江苏省南通市、泰州市2020届高三上学期第一次调研考试数学(理)试题(含答案解析版)

2025届江苏省南通市海安中学高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．983．已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．45B ．45-C ．45iD ．45-i 4．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====上规律，若=“穿墙术”，则n =（ ） A ．48B ．63C ．99D ．1205．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A ．35B ．710C ．45D ．9106．已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-7．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．18．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格9．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥10．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-11．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥βD ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥12．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019~2020学年第一学期高三期初调研试卷数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,3}A =，{3,9}B =，则A B =_____.【答案】{}1,3,9 【解析】 【分析】根据并集的运算即可求解.【详解】集合{1,3}A =，{3,9}B =， 由并集的运算可得{}1,3,9A B =，故答案为：{}1,3,9.【点睛】本题考查了并集的简单运算，属于基础题. 2.如果复数2()3bib R i-∈+的实部与虚部互为相反数，则b 等于_____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，结合复数的实部与虚部互为相反数，即可求得b 的值. 【详解】复数2()3bib R i-∈+， 由复数除法运算化简可得()()()()2326233331010bi i bi b bi i i i ----+==-++-， 因为复数的实部与虚部互为相反数， 即62301010b b -+⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1b =， 故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题.3.下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为______.【答案】4 【解析】 【分析】根据表格可计算得五次测试得分的均值，由方差公式即可求得五次测试成绩的方差. 【详解】由表格可知，五次测试得分的均值为3330272931305++++=，由方差公式可得()()()()()2222221333030302730293031305s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦ 12045=⨯=， 故这五次测试成绩的方差为4. 故答案为：4.【点睛】本题考查了平均数与方差的求法，属于基础题.4.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_________. 【答案】56【解析】 【分析】先求出从4瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数，再求出取出的2瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率即可求得.【详解】从4瓶饮料中随机抽出2瓶，所有的抽法种数为24C ＝6（种）， 取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为22C ＝1（种）． 所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P ＝1﹣16＝56． 故答案为56．【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了对立事件的概率，解答的关键是掌握对立事件的概率和等于1,属于基础题.5.根据如图所示的伪代码，当输入的,a b分别为2，3时，最后输出的b的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据程序代码，即可求得输出值.【详解】由程序框图可知，当输入的,a b分别为2，3时，235a a b=+=+=，532b a b=-=-=，所以输出的2b=，故答案为：2.【点睛】本题考查了伪代码的简单应用，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22221x ya b-=(0,0a b>>)的两条渐近线的方程为2y x=±，则该双曲线的离心率为_______．5【解析】【分析】由双曲线的两条渐近线方程是y＝±2x，得b＝2a，从而225c a b a=+=，即可求出双曲线的离心率．【详解】∵双曲线22221x ya b-=(0,0a b>>)的两条渐近线方程是y＝±2x，∴2b a =，即b ＝2a ，∴225c a b a =+=，∴5ce a==． 故答案为5．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 7.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为_____．【答案】4 【解析】 【分析】用等体积法将三棱锥A 1﹣MBC 1的体积转化为三棱锥11C A MB -的体积即可.【详解】∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，∴A 1C 1⊥AA 1，AC 2+AB 2＝BC 2，∴A 1C 1⊥A 1B 1， ∵AA 1∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ， ∵M 是AA 1的中点，∴1111134222A MBAA BSS ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭3， ∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：1111111113433A MBC C A MB A MB V V SAC --==⨯⨯=⨯⨯=4． 故答案为：4．【点睛】本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计算能力，是一个常考点.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则10S 的值为_____. 【答案】-5【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式，结合通项公式及性质即可求得首项和公差，进而代入前n 项和公式即可求得10S 的值.【详解】由等差数列前n 项和公式可得()1151581515302a a S a ⨯+===，则82a =，由等差数列的通项公式可得117261a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得151a d =-⎧⎨=⎩，所以()10109105152S ⨯=⨯-+⨯=-， 故答案为：-5.【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的简单应用，属于基础题.9.已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当[0,)x ∈+∞时，sin ,[0,1)()(1),[1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩，则56f π⎛⎫--= ⎪⎝⎭_______. 【答案】12【解析】 【分析】根据偶函数性质可知5566f f ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数解析式可知当1x ≥时为周期等于1的周期函数，所以566f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】()y f x =是定义在R 上的偶函数， 所以5566f f ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当[0,)x ∈+∞时，sin ,[0,1)()(1),[1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩， 即当1x ≥时为周期等于1的周期函数， 即566f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故答案为：12. 【点睛】本题考查了分段函数的求值，偶函数与周期函数的综合应用，属于基础题. 10.已知在ABC ∆中，1AC =，3BC =.若O 是该三角形内的一点，满足()()0OA OB CA CB +⋅-=，则CO AB ⋅=_____.