8.5.3 平面与平面平行(第1课时)平面与平面平行的判定 教学设计

四、课堂小结
1、通过本节课的学习，你学会了哪些判定面面平行的方法? 2、面面平行的判定定理体现了什么思想?
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提 高学生的数学运算能力和逻辑推理能力.
五、作业布置
教科书142页练习第1、2、3题
设计意图：检验学生平面与平面判定定理的的掌握情况，提高学生运用所学知识 解决问题的能力.
图形表示：
（2）观察长方体各个面之间是怎样的位置关系？
（3）大家观察一下教室，是否可以发现面面平行的例子？
二、探索新知
问题2：我们已经研究了直线与平面的平行判定定理，那么两个平面具 有什么条件才能平行呢?
追问1：可是平面可以无限延展，我们很难判断两个平面是否有公共点， 是否有更简便的判断方法呢？
追问2：平面中有无数条直线，我们难以对所有直线逐一检验，能否将 “无数条直线”减少为“有限条直线”呢？减少为几条就可以了呢？
平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 图形语言：
练习2 判断下列命题是否正确．
设计意图：通过练习，强化学生对定理的理解和巩固，特别是对定理中相 交直线的重视，提高学生的理解能力.
三、典例探究
设计意图：通过例题讲解，进一步理解用平面与平面平行的判定定理证明两平面 平行，提高学生解决问题的能力；通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问 题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.
（1）探究并理解平面与平面平行的定义探究，体会立体几何 中研究位置关系的判定和性质的方法，发展学生的数学抽象、逻辑 推理、直观想象的核心素养.
教学重点：平面与平面平行的判定定理的掌握和应用

8.5.3平面与平面平行学习目标核心素养1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点)2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点)1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养．2．借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养.【自主预习】1．平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒β∥α.(3)图形语言：如图所示．2．平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线．(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线．思考：如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？【基础自测】1．已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β，则直线a，b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．垂直2．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是() A．平行B．相交C．异面D．平行或异面3．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则()A. l∥βB. l⊂βC. l∥β或l⊂βD. l, β相交4．已知长方体ABCD­A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【合作探究】类型一平面与平面平行的判定【例1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[思路探究](1)欲证E、F、B、D四点共面，需证BD∥EF即可．(2)要证平面MAN∥平面EFDB，只需证MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即可．【规律方法】平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【跟踪训练】1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.类型二平面与平面平行的性质[探究问题]1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？2．线线、线面、面面平行之间有什么联系？【例2】 如图，已知平面α∥平面β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．[母题探究]1. 将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝ .2．将本例改为：若点P 在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD 的长．3．将本例改为：已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交于点E、F、G. 求证：ABBC＝EFFG.【规律方法】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：类型三平行关系的综合应用【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面P AD.【规律方法】1．证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．(2)基本事实4.(3)线面平行的性质定理．(4)面面平行的性质定理．2. 证明直线与平面平行的方法：(1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．【跟踪训练】2．如图，三棱锥A­BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH.【课堂小结】1．三种平行关系的转化.2．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．【当堂达标】1．判断正误(1)α内有无数多条直线与β平行，则α∥β.()(2)直线a∥α，a∥β.则α∥β.()(3)直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，则α∥β.()(3)α内的任何直线都与β平行，则α∥β.()2．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线4．用一个平面去截三棱柱ABC­A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H.若A1A>A1C1，则截面的形状可以为．(填序号)①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．5．如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD.求证：BC＝2EF.【参考答案】【自主预习】1．(1)相交(2)a∩b＝P2．(1)平行(2)β∩γ＝b(4)平行思考：[提示]不一定．它们可能异面．【基础自测】1．A[根据面面平行的判定定理可知a，b相交．]2．A[因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.] 3．C[假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l⊂β.]4．A[由面面平行的性质定理易得．]【合作探究】类型一平面与平面平行的判定【例1】[解](1)连接B1D1，∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF，∴E、F、B、D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连接MF，∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM ⊄平面BDFE ，DF ⊄平面BDFE ，∴AM ∥平面BDFE . 又∵AM ∩MN ＝M ，∴平面MAN ∥平面EFDB .【跟踪训练】1．[证明] ∵PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD ，∴MQ ∥AD ，NQ ∥BP . 又∵BP ⊂平面PBC ，NQ ⊄平面PBC ，∴NQ ∥平面PBC .∵四边形ABCD 为平行四边形．∴BC ∥AD ，∴MQ ∥BC .又∵BC ⊂平面PBC ，MQ ⊄平面PBC ，∴MQ ∥平面PBC .又∵MQ ∩NQ ＝Q ，∴平面MNQ ∥平面PBC . 类型二平面与平面平行的性质[探究问题]1．[提示] 必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β； ②平面γ和α相交，即α∩γ＝a ；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b .以上三个条件缺一不可．2．[提示] 联系如下：【例2】[解] 因为AC ∩BD ＝P ，所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ， 因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD ，所以BD ＝245. [母题探究]1. 15 [由题可知DE DF ＝AB AC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52×6＝15.] 2．[解] 与本例同理，可证AB ∥CD .所以P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88，所以BD ＝24.3．[证明]连接AG交β于H，连BH、FH、AE、CG.因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG.同理AE∥HF，所以ABBC＝AHHG＝EF FG.类型三平行关系的综合应用【例3】[证明]如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴P A∥平面BMD，又∵P A⊂平面P AHG，平面P AHG∩平面BMD＝GH，∴P A∥GH.又P A⊂平面P AD，GH⊄平面P AD，∴GH∥平面P AD.【跟踪训练】2．[证明]由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.【当堂达标】1．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．D[如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．]①②③3．D[由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．] 4．②⑤[当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH 为梯形．]5．[证明]因为平面EFG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG＝EG，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，又G为AD的中点，故E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，所以BC＝2EF.。

