空穴浓度随空间距离的变化及P区过剩少子电子浓度随空间距离的变化。这两个式子都表明，在外加正向电压不变时，少子浓度随着从空间电荷区边缘向电中性区延伸的距离的增大，由浓度的最大值按指数衰减，并逐渐趋于热平衡时的浓度值。
6.3 理想P-N结电流
在推导理想P-N结的电流公式之前，需要用前面所述的第四个假设：流过P-N结的电流为少子电子形成的扩散电流与少子空穴形成的扩散电流之和。应该
注意,我们假设了流过耗尽区的电子电流和空穴电流为定值。由于P-N结内电子电流与空穴电流分别为连续函数，则P-N结的总电流即为 处的少子空穴扩散电流与 处的少子电子扩散电流之和。如图6.7。
； ；
于是(6.12)式的输运方程可简化为
其中 是过剩空穴的扩散长度。在相同的假设条件下，P区内过剩载流子浓度满足下式
其中 是过剩电子的扩散长度。
总少子浓度的边界条件是：
式(6.13)的通解为
式(6.14)的通解为
由边界条件式(6.15b)和式(6.15d)可知，系数A和D必须为零。系数B和系数C由边界条件式(6.15a)和(6.15c)确定。
图6.5显示了施加反向偏压时P-N结边缘处少数载流子浓度。 ，只要 ，那么 。至此，我们用P-N结内建电势的表达式 求出了在外加正向偏压时，P-N结边缘处少子浓度的表达式。
P区耗尽区边缘 处的少数电子浓度为
式中的 是无外加电压即平衡时P区的少子电子浓度； 是有外加电压时P区边缘处的少子电子浓度；
N区耗尽区边缘 处的少数空穴浓度为
解：在离 很远的N区，比如 处的电流就是电子的漂移电流。电子的迁移率 。
所以
我们再求出冶金结处的最大电场值，为此我们先求出耗尽区的宽度
。结的横断面积 ，正向偏压
解：在 处的电子电流等于 的少子电子电流,其值由下式给出：
在 处的少子空穴电流由下式给出：
总的空间电荷区电流是：
当 时，
当 时，
（该电流几乎都是多数电子的漂移电流）
说明：通过以上计算可以加深理解耗尽区内和中性区的电流组成。在耗尽区内不存在漂移电流，或者说耗尽区内的漂移电流很小可以忽略；中性的P区和N区同时存在漂移电流和扩散电流；中性区内存在漂移电流的事实说明该区电场为零的假设与事实不符，到底中性区的电场有多大呢？
其中 为N区过剩少子空穴浓度，即总少子浓度与热平衡时少子浓度的差值。 是过剩少子空穴的扩散系数，单位是 ； 是过剩少子空穴迁移率，单位是 ； 是过剩少子空穴的产生率，单位是 ； 是过剩少子空穴的复合率，单位是 ； 是过剩少子空穴寿命，单位是 ；双极输运方程将过剩载流子的行为描述为时间与空间坐标的函数。
是无外加电压即平衡时N区的少子空穴浓度；
是有外加电压时N区边缘处的少子空穴浓度；
和 分别是外加电压和热电压。
当无外加电压时， 。此时的少子载流子浓度等于平衡时的少子浓度；当外加电压 时，就会使过剩少子浓度有一个数量级的增长。
注意：式(6.7)和(6.9)分别是指 和 处的少子浓度，它的大小只跟外加电压 的值有关。虽然这两个表达式是在 的条件下推导出来的，但 时等式也成立。当反向偏压达到零点几伏时，空间电荷区边缘处的少子浓度几乎趋于零。反向偏置条件下的少子浓度一定小于热平衡时的少子浓度值。
我们计算了空间电荷区边缘处的少子扩散电流。
P区少子电子的扩散电流密度的表达式为：
N区少子空穴的扩散电流的表达式为：
