第五节 极限存在准则 两个重要极限

极限存在准则两个重要极限公式

首先，我们来介绍极限保号公式。设函数f(x)在点a的一些邻域内有定义，如果存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M，则称M为f(x)在点a处的一个保号常数。现在我们来证明极限保号公式：

假设f(x)在其中一点a的一些邻域内有定义，并且存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M。如果limx→a

f(x)=L存在，那么L也满足，L，≤M。

证明：由于limx→a f(x)=L存在，那么对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），如果0<，x-a，0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，

这说明，对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，

我们再取任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，都有，f(x)，≤M。所以有，L，≤M。

这就是极限保号公式的证明。

接下来我们来介绍夹逼准则。设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内有定义，并且对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有g(x)≤f(x)≤h(x)。如果limx→a g(x)=limx→a h(x)=L存在，那么limx→a f(x)=L也存在。 证明：对于任意的ε>0，由于limx→a g(x)=L存在，那么存在δ1>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，

我们取δ=min{δ1, δ2}，那么对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，

综上所述，对于任意的x∈(a-h,a+h)，我们都有，g(x)-L，

总结一下，极限存在准则是判断一个函数在其中一点上是否存在极限的重要工具。其中，极限保号公式用来判断函数的保号性质是否对极限的值也成立，夹逼准则用来判断函数在其中一点上的极限是否存在。这两个公式在数学分析中有着广泛的应用。

极限存在准则与两个重要极限

首先，我们来定义极限存在准则。设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，

左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ

右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a

接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。

1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。

夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。

2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。 单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。

这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。

总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。

两个重要极限-重要极限

1、无穷小

如果f(x)在x→x0时的极限为0，则称f(x)为x→x0时的无穷小。在x趋于x0的同一变化过程中，f(x)有极限的充要条件为f(x)=A+α（α为无穷小）。

2、无穷大

如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大，反之亦然。

3、极限运算法则

（1）有限个无穷小的和（或乘积）也是无穷小。

（2）有界函数和无穷小的乘积是无穷小。

（3）两个函数的和（或乘积）的极限等于两个函数的极限的和（或乘积），当然，比值也如此，只是需要额外要求分母上的极限不能为0。

（3‘）函数的n次幂的极限等于函数的极限的n次幂（n为正整数）。

（4）如果函数A(x)≥B(x)，则A的极限也大于等于B的极限。

4、极限存在准则

（1）设数列X处于两个数列之间，即Yn≤Xn≤Zn，如果数列Y和Z都有极限为a，则X也有极限为a。

（1’）设函数f(x)，在x0的某去心邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x)，如果g和h都有极限为A，则f(x)也有极限为A。

上述两条准则统称为夹逼准则。

（2）单调有界数列必有极限。 （3）柯西极限存在准则

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题 §1. 6 极限存在准则 两个重要极限

教学目的 使学生掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限。

教学重点 极限存在准则以及利用两个重要极限求极限。

教学难点 利用两个重要极限求极限。

课 型 专业基础课 教学媒体

教法选择 讲 授

教 学 过 程 教法运用及板书要点

准则I：如果数列}{,}{,}{nnnzyx满足下列条件：

（1）从某项起，即存在Nn0，当0nn时，nnnzxy；

（2）azynnnnlimlim

那么，数列}{nx的极限存在，且axnnlim。

证明： 因为azynnnnlimlim，所以对0,01N，当1Nn时，有ayn，即ayan；又2N，当2Nn时，有azn，即azan，又因为nnnzxy，所以当},,{210NNnMaxNn时，有azxyannn，即有：axan，即axn，所以 axnnlim。

上述数列的极限也可以推广到函数的极限：

准则I′如果函数)(),(),(xhxgxf满足下列条件：

（i）当)(,(0MxrxUx或）时，有)()()(xhxfxg。

（ii）当)(0xxx时，有AxhAxg)(,)(。

那么当)(0xxx时，)(xf的极限存在，且等于A。

准则I 及准则I 称为夹逼准则下面根据准则I证明第一个重要极限：1sinlim0xxx。

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 2