【答案】4 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律，结合向量的线性运算可得OA OB =，画出几何关系图示，即可由平面向量数量积运算律求得CO AB ⋅. 【详解】因为()()0OA OB CA CB +⋅-=，则()0OA OB BA +⋅=，即()()0OA OB OA OB +⋅-=， 所以220OA OB -=，即OA OB =， 所以O 在AB 的垂直平分线上， 由题意可知1AC =，3BC =. 设AB 中点为M ，如下图所示：由平面向量的线性运算及数量积运算律可得()CO AB CM MO AB ⋅=+⋅ CM AB MO AB =⋅+⋅ ()()12CM AB CA CB CB CA =⋅=+⋅- 221122CB CA =- 221131422=⨯-⨯=, 故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律及几何中向量的线性运算应用，属于中档题. 11.已知sin222cos2αα-=，则2sin sin 2αα+=__________． 【答案】1或85【解析】由sin222cos2αα-=得sin 22(1cos 2)0αα-+=，即22sin cos 4cos 0ααα-=，所以cos 0α=或tan 2α=，当cos 0α=时，22sin sin 21cos 2sin cos 1ααααα+=-+=，当tan 2α=时，22222222sin 2sin cos tan 2tan 2228sin sin 2sin cos tan 1215αααααααααα+++⨯+====+++，故答案为1或85. 【点睛】在已知tan α的值求关于sin ,cos αα的函数值时，有两类问题可通过把待求式转化为tan α的式子快速求值：（1）关于sin ,cos αα的齐次分式：一次齐次式sin cos ()sin cos a b f c d ααααα+=+，二次齐次式2222sin sin cos cos ()sin sin cos cos a b c f d e f ααααααααα++=++； （2）可化为二次齐次式的代数式：22()sin sin cos cos f a b c ααααα=++22sin sin cos cos 1a b c αααα++=2222sin sin cos cos sin cos a b c αααααα++=+． 12.已知点A B 、是圆22:4O x y +=上任意两点，且满足23AB =.点P 是圆22:(4)(3)4C x y +++=上任意一点，则||PA PB +的取值范围是______.【答案】[]4,8 【解析】 【分析】根据题意在坐标系中画出两个圆，结合平面向量的线性运算，由点与圆的位置关系即可判断出取最大值和最小值时的位置，进而求解. 【详解】根据题意，画出图形关系如下图所：取AB 的中点D ，由两个圆的方程可知()()222,435CP CO ==-+-=，则()222431OD OA AD =-=-=，由平面向量线性运算可知2PA PB PD +=，当C P O D 、、、四点共线时，PD 取得最小值，此时5212PD CO CP OD =--=--=， 当C P O D '、、、四点共线时，PD 取得最大值，此时5214PD CO CP OD '=-+'=-+=， 所以[]24,8PD ∈，即||PA PB +的取值范围为[]4,8， 故答案为：[]4,8.【点睛】本题考查了平面向量与圆的综合应用，点和圆位置关系的综合应用，距离最值的求法，属于中档题.13.设实数1a ≥，若不等式||2x x a a -+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是_____.【答案】[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】根据题意，将不等式变形，转化为两个函数在[1,3]x ∈内的位置关系，再对a 分类讨论，画出函数图像即可分析a 的取值范围.【详解】对于实数1a ≥，不等式||2x x a a -+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，则2a x a x--≥对于任意的实数[1,3]x ∈恒成立， 所以函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x-=图像的上方，当2a =时，显然成立； 当12a ≤<时，2a y x -=在第四象限，若函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x-=图像的上方，如下图所示：此时在[1,3]x ∈时恒成立，因而12a ≤<成立；当2a >时，2a y x -=在第一象限；若函数y x a =-的图像在[1,3]x ∈时恒在2a y x-=图像的上方，如下图所示：结合图像可知，需满足2233a a a >⎧⎪-⎨-≥⎪⎩，解不等式可得72a ≥， 综上所述，满足条件的实数a 的取值范围为[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为：[]71,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了含参数绝对值不等式的解法，不等式与函数的关系综合应用，数形结合法求参数的取值范围，属于难题. 14.在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 【答案】215【解析】 【分析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出cos A ，再由基本不等式即可求得cos A 的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得sin A 的取值范围，即可求得sin A 的最大值. 【详解】在ABC ∆中，tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin cos sin cos 3cos sin cos sin A B A CA B A C+=，通分化简可得()sin cos sin cos sin 3cos sin sin A B C C B A B C+=，由正弦和角公式可得()sin sin 3cos sin sin A C B A B C+=，所以2sin 3cos sin sin AA B C=，由正弦定理代入可得23cos a bc A=，即23cos a bc A =，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 代入可得223cos 2cos bc A b c bc A =+-，所以2222cos 555b c bc A bc bc +=≥=，当且仅当b c =时取等号，则24cos 25A ≥，所以241sin 25A -≥，即221sin 25A ≤，所以sin 5A ≤，则sin A 的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，点P 是棱AC 的中点.（1）求证：1AB //平面1PBC ； （2）求证：平面1PBC ⊥平面11AAC C . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接1CB ，与1BC 交于O ，连接OP ，由中位线定理即可证明1AB //平面1PBC ； （2）根据题意可证明BP AC ⊥及1AA PB ⊥，可得PB ⊥平面11AAC C ，再由面面垂直的判定定理可证明平面1PBC ⊥平面11AAC C .【详解】（1）证明：连接1CB ，与1BC 交于O ，连接OP ，如下图所示：则OP 为1AB C 的中位线， 所以1//OP AB ，因为OP ⊂平面1PBC ,1AB ⊄平面1PBC ， 所以1AB //平面1PBC ；（2）证明：在ABC 中，AB BC =，点P 是棱AC 的中点. 所以BP AC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，而PB ⊂平面ABC ，可得1AA PB ⊥ 又因为1,AC AA ⊂平面11AAC C ，且1AC AA A =∩， 所以PB ⊥平面11AAC C ， 而PB ⊂平面1PBC ，所以平面1PBC ⊥平面11AAC C .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理应用，线面垂直与面面垂直判定定理的应用，属于基础题.16.已知函数7()sin sin 412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2）当[0,]x π∈时，试求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值.【答案】（1）2T π=；112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）12x π=时，函数()y f x =的【解析】 【分析】（1）将函数解析式变形，结合正弦和角公式及辅助角公式变形，即可由正弦函数的性质求得最小正周期及单调递增区间.（2）根据自变量的范围，结合正弦函数的图像与性质即可求得最大值，结合正弦函数的性质即可求得取最大值时自变量的值.【详解】（1）将函数()y f x =的解析式变形，结合正弦和角公式与辅助角公式化简可得7()sin sin 412f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin 443x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 244x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭153sin 2x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的最小正周期为2T π=; 由正弦函数的图像与性质可知12522,22k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 解得1122,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以()y f x =的单调递增区间为112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为[0,]x π∈， 则5517,121122x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当1522x ππ+=时，函数()y f x =的最大值为3， 解得此时12x π=.