专题5.2 天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题
一、天体的质量和密度 1．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量
m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比。
(2)表达式：F ＝
Gm 1m 2
r 2
，G 为引力常量， G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。
2．中心天体质量和密度的估算
(1)“g 、R 法”：已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。
①由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝g R 2
G
。
②天体密度ρ＝M V ＝
M 43
πR
3＝3g
4πGR
。
(2)“T 、r 法”：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T 。
①由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r 3
GT 2
。
②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43
πR
3＝3πr
3
GT 2R 3
。
③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π
GT
2可见，只要测出
卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。
【示例1】(2015江苏单科3)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1
20，该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A.
1
10
B ．1
C ．5
D ．10 【答案】： B
【解析】： 根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得M ＝4π2r 3
GT 2，
所以恒星质量与太阳质量之比为M 恒
M 太＝r 3行T 2
地
r 3地T 2行＝8180
≈1，故选项B 正确。 注意事项：
(1)区分两个质量：利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量而非环绕天体的质量。
(2)区别两个半径：天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝4
3
πR 3中的R 只能是中心天体的半径。
【示例2】到目前为止，火星是除了地球以外人类了解最多的行星，已经有超过30枚探测器到达过火星，并发回了大量数据.如果已知万有引力常量为G ，根据下列测量数据，能够得出火星密度的是( ) A.发射一颗绕火星做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r 和卫星的周期T B.测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r
C.发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的速度v
D.发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的角速度ω 【答案】 D
【示例3】(多选)(2015天津卷)P 1、P 2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s 1、s 2做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a ，横坐标表示物体到行星中心的距离r 的平方，两条曲线分别表示P 1、P 2周围的a 与r 2
的反比关系，它们左端点横坐标相同。则( )
A ．P 1的平均密度比P 2的大
B ．P 1的“第一宇宙速度”比P 2的小
C ．s 1的向心加速度比s 2的大
D ．s 1的公转周期比s 2的大 【答案】 AC
二、计算重力加速度的方法 (1)在地球表面附近的重力加速度g
方法一：根据万有引力等于重力，有mg ＝G mM
R 2，得g ＝G M R
2 方法二：利用与地球平均密度的关系，得
g ＝G M R 2＝G 4πR 3
ρ/3R 2＝43
G πρR 。
(2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，根据万有引力提供向心力，得g ′＝G M r
2∝1r
2，
g ′
g
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R R ＋h 2，则g ′＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫R R ＋h 2
g 。 (3)在质量为M ′、半径为R ′的任意天体表面上的重力加速度为g ″，不计星球自转时，根据万有引力定律，有mg ″＝GM ′m R ′2，可得g ″＝GM ′R ′2，所以
g ″g ＝M ′M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫R R ′2
则g ″＝
M ′M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫R R ′2
g ，上述中M 为地球的质量，g 为地球表面的重力加速度。 【示例4】(2015重庆卷)宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( ) A ．0 B.
GM R ＋h 2
C.
GMm R ＋h
2
D.GM h
2
【答案】 B
【解析】 对飞船受力分析知，飞船所受到的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，等于飞船所在位置的重力，即G
Mm R ＋h
2
＝mg ，可得飞船所在位置的重力加速度大小g ＝
GM R ＋h
2
，故选B 。
【示例5】“蛟龙号”载人潜水器在西太平洋进行第一次下潜试验，最大下潜深度约为6.4 km ，假设地球是一半径R ＝6 400 km ，质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内的物体的引力为零，则“蛟龙号”在最大下潜深度处的重力与海面上的重力之比约为( ) A.999
1 000
B.1 001
1 000
C.9992
1 000
2 D.1 0012
1 000
2 【答案】：
A
【精选针对训练】
1.设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，宇航员测出飞船绕行n 圈所用的时间为t .登月后，宇航员利用身边的弹簧测力计测出质量为m 的物体重力为G 1.已知引力常量为G ，根据以上信息可得到( )
A.月球的密度
B.飞船的质量
C.月球的第一宇宙速度
D.月球的自转周期 【答案】 A
【解析】 设月球的半径为R ，月球的质量为M .宇航员测出飞船绕行n 圈所用的时间为t ，则飞船的周期为
T ＝t n
①
GMm R 2＝mR (2πT
)2
②
得到月球的质量M ＝4π2R 3
GT 2
月球的密度为 ρ＝M
43πR 3＝4π2R
3
GT 2
43
πR 3＝
3π
GT 2＝3πn
2
Gt
2，故A 正确；根据万有引力提供向心力，列出的等式中消去