上式表明，P区与N区内少子的扩散电流密度随着距离的增加而指数衰减。尽管如此，P-N结内的总电流为常量。P-N结之外的中性区总电流与少子扩散电流的差值就是多子漂移电流。图6.10显示了P-N结内的各种电流的成分。远离结区域的P区多子空穴漂移电流既提供了穿越空间电荷区向N区注入的空穴，又提供了因与过剩少子电子复合而损失的空穴。同样，远离结区域的N区多子电子漂移电流既提供了穿越空间电荷区向P区注入的电子，又提供了因与过剩少子空穴复合而损失的电子。
（利用小注入假设条件，各区的多子浓度基本保持不变）
结合(6.4)式，上式可以写成
当P-N结加正向电压时，它就不再处于热平衡状态，上式的左边是P区内非平衡少子电子浓度，它比热平衡时的值大很多。正偏压降低了势垒高度，使得N区的多子电子可以穿过耗尽区而注入到P区，注入的电子增加了P区的电子浓度。从而使P区产生了过剩的少子电子。P区过剩的少子电子浓度为：
1)耗尽层突变近似。空间电荷区的边界存在突变，耗尽区以外的半导体区域是电中性的（突变结近似含有均匀掺杂和边界杂质突变的意味）。
2)载流子的统计分布符合麦克斯韦－波尔兹曼近似。
3)小注入假设。（意味着过剩载流子的浓度远远小于热平衡时的多数载流子浓度。）
4a) P－N结内的电流处处相等。
4b) P－N结内的电子电流与空穴电流分别为连续函数。
将上式两边取对数得：
上式表明电流的对数与正向偏压成线性关系。
图6.9是它们的关系曲线。
6.4 本章的小结
我们已经讨论了P-N结外加正向偏压时的情况。正向偏压降低了空间电荷区势垒的高度，电子和空穴就能够穿过空间电荷区注入到相应的区域。注入的载流子成为少子，少数载流子浓度从结所处的位置向体内扩散并与多子复合而逐渐趋于热平衡时的少子浓度。
正向偏压降低了P-N结的内建电势差，N区的电子穿过空间电荷区注入到P区，形成了过剩的少数电子。这些过剩的少数电子逐渐向电中性的P区扩散，在扩散的过程中与该区的多子空穴复合，在无穷远处过剩少子被完全复合掉。
P区的空穴穿过空间电荷区注入到N区，形成了过剩的少数空穴。在向中性的N区扩散的过程中，同样经历了上述过程。
当P区相对于N区施加正电压 时，P-N结内的势垒高度就会降低，势垒高度降为 。此时，热平衡状态的扩散力与电场力平衡被打乱。阻止多数载流子穿过
空间电荷区的电场力被削弱，势垒高度降为 。N区中的多子电子被注入到P区，变成了P区的少子；P区中的多子空穴被注入到N区，变成了N区的少子。其能带图如图3所示。在外加正向偏压时，空间电荷区边缘附近产生了过剩的少子。只要外加正向电压存在，穿越空间电荷区的载流子注入就一直持续，P-N结内就会在外加电压的作用下形成电流。正向偏压时，（6.4）式中的 可由 代替，但其平衡时的少子浓度 需用非平衡时的少子浓度 代替。
当少子经过空间电荷区进入中性的半导体区时，它们一定会与该区的多子复合。假设中性半导体区的长度很长，即 ； ，（这里的 、 分别表示N型中性半导体的长度和P型中性半导体的长度； 和 分别表示少子电子和少子空穴的扩散长度）。则离空间电荷区边缘很远的地方，过剩的少数载流子一定由
于复合的作用而趋于零。这样有：
我们称 ； 的条件为长P-N结。
图6.6显示了正向偏压条件下P-N结空间电荷区附近的稳态少子浓度分布。稳态情况下少子浓度随距离的变化到底是怎样的关系，是我们关心的。其目的是通过求出少子浓度随距离的变化关系，再利用电流密度与浓度梯度的关系求出其扩散电流。
6.2P-N结附近少数载流子浓度分布