【点睛】本题考查了正弦和角公式及辅助角公式化简三角函数式的应用，正弦函数图像与性质的综合应用，属于基础题.17.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y kx =交椭圆C 于,A B 两点，在直线上存在点P ,使得PAB △为等边三角形,求k 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）0k =或1k =-． 【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，要确定,a b 的值，题中已知四个顶点形成的菱形是确定的，而椭圆的顶点为(,0),(0,)a b ±±，因此易得,a b ；（2）本小题采取解析几何的基本解法，PAB △是等边三角形的条件是三边相等，或两内角为60°，或PO AB ⊥且3PO AO =，我们采用PO AB⊥且3PO AO=，由线段AB的中垂线与直线l相交求得点P的坐标，计算PO，直线y kx=与椭圆相交求得A点坐标，计算AO，利用3PO AO=求得k值，由于涉及到AB的垂线．因此对k按0k=和0k≠分类讨论．试题解析：(1)因为椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点, 所以3,1a b==,椭圆C的方程为2213xy+=(2)设()11,A x y,则()11,B x y--（i）当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是y轴，y轴与直线的交点为(0,3)P,又3,3AO PO==23AB PA PB⇒===，所以PAB△是等边三角形,所以0k=满足条件；(ii)当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB的方程为y kx=所以221{3xyy kx+==，化简得解得12331xk=+所以222233313131kAO kk k+=+=++又AB的中垂线为1y xk=-，它l的交点记为00(,)P x y由30{1x yy xk+-==-解得31{31kxkyk=--=-则2299(1)k PO k +=-因为PAB △为等边三角形， 所以应有3PO AO =代入得到222299333(1)31k k k k ++=-+，解得0k =（舍），1k =- 综上可知，0k =或1k =-考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交的综合问题．18.某地举行水上运动会，如图，岸边有,A B 两点，30BAC ︒∠=，小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇.（水流速度忽略不计）（1）若4v =，2AB km =，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进(0)m m t <<小时后，再游泳匀速直线追赶小船.已知运动员在岸边跑步速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值. 【答案】（1）2；（243【解析】 【分析】（1）设运动员游泳的速度为x 千米/小时，结合余弦定理即可表示出2x ，再由二次函数性质即可求得速度的最小值.（2）根据余弦定理代入化简变形，可转化为一元二次方程，由一元二次方程有解，即可确定0∆≥，进而求得速度的最大值.【详解】（1）设运动员游泳的速度为x 千米/小时， 由余弦定理可知()()22224224cos30xt t t =+-⨯⨯，化简可得222411644x t t t ⎛=-+=-+ ⎝，因为01t <≤，所以11t≥，则当1t=3t =时，2x 取得最小值，此时2x =， 所以为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，运动员游泳速度的最小值为2. （2）运动员游泳时间为t m - 小时，运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，由余弦定理可知()()()2222424cos30t m m vt m vt -=+-⨯⨯⎡⎤⎣⎦，整理化简可得()2212840m m v t t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，设(),0,1mk k t=∈，则上式可化为()2212840k k v +-+-=在()0,1内有解，则()()22841240v ∆=--⨯⨯-≥，解得0v <≤，当3v =时，代入方程可解得13k =，满足()0,1k ∈，所以小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值为3. 【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的综合应用，二次函数求最值及有解的应用，属于中档题.19.已知函数()(),ln xf x eg x x ==．（1）设()()2h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图象在点()()00,A x g x 处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立． 【答案】（1）()h x 的单调增区间为（0，2]；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出导函数)'(h x ，在函数定义域内由'()0h x >确定其增区间；（2）先求出()g x 在0x 处的切线方程，设这条切线与()y f x =的图象切于点11(,())x f x ，由010101()()'()'()g x f x k g x f x x x -===-，得出关于0x 的方程，然后证明此方程的解在(1,)+∞上存在且唯一．（3）把问题转化为10x e ax x ---<在(0,)+∞上有解，令()1xH x e ax x =---，则只要min ()0H x <即可．【详解】（1）h （x ）＝g （x ）﹣x 2＝lnx ﹣x 2，x ∈（0，+∞）．令21()20x x h x x x x⎛- ⎝⎭⎝⎭'=-=≥，解得0x ≤＜． ∴函数h （x ）的单调增区间为（0，2]． （2）证明：设x 0＞1，1()g x x'=，可得切线斜率01k x =，切线方程为：0001ln ()y x x x x -=-． 假设此切线与曲线y ＝f （x ）＝e x 相切于点B （x 1，1x e ），f ′（x ）＝e x ． 则k=1x e ，∴11010ln 1x x e x k e x x x -===-． 化为：x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1＝0，x 0＞1． 下面证明此方程在（1，+∞）上存在唯一解． 令u （x 0）＝x 0lnx 0﹣lnx 0﹣x 0－1，x 0＞1．0001()ln u x x x '=-，在x 0∈（1，+∞）上单调递增． 又u ′（1）＝－1，1'()10u e e=->， ∴'()0u x =在(1,)+∞上有唯一实数解m ，0(1,)x m ∈，0'()0u x <，()u x 递减， 0(,)x m ∈+∞时，0'()0u x >，()u x 递增，而(1)20u =-<，∴0()0u x =在(1,)m 上无解，而22()30u e e =->，∴0()0u x =在(,)m +∞上有唯一解． ∴方程0()0u x =在（1，+∞）上存在唯一解．即：存在唯一的x 0，使得函数y ＝g （x ）的图象在点A （x 0，g （x 0））处的切线l 与函数y ＝f （x ）的图象也相切．（3）证明：()111x f x e x x x----=， 令v （x ）＝e x﹣x ﹣1，x ＞0． ∴v ′（x ）＝e x ﹣1＞0，∴函数v （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增， ∴v （x ）＞v （0）＝0．∴()1110x f x e x x x----=＞，∴不等式()11f x a x--＜，a ＞0⇔e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0， 即H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ＜0，由对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立⇔H （x ）min ＜0． H （x ）＝e x ﹣x ﹣1﹣ax ，a ，x ∈（0，+∞）． H ′（x ）＝e x ﹣1﹣a ，令e x ﹣1﹣a ＝0，解得x ＝ln(1)a +＞0，函数H （x ）在区间（0，ln(1)a +）上单调递减，在区间（ln(1)a +，+∞）上单调递增． ∵H （0）＝0，∴min ()(ln(1))0H x H a =+<． ∴存在对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--＜成立． 【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，考查综合运算能力，转化与化归思想，本题难度较大．20.