平面直角坐标系中的面积

在平面直角坐标系中求几何图形的面积太原五中辛秀峰教学目标：1、知道三角形面积“计算公式”；2、会用“计算公式”解决平面直角坐标系中三角形面积的计算问题;3、能在平面直角坐标系中求几何图形的面积。

教学过程一、提出问题：（2012?恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．二、复习：请在平面直角坐标系中描出下列各点，并求出线段的长度.1、已知：A（0，-2），B（0，1），则AB= ;2、已知：A（5/2，0），B（-1/2，0），则AB= ;3、已知：A（2，2），B（2，5），则AB= ;4、已知：A（2，3），B（-5，3），则AB= ;三、特例探究：1、如图1所示，OA= ，OB= ，△AOB的面积是.A2、如图2所示，BC=__ __，△ABC的面积是.3、如图3所示，AB= ，CH= ，△ABC的面积是.4、如图4所示，BC= ，AH= ，△ABC的面积是.图1 图2图3 图45、如图5所示，A（3,5），B(1,2），C（5,2），则△ABC的面积.6、如图6所示，A（2），B（-1,3），C（3,3），则AH= ，BC= ，△ABC的面积是.7、如图7所示，求△OAB的面积.8、如图8所示，则四边形AOBC的面积是.图5 图6图7 图8四、归纳总结：定义：水平宽度、铅直高度（如图所示）CBh五、解决问题：（2012?恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN +MD 的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．六、巩固练习：1、（2012?黔东南州）如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN ∥y 轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使△BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．2、（2009?锦州）如图，抛物线与x 轴交于A （x 1,0），B （x 2，0）两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C （0，4），其中x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．七、课堂小结本节课你有哪些收获？请从知识和数学思想方法两方面总结.铅垂高h水平宽 a三角形面积“计算公式”：S=1／2ah。