我们推导少数载流子的分布函数时，可以直接利用小注入条件下，过剩少子的双极输运方程。在一维的情况下，N区过剩少子空穴满足双极输运方程：
热平衡状态P区多子空穴浓度
热平衡状态P区少子电子浓度
非热平衡状态P区总少子电子浓度
非热平衡状态N区总少子空穴浓度
非热平衡状态空间电荷区边缘处P区少子电子浓度
非热平衡状态空间电荷区边缘处N区少子空穴浓度
非热平衡状态P区过剩少子电子浓度
非热平衡状态N区过剩少子空穴浓度
在这之前，我们已经讨论了P-N结在平衡时的特性，包括内建电势差 的大小；利用一维的泊松方程求出的空间电荷区的电势分布；电场分布。之后，又讨论了在反向偏压情况下的空间电荷区的宽度变化及结电容变化。上述的所有结论都是在均匀掺杂和突变结近似的情况下得到的。有了这些知识之后，就很容易推导出理想P-N结的电流电压关系。在推导理想P-N结的电流－电压关系之前，我们做以下四个基本假设。
第四章我们通过例子计算了半导体内部的漂移电流密度，计算表明：很小的电场就能产生相对较大的电流。作为一级近似，我们假设电中性的P区和N区的电场为零（电中性条件成立也意味着 ）。在 的N区内有， 。还假设P-N结处于稳态， 。N区空穴的产生率 ，（因为我们假设无热激发和光激发。过剩载流子的产生一般由热激发和光照激发产生的。电子从满的价带得到能量后跃迁到导带后，同时产生了过剩的电子和过剩的空穴。）。综上所述，简化的条件是，在处于稳态的电中性N型半导体中，当 时有：
用同样的方法，也可以计算出 处的少子电子扩散电流密度：
利用式（6.19），可得
少子电子扩散形成的电流密度同样沿 方向。（从本质上说少子电子的扩散方向与空穴的扩散方向相反，而与空穴电流的方向一致）。
依照前述的假设，电子电流和空穴电流分别为连续函数，且空间电荷区的电子电流和空穴电流为常量。总电流为电子电流与空穴电流之和，且为常量。图6.7显示了上述电流的大小。那么，流过p-n结的总电流密度为：
图6.2是热平衡状态下的P-N结的导带能量图。冶金结 左边是P型半导体的导带；冶金结右边是N型半导体的导带。P型半导体导带比N型半导体导带的能量差高 ，P型半导体导带与N型半导体导带的势
垒高度是 。这个势垒高度阻止了N型半导体导带中存在的高密度电子向P型半导体导带的导带流动，维持了P-N结两侧各自区域载流子之间的分布平衡。
假设杂质完全电离，则N区热平衡时的多子浓度为：
P区热平衡时的少子电子浓度
将式（6.2）和(6.3)带入（6.1）式可得
上式将热平衡状态下P区结边缘处的少子电子浓度与N区结边缘处的多子电子浓度联系起来。同样，我们也可以将N区边缘处少子空穴浓度与P区边缘处的多字空穴浓度联系起来。
图6.1显示了热平衡状态P-N结边缘附近载流子的分布。
将式(6.15a)的边界c)的边界条件带入式(6.17)得
所以式(6.17)的解为
式(6.18)和式(6.19)分别完整的描述了N区的过剩少子空穴浓度随空间距离的变化及P区过剩少子电子浓度随空间距离的变化。这两个式子都表明，在外加正向电压不变时，少子浓度随着从空间电荷区边缘向电中性区延伸的距离的增大，由浓度的最大值按指数衰减，并逐渐趋于热平衡时的浓度值。
6.3 理想P-N结电流
在推导理想P-N结的电流公式之前，需要用前面所述的第四个假设：流过P-N结的电流为少子电子形成的扩散电流与少子空穴形成的扩散电流之和。应该