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足：1155b a ==，529a b ==，当3n ≥时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，*N n ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；（3）将数列{}n a 、11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的项按照：当n 为奇数时，n a 放在前面：当n 为偶数时，11n n b b+放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，…这个新数列的前n 和为n T ，试求n T 的表达式.【答案】（1）21n a n =-，41n b n =+；（2）证明见解析；（3）当2,*n k k N =∈时，()241025n n n T n =++；当43,*n k k N =-∈时，()()21141023n n n T n --=++；当41,*n k k N =-∈时，()()21141027nn n T n -+=++.【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式，即可由基本量计算求得首项与公差，进而求得数列{}n a 的通项公式与前n 项和；根据等比中项定义，结合数列{}n a 的前n 项和，代入化简可求得数列{}n b 的通项公式；（2）根据数列{}n a ，{}n b 的通项公式，即可证明数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中； （3）由数列{}n b 的通项公式，代入由裂项求和法可得11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，再对n 分类讨论，即可确定新数列的前n 和n T 的表达式.【详解】（1）{}n a 为等差数列，设公差为d ，1155b a ==，529a b ==，所以151149a a a d =⎧⎨=+=⎩，解得2d =，所以由等差数列通项公式可得()12121n a n n =+-=-； 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 所以()21212n n n S n +-==，当3n ≥时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，*N n ∈. 所以()212n n n n b S S S +-=⋅-，则()()222212n n n b n ⎡⎤+=⋅-⎣⎦-，即()()212n n b n n -+=-， 化简可得41n b n =+，当1,2n n ==时也成立，所以41n b n =+.（2）证明：由（1）可知21n a n =-，41n b n =+， 则()21412211n n b n n a +=+=+-=， 所以数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中； （3）由（1）可知41n b n =+， 则()()111114145414415n n b n b n n n ++++⎛⎫==- ⎪⎝⎭+， 所以数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()11111145991341455451n nB n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪+++⎝⎭-， ①当2,*n k k N =∈时，()()22254541025n k k k k n nT T S B k k n ==+=+=+++， ②当43,*n k k N =-∈（2k ≥）时，()()()()2243212212212158341023n k k k n k n T T S B k k n ------==+=-+=+-+，经检验当1n =时也成立，③当41,*n k k N =-∈时，()()()()22412121212158541027n k k k n kn T T S B k k n ---+==+=-+=+++， 综上所述，当2,*n k k N =∈时，()241025n n n T n =++； 当43,*n k k N =-∈时，()()21141023nn n T n --=++；当41,*n k k N =-∈时，()()21141027nn n T n -+=++.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的求法，等比中项的性质简单应用，裂项求和法的应用，分类讨论求数列的前n 项和的综合应用，属于难题.选做题:本题包括三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 选修4-2：矩阵与变换21.设变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标；（2）求曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程. 【答案】（1）()1,1-；（2）2y x =-.【解析】 【分析】（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程. 【详解】（1）由题意变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ， 可知cos sin012210sin cos 22M ππππ⎛⎫- ⎪-⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.（2）设x y ⎛⎫⎪⎝⎭是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以00y x x y -=⎧⎨=⎩，即00x yy x =⎧⎨=-⎩，因为00x y ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线2:C y x =上，将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=，即2y x =-，所以曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2y x =-.【点睛】本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题.选修4-4：坐标系与参数方程 22.已知直线的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩（0a >，θ为参数），点P 是圆C 上的任意一点，若点P 1，求实数a 的值.【答案】1a = 【解析】 【分析】根据所给直线参数方程与圆的参数方程，转化为普通方程，结合点与圆的位置关系及距离最值，即可求得a 的值. 【详解】直线的参数方程为11x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），化为普通方程可得20x y +-=，圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩（0a >，θ为参数），化为普通方程可得222x y a +=，由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为d ==点P 是圆C 上的任意一点，且点P 1，1a =，0a >，解得1a =.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，点和圆位置关系的简单应用，属于基础题. 选修4-5：不等式选讲23.已知x 、y 、z 均为正数，求证：111x y z yz zx xy x y z≥＋＋＋＋ 【答案】证明见解析 【解析】【详解】∵x，y ，z 都是为正数，∴12()x y x y yz zx z y x z+=+≥． 同理，可得2y z zx xy x +≥，2z x xy yz y+≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++≥++． 必做题:第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取 ，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． （1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ． 【答案】（1）6（2）()E X =10.【解析】【详解】（1）设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为229nC C ，由题意知229n C C =512，即(1)5298122n n -=⨯，化简得2300n n --=． 解得6n =或5n =-（舍去） 故袋中原有白球的个数为6. （2）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4.62(1)93P X ===；361(2)984P X ⨯===⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为：所求数学期望为E （X ）=1⨯23+2⨯14+3⨯114+4⨯184=10.7 25.设集合{}1,0,1M =-，集合 {}12,,,,1,2,,n n i A x x x x M i n =∈=⋯，集合n A 中满足条件 “121n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S .（1）求22S 和42S 的值；(2)当m n <时，求证：11322nnm n m S ++<+-.