平面与平面平行的判定的教学设计教学目标：1.理解平面与平面平行的概念。

2.学会判断两个平面是否平行的方法。

3.掌握平面与平面平行关系的性质。

教学准备：1.平面与平面平行的定义和性质的课件或教材。

2.示例问题和练习题。

3.板书工具和白板。

教学过程：引入活动（5分钟）：1.引入平面与平面平行的概念，让学生思考并回答：你认为什么是平面与平面平行？2.引导学生思考：当两个平面没有交点时，我们可以说它们是平行的。

知识讲解（15分钟）：1.定义平面与平面平行：如果两个平面没有交点，我们就可以说它们是平行的。

2.平面与平面平行的性质：-平行的平面上的任意两个直线也平行。

-平行的平面上的任意两点之间的距离与平面上的任意两点之间的距离相等。

-平行的平面上的任意两条线段之间的比例相等。

实例分析（15分钟）：1.给出一个示例问题：判断下面的两个平面是否平行：A：x+y+z=1和B：x-y+z=22.引导学生思考：如何判断两个平面是否平行？3.学生尝试解答示例问题。

解题方法讲解（15分钟）：1.平面方程的法向量法：对于平面方程Ax+By+Cz+D=0，平面的法向量为N=<A,B,C>。

如果两个平面的法向量平行，则可以判断它们是平行的。

2.给出一个新的示例问题并试图解答。

反思与讨论（10分钟）：1.总结判断平面与平面平行的方法，并与学生一起讨论优缺点。

2.学生分享对平面与平面平行概念的认识体会。

练习与拓展（20分钟）：1.学生进行练习题，包括简答题和计算题。

2.学生自己思考新的问题，并尝试解答。

总结与展望（10分钟）：1.整理本节课的知识点和重点。

2.展望下节课内容，例如：如何判断直线与平面平行、垂直关系。

教学拓展：1.学生可以通过实际生活中的例子，进一步理解平面与平面平行的概念和性质，例如：平行的墙壁、平行的公路等。

2.学生可以用几何绘图软件或手工绘图来可视化平面与平面平行的概念和判断方法。

3.对于高年级学生，可以引入向量的概念，用向量的夹角来判断平面与平面平行的关系。

8.5.3 平面与平面平行【课程标准】1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系.2.归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理，并加以证明．【学习目标】1.能从教材实例中归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理．(数学抽象)2.能证明平面与平面平行的性质定理．(逻辑推理)3.能借助具体的几何体判定空间中平面与平面的平行关系．(直观想象)4.能利用平面与平面平行的判定定理证明直线与平面平行，能利用平面与平面平行的性质定理解决相关的问题，了解空间中直线、平面平行关系的内在联系．(逻辑推理)【自主学习】一、设计问题，创设情境问题1：平面与平面平行的判定定理中，如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？二、学生探索、尝试解决问题2：如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？问题3：两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？问题4：如果α∥β，a⊂α，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？三、运用规律，解决问题【例1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[跟进训练]1.(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是()A．AD1∥平面EFGH B．BD1∥GHC．BD∥EF D．平面EFGH∥平面A1BCD1(2)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.【例2】如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．[跟进训练]2．如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的一个平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．四、变练演练，深化提高【例3】如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？并证明你的结论．[跟进训练]3.如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，E，F分别为PC，PD的中点，在底面ABCD 内是否存在点Q，使平面EFQ∥平面P AB？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．五、信息交流，教学相长问题5：本节课你收获了哪些知识？你是怎样获得这些知识的？在获得知识的过程中你用了什么思想方法？你还有什么疑惑？当堂检测1．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是()A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b2．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是 ( )A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．以上都不对3．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，BC ，A 1D 1的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ∥APB ．MN ∥BD 1C ．MN ∥平面BB 1D 1DD ．MN ∥平面BDP4．a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题．① ⎭⎬⎫a ∥cb ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎬⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④ ⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ ⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；⑥ ⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α，其中正确的命题是 .(填序号)5．如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，点M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ；(2)求S △MNG S △ACD .分层作业请完成《非常学案》——《课时分层作业（二十九）》。