注意,我们假设了流过耗尽区的电子电流和空穴电流为定值。由于P-N结内电子电流与空穴电流分别为连续函数，则P-N结的总电流即为 处的少子空穴扩散电流与 处的少子电子扩散电流之和。如图6.7。
； ；
于是(6.12)式的输运方程可简化为
其中 是过剩空穴的扩散长度。在相同的假设条件下，P区内过剩载流子浓度满足下式
其中 是过剩电子的扩散长度。
总少子浓度的边界条件是：
式(6.13)的通解为
式(6.14)的通解为
由边界条件式(6.15b)和式(6.15d)可知，系数A和D必须为零。系数B和系数C由边界条件式(6.15a)和(6.15c)确定。
图6.5显示了施加反向偏压时P-N结边缘处少数载流子浓度。 ，只要 ，那么 。至此，我们用P-N结内建电势的表达式 求出了在外加正向偏压时，P-N结边缘处少子浓度的表达式。
P区耗尽区边缘 处的少数电子浓度为
式中的 是无外加电压即平衡时P区的少子电子浓度； 是有外加电压时P区边缘处的少子电子浓度；
N区耗尽区边缘 处的少数空穴浓度为
解：在离 很远的N区，比如 处的电流就是电子的漂移电流。电子的迁移率 。
所以
我们再求出冶金结处的最大电场值，为此我们先求出耗尽区的宽度
。结的横断面积 ，正向偏压
解：在 处的电子电流等于 的少子电子电流,其值由下式给出：
在 处的少子空穴电流由下式给出：
总的空间电荷区电流是：
当 时，
当 时，
（该电流几乎都是多数电子的漂移电流）
说明：通过以上计算可以加深理解耗尽区内和中性区的电流组成。在耗尽区内不存在漂移电流，或者说耗尽区内的漂移电流很小可以忽略；中性的P区和N区同时存在漂移电流和扩散电流；中性区内存在漂移电流的事实说明该区电场为零的假设与事实不符，到底中性区的电场有多大呢？
其中 为N区过剩少子空穴浓度，即总少子浓度与热平衡时少子浓度的差值。 是过剩少子空穴的扩散系数，单位是 ； 是过剩少子空穴迁移率，单位是 ； 是过剩少子空穴的产生率，单位是 ； 是过剩少子空穴的复合率，单位是 ； 是过剩少子空穴寿命，单位是 ；双极输运方程将过剩载流子的行为描述为时间与空间坐标的函数。
是无外加电压即平衡时N区的少子空穴浓度；
是有外加电压时N区边缘处的少子空穴浓度；
和 分别是外加电压和热电压。
当无外加电压时， 。此时的少子载流子浓度等于平衡时的少子浓度；当外加电压 时，就会使过剩少子浓度有一个数量级的增长。
注意：式(6.7)和(6.9)分别是指 和 处的少子浓度，它的大小只跟外加电压 的值有关。虽然这两个表达式是在 的条件下推导出来的，但 时等式也成立。当反向偏压达到零点几伏时，空间电荷区边缘处的少子浓度几乎趋于零。反向偏置条件下的少子浓度一定小于热平衡时的少子浓度值。
我们计算了空间电荷区边缘处的少子扩散电流。
P区少子电子的扩散电流密度的表达式为：
N区少子空穴的扩散电流的表达式为：
上式表明，P区与N区内少子的扩散电流密度随着距离的增加而指数衰减。尽管如此，P-N结内的总电流为常量。P-N结之外的中性区总电流与少子扩散电流的差值就是多子漂移电流。图6.10显示了P-N结内的各种电流的成分。远离结区域的P区多子空穴漂移电流既提供了穿越空间电荷区向N区注入的空穴，又提供了因与过剩少子电子复合而损失的空穴。同样，远离结区域的N区多子电子漂移电流既提供了穿越空间电荷区向P区注入的电子，又提供了因与过剩少子空穴复合而损失的电子。
（利用小注入假设条件，各区的多子浓度基本保持不变）