【答案】（1）24228,32S S ==；（2）见解析【解析】试题分析：（1）按照题设条件中的规定和定义进行求解计算；（2）先考虑特殊情形{}{}0,1,1P Q ==-，运用从特殊到一般是数学思想进行推证，进而归纳得到1122222n m mm n n n S C C C =+++，然后运用缩放法进行推证：解(1)24228,32S S ==；（2）设集合{}{}0,1,1P Q ==-. 若121n x x x +++=，即123,,,,n x x x x 中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，122n x x x +++=，即123,,,,n x x x x 中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n nC -种可能，即为222n C ，若12n x x x m +++=，即123,,,,n x x x x 中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n mm nC -种可能，即为2m m n C ，所以1122222n m mm n n n S C C C =+++因为当0k n ≤≤时，故1k n C ≥，所以10kn C -≥ 所以1122222n m m m n n n S C C C =+++()()()0011221122221212m m m m nn n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++-()()0011221112222222222m m m m n nm m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++()()11111222322nn m n n m ++++=+--=-+.。

江苏省苏州市2019—2010学年度第一学期高三期初调研考试数学试卷2019．9第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1，3}，B ＝{3，9}，则A U B ＝ ． 答案：{1，3，9} 考点：集合的运算解析：∵A ＝{1，3}，B ＝{3，9}， ∴A U B ＝{1，3，9} 2．如果复数23bii-+(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 等于 ． 答案：1 考点：复数 解析：263231010bi b b i i --+=-+，由实部与虚部互为相反数得：6321010b b -+=，解得b ＝1． 3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 ．次数 1 2 3 4 5 得分3330272931答案：4考点：平均数与方差解析：∵3330272931305x ++++==∴2222221[(3330)(3030)(2730)(2930)(3130)]45S =-+-+-+-+-=．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ． 答案：56考点：古典概型解析：4瓶饮料中随机取2瓶共有6种取法，所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料共有5种取法，所以求得概率为56． 5．根据如图所示的伪代码，当输入的a ，b 分别为2，3时，最后输出的b 的值为 ．答案：2考点：算法语言，伪代码解析：求得a＝5，b＝2，所以最后输出的b的值为2．6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为．答案：5考点：双曲线的性质解析：由渐近线方程可得2ba=，所以b2＝4a2，即c2﹣a2＝4a2，所以225ca=，e＝5（负值已舍去）．7．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1—MBC1的体积为．答案：4考点：棱锥的体积解析：根据A1C1＝4，A1B1＝AB＝3，B1C1＝BC＝5，可得∠C1A1B1＝90°，又∠C1A1A＝90°，可得C1A1⊥平面ABB1A1，所以111111234432A MBC C MBAV V==⨯⨯⨯⨯=——．8．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，若1530S=，71a=，则10S的值为．答案：﹣5考点：等差数列前n项和解析：由1530S=可得82a=，又71a=，可得6a=，51a=-，所以110105610()5()52a aS a a+==+=-．9．若()y f x=是定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞)时，sin[0, 1)()(1)[1,)x xf xf x x∈⎧=⎨-∈+∞⎩，，，则(5)6fπ--＝．答案：12考点：函数的奇偶性、周期性 解析：1(5)(5)()sin 66662f f f ππππ--=+===． 10．已知在△ABC 中，AC ＝1，BC ＝3，若O 是该三角形内的一点，满足(OA OB)(CA +⋅-u u u r u u u r u u u r CB)u u u r ＝0，则CO AB ⋅u u u r u u u r＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积解析：设AB 的中点为D ，由(OA OB)(CA +⋅-u u u r u u u r u u u r CB)u u u r ＝0，得DO AB 0⋅=u u u r u u u r所以1CO AB (CD DO)AB CD AB (CA CB)(CA CB)2⋅=+⋅=⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221(CA CB )42=-=u u ur u u u r ． 11．已知sin 222cos2αα-=，则2sin sin 2αα+＝ ．答案：1或85考点：同角三角函数关系式，倍角公式 解析：∵sin 222cos2αα-= ∴2sin 222(2cos 1)αα-=- 化简得cos (sin 2cos )0ααα-= 所以cos 0α=或tan 2α= 当cos 0α=，求得2sinsin 2αα+＝1当tan 2α=，222222sin 2sin cos tan 2tan 8sin sin 2sin cos tan 15αααααααααα+++===++．12．已知点A 、B 是圆O ：224x y +=上任意两点，且满足AB ＝P 是圆C ：(x＋4)2＋(y ＋3)2＝4上任意一点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围是 ．答案：[4，16] 考点：圆的方程解析：取AB 中点C ，可得OC ＝1，所以动点C 在以O 为圆心，1为半径的圆上PA PB 2PC 2PC +==u u u r u u u r u u u r u u u r，而PC max ＝5＋1＋2＝8，PC min ＝5﹣1﹣2＝2， PA PB +u u u r u u u r 的最大值为16，最小值为4，取值范围为4≤PA PB +u u u r u u u r≤16．13．设实数a ≥1，若不等式2x x a a -+≥，对任意的实数x ∈[1，3]恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．答案：[1，2]U [72，+∞) 考点：函数性质综合解析：①当1≤a ≤2时，显然符合题意 ②当a ＞2时，2x x a a -+≥，2a x a x--≥ ∴2a x a x--≥或2a x a x --≤-化简得221x a x +≤+或221x a x -≥-恒成立求得221x y x +=+在[1，3]的最小值为32，即a ≤32与a ＞2矛盾，舍求得221x y x -=-在[1，3]的最大值为72，即a ≥72符合题意综上所述，a 的取值范围为1≤a ≤2或a ≥72． 14．在△ABC 中，若tan A tan Atan B tan C+＝3，则sinA 的最大值为 ．答案：5考点：基本不等式，正余弦定理解析：222222222222tan A tan A sin A cos B sin A cos C 22tan B tan C sin Bcos A sin cos A 22a c b a b c a aac ab b c a b c a C b cbc bc+-+-+=+=++-+- ＝222223a b c a =+- 所以2223()5a b c =+ cosA ＝222222()2522555b c b c a b c bc bc c b ++-==+≥当且仅当b ＝c 时取“＝”所以A 是锐角，且cosA 的最小值为25，此时sinA．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，点P 是棱AC 的中点．（1）求证：AB 1∥平面PBC 1；（2）求证：平面PBC 1⊥平面AA 1C 1C ．16．（本小题满分14分） 已知函数7()sin()sin()412f x x x ππ=+++． （1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2）当x ∈[0，π]时，试求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值．17．（本小题满分14分）已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx交椭圆C于A、B两点，在直线l：x＋y﹣3＝0上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求实数k的值．18．（本小题满分16分）某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，∠BAC＝30°．