高一数学(余弦定理)PPT课件

可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－
bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c.结合A＝60°可得△ABC一定是
等边三角形．故选D.
2 解：由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以 22＝b2＋(2 3 )2－2×b×2 3 × 3 ，即 b2－6b＋8＝0， 2
解得 b＝2 或 b＝4. 当 b＝2 时，A=B=30º，C=120º；
知两边和其中一边的对角
当 b＝4 时，
= + − = , ∴ = °, = °.
∴ c2 a2 b2 2abcosC
同理可得
于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个 重要定理—余弦定理.
a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 a2 2ca cosB
余弦定理
文字语言： 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两
边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
问题 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指 出了一般三角形中三边平方之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系 吗？
若在三角形ABC中，C=90°，则cos 90°=0，这时
c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2．
勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
余弦定理的推论
A
符号语言： a2 b2 c2 2bc cos A
b
c
b2 c2 a2 2ca cos B c2 a2 b2 2ab cosC
C
a
B
利用余弦定理，可以从三角形已知的两边及其夹角求第三边
问题 公式的结构特征怎样？ （1）轮换对称，简洁优美;

三角函数的有界性求解
②
利用基本不等式求解
③
利用二次函数的性质求解
跟踪训练2
(1) 若 2a ＋ 1 ， a ， 2a － 1为钝角三角形的三边长，则实数a的取值范围是
(2,8)
______.
解析

2a＋1>0，

因为2a＋1，a，2a－1是三角形的三边长，所以a>0，

2a－1>0，

1
解得 a>2，
a2＋b2或b2＝a2＋c2
② △ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋
c2>a2且c2＋a2>b2
③ △ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋
c2<a2或c2＋a2<b2
④ 若sin 2A＝sin→ →2
(1)在△ABC 中，若AB·BC＋AB ＝0，则△ABC 的形状一定是
A.直角三角形
C.等边三角形
√
解析
B.等腰三角形
D.等腰直角三角形
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
c
∴cos A＝2b且 c＝b，
b2＋c2－a2
由余弦定理的推论得，cos A＝ 2bc ，
2
2
2
c b ＋c －a
∴2b＝ 2bc ，即 a＝b.
综上所述，△ABC的形状为等边三角形.故选C.
利用余弦定理统一边
(2)利用余弦定理解决最值或范围问题
(3)余弦定理的综合运用
2. 方法归纳：
化归转化、数形结合
3. 常见误区：
易忽略三角形中的隐含条件
余 弦 定 理 ( 二 )
学习目标
1.能够利用余弦定理判断三角形的形状.

析 : cos C
析 : cos B


2
2ab
2ac
2ab
2ab
2
2
2
2
a

c
ac
45° .
[变式2]ABC 中, a 2b, c b 2bc, 则角A ____

2ac
2
2
2
2
2
2
b c a
b b 2bc 2b
2
析 : cos A
a 2 c2 1
a
b
c
B
a
c
A
S
B
b
C
1
1
bc sin( A) bc sin A
2
2
c
A
a
b
C
面积法
外接圆法
a
b
c
设ABC的外接圆半径为R, 证明:


2 R.
A
sin A sin B sin C
a
b
c
c
①RtABC中, 若C 90, 则


c 2 R.
b
sin A sin B sin C
a b c 2bc cos A,
A
2
c
b
C
a
2
2
b a c 2ac cos B,
2
B
2
2
作用1：知两边
及夹角求第三边
将SAS数量化
作用2：知三边
求任一角
将SSS数量化
c 2 a 2 b2 2ab cosC ,
b c a
推论：cos A

a 2 b2 c 2 cosC 2ab
应用：１、已知两条边和一个夹角，求第Байду номын сангаас条边。
２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。
2 2 2
穿山隧道工程设计，要测算 山脚A、B的距离，工程技术人员先 在地面上选一适当的位置P，量出P 到A、B的距离，再利用经纬仪测出 A P对山脚线段AB的张角，最后通过 计算求出山脚的长度AB。 若测得： 1km
B
1.5km 60
解 : AB2 PA2 PB2 2PA PB cosP
5 例2.在ABC中, 若a b c ，那么A是( cos A ) , CD 5 6 √ B.直角 C .锐角 D.不能确定 A.钝角
2 2 2
(3)已知 a 3 , b 3, c 2, 求边 AB上中线 CD长
a2 b2 c 2 锐角三解形
余弦定理
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2abcosC
余弦定理及其应用
复习回顾
正弦定理：
a b c 2R sin A sinB sinC
变形：
a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2 R sin C a : b : c sin A : sin B : sin C
（2）已知两边和一边的对角。
解决两类解三角形问题：（1）已知两角和任一边。
2 2.巩 固 练 习 : ABC中, a 1, sinA , 3 3 3 2 (1)若b , 求B; ( 2)若b , 求B . 4 4
1.作业讲评：6，7
30
45, 或135