结合(6.4)式，上式可以写成
当P-N结加正向电压时，它就不再处于热平衡状态，上式的左边是P区内非平衡少子电子浓度，它比热平衡时的值大很多。正偏压降低了势垒高度，使得N区的多子电子可以穿过耗尽区而注入到P区，注入的电子增加了P区的电子浓度。从而使P区产生了过剩的少子电子。P区过剩的少子电子浓度为：
1)耗尽层突变近似。空间电荷区的边界存在突变，耗尽区以外的半导体区域是电中性的（突变结近似含有均匀掺杂和边界杂质突变的意味）。
2)载流子的统计分布符合麦克斯韦－波尔兹曼近似。
3)小注入假设。（意味着过剩载流子的浓度远远小于热平衡时的多数载流子浓度。）
4a) P－N结内的电流处处相等。
4b) P－N结内的电子电流与空穴电流分别为连续函数。
将上式两边取对数得：
上式表明电流的对数与正向偏压成线性关系。
图6.9是它们的关系曲线。
6.4 本章的小结
我们已经讨论了P-N结外加正向偏压时的情况。正向偏压降低了空间电荷区势垒的高度，电子和空穴就能够穿过空间电荷区注入到相应的区域。注入的载流子成为少子，少数载流子浓度从结所处的位置向体内扩散并与多子复合而逐渐趋于热平衡时的少子浓度。
正向偏压降低了P-N结的内建电势差，N区的电子穿过空间电荷区注入到P区，形成了过剩的少数电子。这些过剩的少数电子逐渐向电中性的P区扩散，在扩散的过程中与该区的多子空穴复合，在无穷远处过剩少子被完全复合掉。
P区的空穴穿过空间电荷区注入到N区，形成了过剩的少数空穴。在向中性的N区扩散的过程中，同样经历了上述过程。
当P区相对于N区施加正电压 时，P-N结内的势垒高度就会降低，势垒高度降为 。此时，热平衡状态的扩散力与电场力平衡被打乱。阻止多数载流子穿过
空间电荷区的电场力被削弱，势垒高度降为 。N区中的多子电子被注入到P区，变成了P区的少子；P区中的多子空穴被注入到N区，变成了N区的少子。其能带图如图3所示。在外加正向偏压时，空间电荷区边缘附近产生了过剩的少子。只要外加正向电压存在，穿越空间电荷区的载流子注入就一直持续，P-N结内就会在外加电压的作用下形成电流。正向偏压时，（6.4）式中的 可由 代替，但其平衡时的少子浓度 需用非平衡时的少子浓度 代替。
当少子经过空间电荷区进入中性的半导体区时，它们一定会与该区的多子复合。假设中性半导体区的长度很长，即 ； ，（这里的 、 分别表示N型中性半导体的长度和P型中性半导体的长度； 和 分别表示少子电子和少子空穴的扩散长度）。则离空间电荷区边缘很远的地方，过剩的少数载流子一定由
于复合的作用而趋于零。这样有：
我们称 ； 的条件为长P-N结。
图6.6显示了正向偏压条件下P-N结空间电荷区附近的稳态少子浓度分布。稳态情况下少子浓度随距离的变化到底是怎样的关系，是我们关心的。其目的是通过求出少子浓度随距离的变化关系，再利用电流密度与浓度梯度的关系求出其扩散电流。
6.2P-N结附近少数载流子浓度分布
我们推导少数载流子的分布函数时，可以直接利用小注入条件下，过剩少子的双极输运方程。在一维的情况下，N区过剩少子空穴满足双极输运方程：
热平衡状态P区多子空穴浓度
热平衡状态P区少子电子浓度
非热平衡状态P区总少子电子浓度
非热平衡状态N区总少子空穴浓度
非热平衡状态空间电荷区边缘处P区少子电子浓度
非热平衡状态空间电荷区边缘处N区少子空穴浓度
非热平衡状态P区过剩少子电子浓度
非热平衡状态N区过剩少子空穴浓度