小船从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇．（水流速度忽略不计）（1）若v＝4，AB＝2 km，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进m（0＜m＜t）小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数()xf x e =，()lng x x =．（1）设2()()h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图像在点A(0x ，0()g x )处的切线l 与函数()y f x =的图像也相切；（3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x--<成立．20．（本小题满分16分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足：1155b a ==，529a b ==，当n ≥3时，1n S +＞n b ，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，n N *∈．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）求证：数列{}n b中的项都在数列{}n a中；（3）将数列{}n a、11n nb b+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的项按照：当n为奇数时，na放在前面；当n为偶数时，11n nb b+放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a，121b b，231b b，2a，3a，341b b，451b b，…这个新数列的前n和为nT，试求nT的表达式．第II卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换设变换T是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M．（1）求点P(1，1)在T作用下的点P′的坐标；（2）求曲线C：y＝x2在变换T的作用下所得到的曲线C′的方程．B．选修4—4：坐标系与参数方程己知直线的参数方程为11x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数），圆C的参数方程为cossinx ay aθθ=⎧⎨=⎩（a＞0，θ为参数），点P是圆C上的任意点，若点P到直线的距离的最大值为21+，求实数a的值．解：由直线的参数方程为11x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）可得2y x=-+由圆C的参数方程为cossinx ay aθθ=⎧⎨=⎩可得圆的标准方程为222x y a+=求得圆心O到直线的距离为2，所以a＋2＝21+，求得a的值为1．C．选修4—5：不等式选讲已知x、y、z均为正数，求证：111x y zyz zx xy x y z ++≥++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有人取到白球时终止．用随机变量X 表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望E(X)．23．（本小题满分10分）设集合M ＝{﹣1，0，1}，集合A n ＝{}123(,,,,),1,2,,n i x x x x x M i n ∈=L L ，集合A n 中满足条件“1≤12n x x x +++L ≤m ”的元素个数记为n m S ．（1）求22S 和42S 的值；（2）当m ＜n 时，求证：11322n n m n m S ++<+-．。

2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期期末联考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{-1，0，2}，B ＝{-1，1，2}，则A ∩B =________. 【答案】{}1,2-【解析】根据交集的定义求解即可 【详解】由题,{}1,2A B ⋂=-, 故答案为：{}1,2- 【点睛】本题考查交集的运算,属于基础题2．已知复数z 满足(1+ i ) z ＝2i ，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______.【解析】利用复数的除法法则可得1z i =+,进而求得模即可 【详解】 由题,()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-,所以z ==【点睛】本题考查复数的模,考查复数除法法则的应用,属于基础题3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为_______. 【答案】40【解析】根据平均数的公式计算即可 【详解】由题,则平均值为()13535413851405⨯++++=, 故答案为：40 【点睛】本题考查求平均数,考查运算能力,属于基础题 4．根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为_______.【答案】11【解析】根据已知中的语句可知,该程序的功能是循环计算a ,i 并输出满足条件的a 的值,模拟程序的运行过程,即可得答案 【详解】当1a =时,14i =≤,则112a =+=,1124i =+=≤, 则224a =+=,2134i =+=≤, 则437a =+=,3144i =+=≤, 则7411a =+=,415i i =+=>, 所以输出11a =, 故答案为：11 【点睛】本题考查循环结构和算法语句,当程序的运行次数不多时,采用模拟程序运行结果的办法进行解答即可5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 2，a 4成等比数列，则1a d的值为_____. 【答案】1【解析】由等比中项可得2214a a a =⋅,再根据等差数列{}n a 可得()()21113a d a a d +=+,即可求得1a 与d 的关系【详解】由0d ≠的等差数列{}n a ,因为124,,a a a 成等比数列,则2214a a a =⋅,即()()21113a d a a d +=+,可得1a d =,则11a d=, 故答案为：1 【点睛】本题考查等差数列定义的应用,考查等比中项的应用,属于基础题6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为______. 【答案】38【解析】先求得正面向上的概率,再求得恰好出现2次正面向上的概率即可 【详解】设“正面向上”为事件A ,则()12P A =,则()11122P A =-=, 所以恰好出现2次正面向上的概率为223113228P C ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故答案为：38【点睛】本题考查独立重复试验求概率,属于基础题7．在正三棱柱ABC - A 1B 1C 1 中，AA 1＝AB ＝2 ，则三枝锥A 1 - BB 1C 1 的体积为______.【解析】根据正三棱柱的性质可得各棱长均为2,则111111A BB C B A B C V V --=,进而求解即可 【详解】因为正三棱柱111ABC A B C -,则1BB ⊥底面111A B C ,111A B C △是等边三角形 又因为12AA AB ==,则三棱柱各棱长均为2,则1111112112sin 602323A BB C B A B C V V --⎛⎫==⨯⨯⨯︒⨯=⎪⎝⎭【点睛】本题考查三棱锥的体积的计算,考查正三棱柱的性质应用,考查转化思想 8．已如函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭.若当x ＝6π时，函数f (x )取得最大值，则ω的最小值为______.【答案】5 【解析】根据当6x π=能取到最大值可得()2632k k Z πππωπ-=+∈,则()512k k Z ω=+∈,由0>ω,对k 赋值,即可求解【详解】 由题,()2632k k Z πππωπ-=+∈,即()512k k Z ω=+∈,因为0>ω,则当0k =时,5ω=, 故答案为：5 【点睛】本题考查正弦型函数对称性的应用,属于基础题9．已知函数f (x )＝(m -2)x 2+(m -8)x (m ∈R )是奇函数.若对于任意的x ∈R ，关于x 的不等式f (x 2+1)<f (a )恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】1a <【解析】先由奇函数可得2m =,代回解析式则可判断函数单调递减,进而可将()()21f x f a +<恒成立转化为21x a +>恒成立,从而求解即可【详解】因为()f x 是奇函数, 所以()()()()()()()2222828220f x f x m x m x m x m x m x -+=---+-+-=-=,则2m =, 所以()6f x x =-,所以()f x 在R 上单调递减,因为()()21f x f a +<恒成立,所以21x a +>恒成立,则()2min11a x <+=,故答案为：1a < 【点睛】本题考查已知函数奇偶性求参数,考查利用函数单调性解不等式恒成立问题10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别在双曲线C : x 2-y 2＝1的两条渐近线上，且双曲线C 经过线段AB 的中点.若点 A 的横坐标为2，则点B 的横坐标为______. 