七下数学《平面直角坐标系》——【面积问题】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，,A B 坐标分别是(0,),(,)A a B b a ，且,a b 满足()23|5|0a b -+-=，现同时将点,A B 分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点,A B 的对应点,C D ，连接,,AC BD AB ．（1）求点,C D 的坐标及四边形ACDB 的面积ACDB S ； （2）在y 轴上是否存在一点M ，连接,MC MD ，使13MCD ACDB S S ∆=？若存在这样的点，求出点M 的坐标，若不存在，试说明理由．2．如图10，在平面直角坐标系中，点A B ，的坐标分别为(),0A a ，(),0Bb ，且a b 、满足2(1)0a ++=.现同时将点A B ，分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A B ，的对应点C D ，，连接AC BD ，得ACBD ．（1）直接写出点C D ，的坐标和四边形ABDC 的面积；（2）若在坐标轴上存在点M ，使MAC S S =△四边形ABDC ，求出点M 的坐标；（3）若点P 在直线BD 上运动，连接PC PO ，.请画出图形，写出CPO DCP BOP ∠∠∠、、的数量关系并证明．3．如图，在长方形ABCD 中，AB =8cm ，BC =6cm ，点E 是CD 边上的一点，且DE =2cm ，动点P 从A 点出发，以2c m/s 的速度沿A →B →C →E 运动，最终到达点E ．设点P 运动的时间为t 秒．（1）请以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，1cm 为单位长度，建立一个平面直角坐标系，并用t 表示出点P 在不同线段上的坐标．（2）在（1）相同条件得到的结论下，是否存在P 点使△APE 的面积等于20cm 2时，若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．4．在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （b ，0），C （−1，2），且|32a b +=0， （1）求a 、b 的值；（2）在y 轴上是否存在一点M ，使△COM 的面积为△ABC 面积的13，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，长方形OABC 的边OA 在数轴上，O 为原点，长方形OABC 的面积为12，OC 边长为3（1）数轴上点A 表示的数为______．（2）将长方形OABC 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O A B C ''''，移动后的长方形O A B C ''''与原长方形OABC 重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S△设点A 的移动距离AA x '=．当4S =时，x =______．△当S 恰好等于原长方形OABC 面积的一半时，求数轴上点A '表示的数为多少．6．如图，在平面直角坐标系中，已知A （0，a ），B （b ，0），其中a ，b 满足|a ﹣2|+（b ﹣3）2＝0． （1）a ＝ ，b ＝ ；（2）如果在第二象限内有一点M （m ，1），请用含m 的式子表示四边形ABOM 的面积； （3）在（2）条件下，当m ＝﹣32时，在坐标轴的负半轴上求点N （的坐标），使得△ABN 的面积与四边形ABOM 的面积相等．（直接写出答案）7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别是()0,0O ，()0,12A ，()10,8B -，()14,0C -，求四边形OABC 的面积．8．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB△x轴于B，AC△y轴于C，A（4m，3m），且四边形ABOC的面积为48．（1）如图△，求A点的坐标；（2）如图△，点D从O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，同时点E从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线BA运动，DE交线段AC于F，设运动的时间为t，当S△AEF＜S△CDF时，求t的取值范围．9．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2,0),点B在x轴负半轴上，C在y轴正半轴上，△ACB=90°，△ABC=30°.(1)求点B坐标；(2)如图2，点P从B出发，沿线段BC运动,点P运动速度为每秒2个单位长度,设运动时间为t秒，用含t的式子表示三角形△OBP的面积S.10．在平面直角坐标系内，点()0,5A ，点()29,32M x x --在第三象限，（1）求x 的取值范围；（2）点M 到y 轴的距离是到x 轴的2倍，请求出M 点坐标；（3）在（2）的基础上，若y 轴上存在一点P 使得AMP 的面积为10，请求出P 点坐标．11．已知坐标平面内的三个点A(1，3)，B(3，1)，O(0，0)． （1）求三角形AOB 的面积；（2）点P 是x 轴上的一个动点，当三角形AOP 的面积与三角形AOB 的面积相等时，求点P 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，已知(,0)A a ，(,0)B b ，其中a ，b 满足|1|0a +=．（1）填空：a =______，b =______．（2）如果在第三象限内有一点(2,)M m -，请用含m 的式子表示ABM 的面积．的坐标．13．如图所示，在平面直角坐标系中点()30A -,，()5,0B ，()3,4C ，()2,3D -．（1）求四边形ABCD 的面积（2）点P 为y 轴上一点，且ABP △的面积等于四边形ABCD 的面积的一半，求点P 的坐标．14．如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，4），且满足(a+5)2，过C 作CB△x 轴于B ．（1）a = ，b = ，三角形ABC 的面积= ；（2）若过B 作BD //AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分△CAB ，△ODB ，如图2，求△AED 的度数；（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0）是x 轴正半轴上一点，C 是第四象限一点，CB △y 轴，交y 轴负半轴于B （0，b ），且（a ﹣3）2+|b +4|＝0，S 四边形AOBC ＝16．（1）求C 点坐标；（2）如图2，设D 为线段OB 上一动点，当AD △AC 时，△ODA 的角平分线与△CAE 的角平分线的反向延长线交于点P ，求△APD 的度数．（3）如图3，当D 点在线段OB 上运动时，作DM △AD 交BC 于M 点，△BMD 、△DAO 的平分线交于N 点，则D 点在运动过程中，△N 的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A （a ，0），B （b ，0），C （﹣1，2），且221(24)0a b a b ++++-=． （1）求a ，b 的值；（2）y 轴上是否存在一点M ，使△COM 的面积是△ABC 的面积的一半，求点M 的坐标．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,0)A a ，(,)B b b ，(0,)C b ，且满足2(8)0a +=，P 点从A 点出发沿x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．（1）直接写出点A 的坐标 ，点B 的坐标 ，AO 和BC 位置关系是 ； （2）在P 、Q 的运动过程中，连接PB ，QB ，使S △PAB ＝4S △QBC ，求出点P 的坐标；（3）在P 、Q 的运动过程中，当△CBQ ＝30°时，请探究△OPQ 和△PQB 的数量关系，并说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b ，0)，C(b ，c)三点，其中a ，b ，c 满足关系式|a －2|＋(b －3)2＝0，(c －4)2≤0．（1）求a ，b ，c 的值；（2）如果在第二象限内有一点P(m ，12)，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．19．已知点()30A -,，点()0,3C ，且点B 的坐标为()1,4-，计算ABC 的面积．20．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 、C 三点的坐标分别为(0，1)(2，0)(2，1.5)， (1)求三角形ABC 的面积．(2)如果在第二象限内有一点P (a )，试用含a 的式子表示四边形ABOP 的面积．(3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使得四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等？若存在，请求出点P 的坐标？若不存在，请说明理由．。

