《习题课 单调性与奇偶性的综合应用》函数的概念与性质 图文

第1页 共7页 第三章习题课 单调性与奇偶性的综合应用

A级必备知识基础练

1.(多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是( )

A.这个函数有2个单调递增区间

B.这个函数有3个单调递减区间

C.这个函数在其定义域内有最大值7

D.这个函数在其定义域内有最小值-7

2.下列函数是奇函数,且在(0,+∞)上为增函数的是( )

A.y=x2 B.y=x-1x

C.y=x+1x D.y=x-1x

3.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有( )

A.f(-1)>f(2)>f(-3)

B.f(2)>f(-1)>f(-3)

C.f(-3)>f(-1)>f(2) 第2页 共7页 D.f(-1)>f(-3)>f(2)

4.若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上( )

A.单调递增,且有最小值为f(1)

B.单调递增,且有最大值为f(1)

C.单调递减,且有最小值为f(2)

D.单调递减,且有最大值为f(2)

5.若函数f(x+3是R上的偶函数,则f(-1),f(-√2),f(√3)的大小关系为( )

A.f(√3)>f(-√2)>f(-1)

B.f(√3)

C.f(-√2)

D.f(-1)

6.f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是( )

A.f(0)f(2)

C.f(-1)f(0) 第3页 共7页 7.[安徽宿州高一月考]已知奇函数f(x)在定义域R上是增函数,则不等式f(4x-3x2)+f(7)>0的解集是 .

8.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:

①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数.

若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.

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B级关键能力提升练

1 函数的奇偶性与单调性

一、基本概念

(1)函数的奇偶性：前提：函数的定义域原点对称．．．．．．．．．．。

,xDfxfxfxfx任意则为偶函数；若，则为奇函数。

变式：0;10fxfxfxfxfx的情况单独验证(整体性质)

(2)函数的单调性：(局部性质)

12121212,,,xxDxxfxfxfxDfxfxD任意若能得到，则在上为增函数；得到，则在上为减函数。1212121200fxfxfxfxDDxxxx变式：，函数在上为增函数，，则函数在上为减函数。yfx注：1.关于奇偶性，两函数的公共定义域存在且关于原点对称的前提下奇奇＝奇函数，偶偶＝偶函数，奇奇＝偶函数，偶偶＝偶函数,奇偶＝奇函数奇偶＝非奇非偶函数2.关于单调性：增+增＝增函数，减+减＝减函数，增-减＝增函数，减-增＝减函数；在的函数值全为正数(全为负数)的前提下，＝减函数，＝增函数增减()11

3.复合函数奇偶性与单调性的结论：

,,yfxygxygxyfxyfgxyfxygx的值域与的定义域有公共部分，则函数存在,其中是外层函数，是内层函数。内偶外偶、内偶外奇、内奇外偶均为偶函数，只有内奇外奇才为奇函数。内增外增、内减外减均为增函数，内增外减、内减外增均为减函数。(3)函数的凹凸性(局部性质)：

121212,,,,,,22,fxfxxxyfxxabxxfyfxabab若任意都有则称在上为凹函数如图1,2；反之则称它在上为凸函数如图3,4。

二、特征方程： 2 1,2,3,4,fxyfxfyfxyfxfyfxxfxyfxfyfyfyfxfxyfxfyfxyfyxfxyfxfyffxfyy正比例函数：幂函数：指数函数：对数函数：

函数单调性与奇偶性综合运用

例1；设定义在[−3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a−1)＜f(a)时，求a的取值范围.

解：∵f(a−1)＜f(a) ∴f(|a−1|)＜f(|a|)

而|a−1|，|a|∈[0，3]

.

例2；定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，

设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.

①f(b)−f(−a)＞g(a)−g(−b)； ②f(b)−f(−a)＜g(a)−g(−b)；

③f(a)−f(−b)＞g(b)−g(−a)； ④f(a)−f(−b)＜g(b)−g(−a).

答案：①③.

例3；设a为实数，函数f(x)=x2+|x−a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.

解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；

当a≠0时，f(x)=x2+|x−a|+1，为非奇非偶函数. (1)当x≥a时，

[1]

且

[2]上单调递增，

上的最小值为f(a)=a2+1.

(2)当x＜a时，

[1]上单调递减，

上的最小值为f(a)=a2+1 [2]上的最小值为

.

小练习；

选择题

1．下面说法正确的选项( )

A．函数的单调区间就是函数的定义域

B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间

C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称

D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象

2．在区间上为增函数的是( )

A． B．

C． D．

3．已知函数为偶函数，则的值是( )

A. B. C. D.

4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )

函数单调性与奇偶性的综合应用

一、基础知识：

1. 若函数()fx满足1212()[()()]0xxfxfx，则函数在该区间单调递增；若满足1212()[()()]0xxfxfx，则函数在该区间单调递减。

2.（1）对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有xfxf(或1xfxf或0xfxf）函数()fx是偶函数；

（2）图象关于y轴对称的函数是偶函数.

3.（1）对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有xfxf(或1xfxf或0xfxf）函数()fx是奇函数；

（2）图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；

二、经典例题：

类型一：分段函数利用函数奇偶性求函数关系式

例1.若()yfx在0,x上的表达式为(1)yxx，且()fx为奇函数，则,0x时()fx等于（ ）

A.(1)xx B.(1)xx C.(1)xx D.(1)xx

变式1：若函数()fx同时具备以下两个性质(1)()fx是偶函数；(2)对任意实数x都有(x)()44ffx，则()fx解析式可以是()

A.()cosfxxB.()cos(2)2fxx C.()sin(4)2fxx D.()cos6fxx

答案：D

类型二：比较大小

解题方法：利用单调性奇偶性作图，放到同一单调区间比较大小

例1.已知定义在R上的函数21xmfx（m为实数）为偶函数，记0.52(log3),log5,2afbfcfm，则,,abc的大小关系为( )

A.abc B.acb C.cab D.cba

变式1：定义在R上的偶函数()fx满足：对任意的1,2120,()xxxx，有2121()()0fxfxxx