2013-2014学年黑龙江省哈尔滨六中高二(上)期中数学试卷(理科)

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2013-2014学年黑龙江省哈尔滨六中高二(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题:(每题5分共60分)
1.(5分)抛物线y2=2x的准线方程是( )

A.y= B.y=﹣ C.x= D.x=﹣
2.(5分)下列命题不正确的是( )
A.如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,则两平面垂直
B.如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则两平面平行
C.如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行
D.如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线垂直

3.(5分)已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为( )

A. B. C.y=±2x D.
4.(5分)已知p:|x+1|≤4,q:x2<5x﹣6,则p是q成立的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5.(5分)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )

A. B. C. D.
6.(5分)空间四边形ABCD中,M,N分别是AB和CD的中点,AD=BC=6,MN=3,则AD和BC所成的角是( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
7.(5分)已知下列命题:
①命题“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0,则x=1”
②命题 p:∀x∈R,x2+x+1≠0,则¬p:∃x∈R,x2+x+1=0.
③若p∨q为真命题,则p,q均为真命题
④“x>2”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要条件
其中,真命题的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
8.(5分)已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n,则下列四个命题中,假命题是( )
A.若m∥n,m⊥α,则n⊥α B.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
C.m⊥α,m∥n,n⊂β则α⊥β D.m∥α,α∩β=n,则m∥n

9.(5分)已知抛物线y2=4x的焦点F与椭圆的一个焦点重合,它们在第一象限内的交点为T,且
TF与x轴垂直,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
10.(5分)椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2)过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的方程为( )
A.3x+2y﹣12=0 B.2x+3y﹣12=0 C.4x+9y﹣144=0 D.9x+4y﹣144=0
11.(5分)给出下列正方体的侧面展开图,其中A、B、C、D分别是正方体的棱的中点,那么,在原正方体中,AB与
CD所在直线为异面直线的是( )
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A. B. C. D.
12.(5分)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(﹣2,0),F2(2,0),椭圆的一个短轴端点为B,直线F1B与双曲
线的一条渐近线平行,椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1,e2,则e1+e2取值范围为( )
A.(2,+∞) B.(4,+∞) C.(4,+∞) D.(2,+∞)

二、填空题(每题5分共20分)
13.(5分)命题“∃x∈R,2x2﹣3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为 .

14.(5分)椭圆的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2的大小为 .
15.(5分)下列各图中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形
的序号是

16.(5分)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A、B在抛物线上,且∠AFB=,弦AB的中点M在其准线上的射影为
N,则的最大值为 .

三、解答题
17.(10分)如图,点P为平行四边形ABCD外一点,且PD⊥平面ABCD,M为PC中点.
(1)求证:AP∥平面MBD;
(2)若AD⊥PB,求证:BD⊥平面PAD.

18.(12分)已知命题P:方程x2+(m﹣3)x+1=0无实根,命题Q:方程是焦点在y轴上的椭圆.若¬P与
P∧Q同时为假命题,求m的取值范围.
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19.(12分)如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,,M是线段EF的中点.
(1)证明:CM∥平面DFB
(2)求异面直线AM与DE所成的角的余弦值.

20.(12分)设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段
长为.
(1)求椭圆方程.
(2)过点P(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,当△OAB面积最大时,求|AB|.

21.(12分)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E为AB的中点.
(Ⅰ)证明:A1D⊥D1E;
(Ⅱ)求二面角D﹣CE﹣D1的平面角的正切值.

22.(12分)如图,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r
2
(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程;

(2)求的最小值,并求此时圆T的方程;
(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:|OR|•|OS|
为定值.
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2013-2014学年黑龙江省哈尔滨六中高二(上)期中数学试卷(理科)
参考答案

一、选择题:(每题5分共60分)
1.D;2.D;3.B;4.A;5.D;6.B;7.B;8.D;9.B;10.B;11.D;12.D;

二、填空题(每题5分共20分)
13.[﹣2,2];14.120°;15.①③;16.;

三、解答题
17.;18.;19.;20.;21.;22.;