第一讲数学解题思维策略
——高考数学代数推理题
一、数学解题的思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动．
在高考试卷中，有一类问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法接轨，这就是代数推理题．这类问题立意新颖，抽象程度高，是数学问题的典型代表．具体说来，其思维过程一般分为三步：首先要领会题意（审题）——弄清题目的条件是什么？结论是什么？如果条件和结论是用文字表达的，则把它翻译成数学语言；其次要明确方向——在审题的基础上，运用所学知识和数学思想方法，明确解题目标与方向；最后要规范表述——采用适当的步骤，合乎逻辑地进行推理和运算，并正确地表述．
在这里，第一步是关键，这就是我们通常说的审题．
二、如何审题？
1、理清题意
审题，就是明确题目的已知和未知，是解题的第一步，这一步不要怕慢．从近年高考命题的特点来看，试卷容量有减少的趋向，目的也就是要突出对考生的能力检查，增加思考量，倡导多给考生一点思考和探索的时间．
其实，题目本身就是“怎样解这道题”的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，可以从语法结构、逻辑关系和数学含义三方面来理清题意．
2、条件启发解题手段，结论诱导解题方向
解题实践表明，条件往往预示可知并启发解题手段，结论则预告需知并诱导解题方向．可以按照条件列出所有的解题手段表解，根据结论写出可能的解题方向，并寻找出它们之间的联系，这样做的另一个好处是，可以将题目进行分解，避免失分．
3、挖掘隐蔽条件
对于条件，一定要用足用够．解题过程中的关键之处，往往是题目未明显写出的，即隐蔽给予的．一方面，解题时如果遇到“盲点”，可以回过头来分析是否用足用够条件；另一方面，也只有细致的审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这也说明，审题一定不要怕慢．
〖例1〗（2005年成都一诊22题）对于函数f (x )，若存在0x ∈R ，使00()f x x =成立，则称0x 为函数f (x )的不动点．已知2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．
⑴若对b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；
⑵在⑴的条件下，若y =f (x )的图像上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 两点关于直线2(44)y kx a a =+-+对称，求b 的最小值．
〔条件分析〕条件呈包含关系，子条件在结论二中列出．
前提条件→解题手段：信息迁移（数学含义）→三个“二次”结合（数形结合）； 子条件→解题手段：①隐蔽条件；②对称性（数形结合）→垂直、中点（点差法）． 〔结论分析〕两个结论． 结论一→解题方向：不等关系； 结论二→解题方向：利用单调性求最值． 练习：
1、设b x a x x f ++=1log 2)(log 2)(222，已知2
1
=x 时，f (x )的最小值是8-． ⑴求b a -；
⑵求在⑴的条件下，f (x )>0的解集A ；
⑶设集合},2
1
|||{R x t x x B ∈≤-=，且∅=⋂B A ，求实数t 的取值范围．
答案：⑴4a b -=；⑵x x A <=0|{ }281>3
8521≤≤-≤t t 或．
2、定义在R 上的函数f (x )满足：如果对于任意12,x x ∈R ，都有
12121
(
)[()()]22
x x f f x f x +≤+，则称函数f (x )是R 上的凹函数．已知二次函数2()(,0)f x ax x a a =+∈≠R ．
⑴求证：当0a >时，函数f (x )是凹函数；
⑵如果[0,1],|()|1x f x ∈≤，试求实数a 的取值范围． 答案：⑴略；⑵实数a 的取值范围为[2,0)-． 三、若干具体的解题策略
为了使解题的目标和方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些具体的解题策略．一切解题的策略的基本出发点在于变换，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的．基于这样的认识，常用的解题策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化和间接化等策略．
1、熟悉化策略
熟悉化策略，就是将陌生的题目变为曾经解过的比较熟悉的题目，进而利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题．可以在分清题目条件和结论的基础上，通过变换题目的条件、结论及其联系上下功夫．
⑴联想回忆基本知识和题型
通过联想回忆，找出现有问题和熟悉问题之间的相似之处和相同的知识点，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有问题．
⑵全方位、多角度分析题意
全方位分析题意，即把题目的所有条件都要分析透，并找到各条件间以及条件和结论间的联系，从中找出熟悉的解题手段；多角度分析题意，就是要善于从不同的侧面、不同的角度去认识，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，找到自己熟悉的解题方向．
⑶恰当构造辅助元素
通过构造辅助元素，如构造数列、构造图形或几何量、构造等价性命题等，改变题目的形式，变陌生题为熟悉题．
〖例2〗（2003年成都一诊20题）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，p 为非零常数，满足条件：
①a 1=1；②S n =4a n +S n – 1– pa n – 1(2≥n )；③2
3
lim =
∞
→n n S ． ⑴求证：数列{a n }是等比数列； ⑵求数列{a n }的通项公式；
⑶若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和n n b b b T +++= 21． 〔条件分析〕条件呈包含关系，子条件分项列出． 子条件①、②→联想回忆：a n =S n – S n – 1(2≥n )；
子条件③→联想回忆：等比数列前n 项和的极限值存在，则公比q 的绝对值小于1． 〔结论分析〕三个结论． 结论一→根据定义证明； 结论二→求出公比；
结论三→联想回忆：数列{b n }的通项是等差、等比数列的通项积，可用错位相减法求前n 项和．
〔解题评析〕⑴证明：∵ S n =4a n +S n – 1– pa n – 1(2≥n )， ∴ a n =S n – S n – 1=4a n – pa n – 1， （点评：应用a n =S n – S n – 1(2≥n )．） 3a n =pa n – 1．