【答案】12【解析】先得到渐近线方程为y x =±,则可设A 为()2,2-,(),B x x ,AB 的中点为22,22x x +-+⎛⎫⎪⎝⎭,再将中点坐标代入双曲线C 中,解得x 即为所求 【详解】由题,双曲线C 的渐近线方程为：y x =±,因为点A 的横坐标为2,则设A 为()2,2-,(),B x x ,则AB 的中点为22,22x x +-+⎛⎫⎪⎝⎭, 所以2222122x x +-+⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得12x =, 则点B 的横坐标为12, 故答案为：12【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的应用,考查中点公式的应用11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lgE ＝4.8 +1.5M . 2008年5月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的______倍. 【答案】1000【解析】由题意分别求得6M =和8时的能量E ,进而求得能量的比 【详解】由题,当8M =时,lg 4.8 1.58E =+⨯,则16.810E =； 当6M =时,lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=,则13.810E =,所以16.8313.81010100010==,故答案为：1000 【点睛】本题考查对数的运算性质的应用,考查阅读分析能力12．已知△ABC 的面积3，且AB ＝AC .若2CD DA =u u u r u u u r,则BD 的最小值为______.【答案】3【解析】由题可设AD x =,则3AB AC x ==,利用余弦定理可得222222cos 106cos BD AB AD AB AD A x x A =+-⋅⋅=-⋅,再根据三角形面积公式可得11sin 33sin 322S AB AC A x x A =⋅⋅=⋅⋅⋅=,则22sin 3A x =,进而cos A =则2BD 为关于x 的函数,利用换元法和导函数求得最值即可 【详解】由题,设AD x =,则3AB AC x ==, 所以()22222222cos 323cos 106cos BD AB AD AB AD A x x x x A x x A=+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=-⋅, 因为11sin 33sin 322S AB AC A x x A =⋅⋅=⋅⋅⋅=,所以(]22sin 0,13A x=∈,因为大边对大角,所以令A 为锐角,则cos A =所以222210610BD x x x =-=-设223t x t ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭,则()10f t t =-所以()10f t '=令()0f t '=,则56t =,则()f t 在25,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,在5,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()min551610663f t f ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭,所以min BD ==,【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查利用导函数求最值,考查运算能力 13．在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2＝8与圆C 2 : x 2+y 2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.【答案】{8,8-+【解析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d , 因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即d =所以2d =,2d ==,解得8a =±当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =,故答案为：{8,8-+ 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想14．已知函数11,0(),01x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x 的方程f 2(x )+2af (x )+1-a 2＝0有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是___.【答案】(1,1-【解析】画出图像,令()t f x =,由5个不相等的实根可得()10,1t ∈,()21,t ∈+∞,则可列出不得关系,进而求得参数范围即可 【详解】由题,画出()f x 的图像,设()t f x =,则方程22210t at a ++-=有5个不相等的实根, 由图可得,()10,1t ∈,()21,t ∈+∞,所以22101210a a a ⎧->⎪⎨++-<⎪⎩,解得113a -<<-, 故答案为：()1,13-- 【点睛】本题考查已知零点个数求参问题,考查数形结合思想二、解答题15．如图，在三棱锥P - ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PC ⊥ AB ，D ，E 分别为BC ，AC 的中点.求证:(1) AB / /平面PDE ; (2)平面PAB ⊥平面PAC .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）根据中位线的性质可得//AB DE ,进而得证； （2）先证得AB ⊥平面PAC ,进而得证 【详解】证明：（1）,D E Q 分别为,BC AC 的中点,//AB DE ∴,DE ⊂Q 平面PDE ,AB ⊄平面PDE ,//AB ∴平面PDE（2）PA ⊥Q 平面ABC ,AB Ì平面ABC ,PA AB ∴⊥,PC AB ⊥Q ,PA PC P =I ,,PA PC ⊂平面PAC , AB ∴⊥平面PAC ,∴平面PAB ⊥平面PAC【点睛】本题考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查推理论证能力 16．在△ABC 中，已知AC ＝4，BC ＝3，cosB ＝－14. (1)求sin A 的值；(2)求BA BC u u u r u u u rg 的值.【答案】（1；（2）32-【解析】（1）先求得sin B =再根据正弦定理求得sin A 即可； （2）根据余弦定理解得2AB =,再由数量积的定义求解即可 【详解】 （1）1cos 4B =-Q ,sin 4B ∴=,根据正弦定理可得,sin sin BC ACA B=,即3sin A =,sin A ∴=（2）根据余弦定理可得,2222cos AC AB BC AB AC B =+-⋅⋅, 即2223432AB AB =++,解得2AB =,13cos2342BA BC BA BC B ⎛⎫∴⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r【点睛】本题考查利用正弦定理求角,考查向量的数量积运算,考查运算能力17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知图中四边形ABCD 是矩形，且BC ＝4，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，AM 与BN 相交于第一象限内的点P .①若M ，N 分别是BC ，CD 的中点，证明:点P 在椭圆E 上；②若点P 在椭圆E 上，证明:BMCN为定值，并求出该定值. 【答案】(1) 22184x y +=；(2)①证明见解析；②证明见解析【解析】（1）由22428c a c=⎧⎪⎨=⎪⎩求得,a c ,进而求得椭圆的方程；（2）①分别求得M ,N 坐标,再求得直线AM 与直线BN 方程,即可求得交点坐标,进而得证；②分别设直线AP 的方程为(()11220y k x k =+>,直线BP 的方程为(()22220y k x k =-<,求得点M ,N 坐标,则12222M N y BM k CN x ==-,利用斜率公式求证即可 【详解】（1）由题,22428c ac=⎧⎪⎨=⎪⎩,则222c a =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以2224b a c =-=,所以椭圆E 的标准方程为：22184x y +=（2）证明：①由（1）可得()A -,()B , 因为4BC =,且四边形ABCD 是矩形,所以()4C,()4D -, 因为点,M N 分别是,BC CD 的中点,所以()M ,()0,4N , 则直线AM20y -=-,即0x -+=, 直线BN404y -=-,即20x -=,所以020x x ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩,解得585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即85P ⎫⎪⎪⎝⎭因为2285+=184⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以点P 在椭圆E 上②设直线AP的方程为(()110y k x k =+>,令x =得1M y =, 设直线BP的方程为(()220y k x k=-<,令4y =,得24N x k -=, 12BMk CN ∴==, 设()00,P x y ()000,0x y >>,则2200184x y +=,()22001222001812882x y k k x x -∴====---,22BM CN ∴=【点睛】本题考查由几何性质求椭圆的方程,考查椭圆的定值问题,考查运算能力与推理证明能力 18．