平面直角坐标系三角形面积公式
平面直角坐标系三角形面积公式
1. 三角形面积：设直角坐标系中，三点ABC的坐标分别为A（x1，
y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则三角形ABC的面积S＝（×）/2
2. 求A，B，C三点间连线构成的三角形面积：|x1y2+x2y3+x3y1-x3y2-x2y1-x1y3|/2
3. 由ABC三点式求三角形面积：
（1）若直角坐标系ABC三点是由A（x1， y1），B（x2， y2），C （x3， y3）给出，则有S＝|x1y2+x2y3+x3y1-x3y2-x2y1-x1y3|/2
（2）若ABC三点是由A（x1， y1），B（x2， y2），C（x3， y3，z3）给出，令l＝x2y3–x3y2+x1y3–x3y1+x2y1–x1y2，得：S＝|l|/2
4. 若ABC三点是一维坐标系中的点，则有S＝|x1y2+x2y3+x3y1-x3y2-x2y1-x1y3|/2
5. 由ABC三点式求平面直角坐标系绕ABC顺时针旋转的旋转面积：S ＝-1/2×[(x2y3–x3y2)+(x3y1–x1y3)+(x1y2–x2y1)]
以上就是关于平面直角坐标系三角形面积公式的全部内容，此公式不
仅能计算出三点式三角形的面积，还可以推导出旋转面积。

综上所述，希望对大家有帮助！。

平面直角坐标系中任意三角形的面积公式《平面直角坐标系中任意三角形的面积公式》在平面直角坐标系里呀，三角形就像是一群调皮的小精灵，它们的面积计算还真有点小门道呢。

咱先说说三角形的三个顶点坐标，就假设是A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

这时候你可能会想，咋求这个三角形的面积呢？可别小瞧这事儿，这里面的乐趣可多啦。

有一种方法呢，是可以用行列式来计算。

行列式这个东西呀，听起来有点高大上，其实就像是一个特殊的小盒子，把三角形顶点的坐标按照一定的规则放进去。

这个行列式算出来的值呀，和三角形的面积有着奇妙的联系。

就好像它们之间有个小秘密，只有懂数学的小机灵鬼才能发现。

你要是把坐标放进去算对了，再按照规定处理一下这个结果，就能得到三角形的面积啦。

还有一种比较直观的想法哦。

我们可以把这个三角形看成是由一些矩形和直角三角形拼凑或者裁减而成的。

想象一下，在坐标系里画一些辅助线，把三角形周围都用矩形给围起来，然后把多余的直角三角形减掉，剩下的就是我们要的三角形面积啦。

这就像是在玩拼图游戏，不过是数学版的。

比如说，我们先算出大矩形的面积，这个比较好算，长乘以宽嘛。

然后再算出那些多余的直角三角形的面积，这也简单，直角边相乘再除以2就成。

最后用大矩形的面积减去这些多余部分的面积，哇塞，三角形的面积就出来啦。

再讲讲向量的方法。

向量就像是带着方向的小箭头在坐标系里到处跑。

我们可以利用三角形两个边对应的向量来计算面积。

通过向量的叉乘，这叉乘的结果和三角形的面积也有着千丝万缕的联系呢。

这就像是两个小伙伴在坐标系里合作，一起把三角形面积这个小秘密给揭开。

其实呀，平面直角坐标系里的三角形面积公式就像是一个魔法盒，我们可以从不同的角度把坐标这个小钥匙插进去，然后就能得到面积这个小宝藏。

它既有趣又有点小挑战，就像一场数学的小冒险。

我觉得平面直角坐标系中任意三角形的面积公式充满了数学的智慧和乐趣。

不管是用行列式、拼凑裁减还是向量的方法，都像是打开同一个宝藏的不同钥匙，每一种方法都有着它独特的魅力。