11质点力学

李禄昌

第十一章

动量定理

动量定理、动量矩定理和动能定理统

称为动力学普遍定理.李禄昌§11--1 动量与冲量

1、动量的概念：

物体传递机械运动时产生的相互作用力不仅与物体的速度变化有关，而且与它们的质量有关。例如：飞针穿透玻璃；高速路上的飞石；飞鸟撞击飞机；子弹击中目标。据此，可以用质点的质量与速度的乘积，来表征质点的这种运动量。

⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，

-----记为mv。质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。

s/mkg单位李禄昌

1()n

iiipmv质点系的动量

()iiiicimrmrrmm质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。

11()()nniiiiiidrpmvmdt

()iidmrdt注意：质量mi是不变的

如何进一步简化？

参考重心、形心公式。李禄昌()iiiicimrmrrm

m

()( )iicddpmrmrdtdt cmv

质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。

求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。

cωvC=0vCcω

covC李禄昌2．冲量的概念：tFI

常力的冲量：

tFIdd

变力的元冲量：

0tIFtd在作用时间t内的冲量: 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。

用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。

冲量是矢量，方向与常力的方向一致。冲量的单位是N.S。李禄昌

§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系

1、质点的动量定理由牛顿第二定律：Ftvmd

)(dtFvmd)(d或

称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量

等于作用于质点上的力的元冲量。

1t2t1v2v在~ 内，速度由~ ，有

2

1d12t

tItFvmvm李禄昌称为质点动量定理的

积分形式

，即在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。2

大学物理竞赛指导-经典力学选例

一．质点运动学

基本内容：位置，速度，加速度，他们的微积分关系，自然坐标下切、法向加速度，*极坐标下径向速度，横向速度，直线运动，抛物运动，圆周运动，角量描述，相对运动

1.运动学中的两类问题

(1)已知运动方程求质点的速度、加速度。这类问题主要是利用求导数的方法。

例1 一艘船以速率ｕ驶向码头P，另一艘船以速率v自码头离去，试证当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为：

cos:cosvvuu

设航路均为直线，为两直线的夹角。

证：设任一时刻船与码头的距离为x、y，两船的距离为l，则有

cos2222xyyxl

对ｔ求导，得

txytyxtyytxxtllddcos2ddcos2dd2dd2dd2

将v, tyutxdddd代入上式，并应用0ddtl作为求极值的条件，则得

coscos0yuxyuxvv

coscosuyuxvv

由此可求得 coscosvvuuyx

即当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为

coscosv: vuu

(2)已知质点加速度函数a＝a(x，v，t)以及初始条件，建立质点的运动方程。这类问题主要用积分方法。

例2 一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a0，此后加速度随时间均匀增加，经过时间后，加速度为2a0，经过时间2后，加速度为3 a0 ,…求经过时间n后，该质点的速度和走过的距离。

(完整版)第1章质点力学

1 第1章 质点力学

1—1 一质点的运动方程为x = 6t - t2（SI），则在t由0至4s的时间间隔内，质点的位移大小为 ；质点所走过的路程为 .

1-3 一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为a=2+6x2(SI），如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。

1-4一质点沿半径R的圆周运动,运动方程为 =3+2t2（SI），则t 时刻质点的法向加速度大小为a

n ；角加速度 = 。

1—5 某质点的运动方程为x= 3t—5t 3 +6（SI),则该质点作

（A)匀加速直线运动,加速度沿x轴正方向.

（B）匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向。

(C）变加速直线运动，加速度沿x轴正方向。

（D）变加速直线运动，加速度沿x轴负方向。 ［ ］

1—9 一质点作直线运动，其坐标x与时间t的函数曲线如图所示，则该质点在第

秒瞬时速度为零；在第

秒至第

秒间速度与加速度同方向。

1—10 一物体作斜抛运动,初速度0v与水平方向夹角为， 如图所示，则物体到达最高点处轨道的曲率半径为 .

1-11一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A点处速度v的大小为v，其方向与水平方向夹角成30°。则物体在A点的切向加速度a t = ，轨道的曲率半径= 。

x（m）

5

O

1 2 3 4 5 6

t(s)

0v 0v

大学物理 总结

第1章 质点运动学

公式 标号 备注

𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌

1.1 位矢法表示质点位置

𝒓

=

𝑥2+𝑦2+𝑧2

1.2 *对于范数不再重复

列出公式

cos𝛼=𝑥

𝒓 ,cos𝛽=𝑦

𝒓 ,cos𝛾=𝑧

𝒓

1.3 *对于角度不再重复

列出公式

Δ𝒓=𝒓

𝑡+Δ𝑡

−𝒓

𝑡

1.7 位移的定义式

𝒗=lim

Δ𝑡→0Δ𝒓

Δ𝑡=d𝒓

d𝑡 1.10 速度的定义式

其范数称为速率

𝒂=lim

Δ𝑡→0Δ𝒗

Δ𝑡=d𝒗

d𝑡=d2

𝒓

d𝑡2 1.13

1.14 加速度的定义式

𝒗=d𝑥

d𝑡𝒊+d𝑦

d𝑡𝒋+d𝑧

d𝑡𝒌,𝒂=d𝑣

𝑥

d𝑡𝒊+d𝑣

𝑦

d𝑡𝒋+d𝑣

𝑧

d𝑡𝒌 1.16a

1.19a *坐标法不再重复列

出投影公式

𝒗=d𝑠

d𝑡𝝉 1.27 自然坐标法表示速度

𝒂=𝑎

𝑛𝒏+𝑎

𝜏𝝉=𝑣2

𝑟𝒏+d𝑣

d𝑡𝝉 1.32 圆周运动中的加速度

a

n为法向加速度

a

τ为切向加速度

𝒂=𝒂

𝑛+𝒂

𝜏=𝑣2

𝜌𝒏+d𝑣

d𝑡𝝉 1.37 一般平面曲线运动中

的加速度

𝜔=lim

Δ𝑡→0Δ𝜃

Δ𝑡=d𝜃

d𝑡 1.41 圆周运动角速度的定

义式

𝛽=d𝜔

d𝑡=d2

𝜃

d𝑡2 1.42 圆周运动角加速度的

定义式

𝑣=lim

Δ𝑡→0Δ𝑠

Δ𝑡=lim

Δ𝑡→0𝑟Δ𝜃

Δ𝑡=𝑟𝜔 1.43 圆周运动在一定角速

度下的速率计算式

𝑎

𝜏=d𝑣

d𝑡=𝑟d𝜔

d𝑡=𝑟𝛽,𝑎

𝑛=𝑣2

𝑟=𝜔𝑣=𝑟𝜔2

1.44

1.45 圆周运动在一定角速度下

的法向、切向加速度计算式

𝒗

𝑎=𝒗

𝑟+𝒖

1.50 速度变换定理

𝒂

𝑎=𝒂

𝑟+𝒂

𝑒

1.52 加速度变换定理

概念与技巧：

1. 质点确定位置的方法有坐标法、位矢法、自然法。