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a 的正三角形ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ到三角形A 1B 1C 1，且20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.顺次连结A ，A 1，B ，B 1，C ，C 1，A ，得到六边形徽标AA 1BB 1CC 1 .(1)当θ＝6π时，求六边形徽标的面积； (2)求六边形徽标的周长的最大值. 【答案】(1)234a ；(2) 3a 【解析】（1）连接OB ,则123AOB πθ∠=-,由等边三角形ABC 的边长为a ,可得33OA OB a ==,再利用三角形面积公式求解即可； （2）根据三角形的对称性可得1232sinsin 232AA OA a θθ==,123312sin sin 32222A B OB πθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则周长为关于θ的函数,进而求得最值即可 【详解】（1）Q 等边三角形ABC 的边长为a ,3OA OB a ∴==, 连接OB ,123AOB πθ∴∠=-, 2123sin sin 236S OA ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, ∴当6πθ=时,六边形徽标的面积为234S a =（2）在1AOA V 中,12sinsin 232AA OA a θθ==, 在1BOA V 中,112sin sin 32222A B OB πθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 设周长为()f q ,则()()113sin 23f AA A B θπθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,20,3θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 当且仅当232θππ+=,即3πθ=时,()max fθ=【点睛】本题考查三角形面积的应用,考查正弦型函数的最值问题,考查三角函数在几何中的应用,考查数形结合思想19．已知数列{a n }满足：a 1＝1，且当n ≥2时，11(1)()2nn n a a R λλ---=+∈（1）若λ＝1，证明数列{a 2n -1}是等差数列；（2）若λ＝2.①设223n n b a =+，求数列{bn }的通项公式；②设2113ni n i Cn a n ==⋅∑，证明：对于任意的p ，m ∈ N ，当p > m ，都有p C ≥ C m . 【答案】（1）证明见解析；（2）①243nn b =⋅；②证明见解析 【解析】（1）分别可得()2+12+1221112n n n n a a a --=+=+,()222121112nn n n a a a ----=+=,二者求和可得21211n n a a +--=,进而得证；（2）①分别可得()2222212111222n n n n a a a ++++--=+=,()212122112212n n n n a a a ++--=+=+,二者整理可得22242n n a a +=+,即可证明{}n b 是首项为83,公比为4的等比数列,进而求得通项公式；②先求得{}2n a 与{}21n a -的通项公式,则()()213212421ni n n i a aa a a a a -==+++++++∑L L ()4413nn =--,则1111444343333n n n n n n C n n n +++⎛⎫--=--= ⎪⋅⋅⎝⎭,进而利用数列的单调性证明即可 【详解】（1）证明：当1λ=时,()1112nn n a a ---=+, ()2+12+1221112n n n n a a a --∴=+=+①，()222121112n n n n a a a ----=+=②,则①+②得21211n n a a +--=, 当1n =时,11a =,{}21n a -∴是首项为1,公差为1的等差数列 （2）①当2λ=时,()11122nn n a a ---=+,当2n =时,()22111222a a --=+=, ()2222212111222n n n n a a a ++++--∴=+=①,()212122112212n n n n a a a ++--=+=+②,①+②2⨯得22242n n a a +=+,22222433n n a a +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭,即14n n b b +=, 122282333b a =+=+=Q ,{}n b \是首项为83,公比为4的等比数列, 1824433n n n b -∴=⋅=⋅②由（2）①知()22413nn a =-,同理由212221212n n n n a a a a +-=+⎧⎨=⎩可得212141n n a a +-=+,212111433n n a a +-⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭, 当1n =时,11141333a +=+=, 2113n a -⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭是首项为43,公比为4的等比数列,12114144333n n n a --∴+=⋅=⋅,()211413n n a -∴=-()()213212421ni n n i a a a a a a a -=∴=+++++++∑L L()()()()()481414248433414141143143993n n n n n n n n n--=-+-=-+--=----, 1111444343333n n n n n n C n n n +++⎛⎫--∴=--= ⎪⋅⋅⎝⎭,()()211214314434133n n n n n n n n C C n n +++++-+----=-+⋅⋅ ()()()()21243143143413n n n n n n n n n +++⎡⎤-+--+--⎣⎦=+⋅()()122346681213n n n n n n n n ++-++++=+⋅()()122346141213n n n n n n n ++-⋅+++=+当1n =时,21321661412023C C -⨯+++-==⨯； 当2n =时,213642428120233C C -+++-==⨯⨯； 当3n ≥时,10n n C C +->,∴对于一切n *∈N ,都有1n n C C +≥,故对任意,p m N *∈,当p m >时,p m C C ≥【点睛】本题考查等差数列的证明,考查等比数列通项公式的应用,考查等比数列求和公式的应用,考查运算能力与推理论证能力20．设函数1()(x f x ax a e a R x ⎛⎫=--∈⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数. （1）当a ＝0时，求函数f (x )的单调减区间；（2）已知函数f (x )的导函数f '(x )有三个零点x 1，x 2，x 3(x 1 < x 2 < x 3).①求a 的取值范围；②若m 1，m 2(m 1 < m 2)是函数f (x )的两个零点，证明：x 1<m 1<x 1 +1. 【答案】（1）(1,)+∞；（2）①40,27⎛⎫⎪⎝⎭②证明见解析 【解析】（1）当0a =时,()xe f x x =-,令()0f x ¢<,即可求得单调减区间； （2）①()()321x e f x ax x x'=-+,令()31g x ax x =-+,将()f x ¢有三个零点转化为()g x 有三个零点,对()g x 求导,可得()g x 的单调性,进而得到a 的范围；②将()f x 有两个零点转化为方程210ax ax --=有两个零点,则可得2111am am =+,2111a m m =-,进而得到()10g m >,()110g m -<,从而得证【详解】（1）当0a =时,()xe f x x =-, ()()21x e x f x x--'∴=, 令()0f x ¢<,可得1x >,()f x \的单调减区间为(1,)+∞（2）①由题,()()332221111x xx ax x e f x e ax e ax x x x x x⎛⎫-+⎛⎫'=-+==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0x ≠, 0x e >Q ,20x >,设()31g x ax x =-+,123,,x x x ∴是()g x 的三个零点,()231g x ax '∴=-,当0a ≤时,()0g x ¢<,则()g x 单调递减,不符合条件；当0a >时,令()0g x ¢=,则x =()g x ∴在,⎛-∞ ⎝,⎫+∞⎪⎪⎭单调递增,在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,⎛ ⎝单调递减, ()010g =>Q,0g ∴<,即310a <, ∴427a <,40,27a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭②12,m m Q 是()f x 的两个零点,令()0f x =,则方程210ax ax --=的两根分别为12,m m ,1210m m ∴=-<,12m m <Q ,10m ∴<,21110am am ∴--=,即2111am am =+,2111a m m =-,由①()()3221111111111111110g m am m am m m am m m am =-+=⋅-+=+-+=+>Q ,11m x ∴>,又()()()33111112111111111120g m a m m m m m m m -=--++=--+=<-Q , 111m x ∴-<,即111m x <+,故1111x m x <<+ 【点睛】本题考查利用导函数求函数单调区间,考查已知零点个数求参数问题,考查利用导函数处理零点问题,考查运算能力。